0. 自動控制原理緒論

自動控制理論是研究自動控制系統組成，進行系統分析設計的一般性理論，是研究自動控制程序共同規律的技術學科，

自動控制理論發展史

1. 經典控制理論
   時域法、復域法(根軌跡法)、頻域法等，
   優點：可通過試驗方法建立數學模型，物理概念清晰，得到廣泛的工程應用，
   缺點：只適應單變數線性定常系統，對系統內部狀態缺少了解，且復數域方法研究時域特性，得不到精確的結果，

2. 現代控制理論
   線性系統、最優控制、系統辨識等，
   總結：狀態空間方法屬于時域方法，其核心是最優化技術，它以狀態空間描述（實質上是一階微分或差分方程組）作為數學模型，利用計算機作為系統建模分析、設計乃至控制的手段，
   優點：適應于多變數、非線性、時變系統，

3. 大系統控制理論
   現代頻域方法、自適應控制理論和方法、魯棒控制方法、預測控制方法等，
   總結：大系統理論是程序控制與資訊處理相結合的綜合自動化理論基礎，是動態的系統工程理論，它是一個多輸入、多輸出、多干擾、多變數的系統，

4. 智能控制理論
   專家系統、模糊控制、神經網路控制等，
   總結：智能控制的指導思想是依據人的思維方式和處理問題的技巧，解決那些目前需要人的智能才能解決的復雜的控制問題，

1. 自動控制的一般概念

自動控制就是：在無人直接參與下，利用控制裝置，使被控物件的某一個被控量按預定的給定量運行，

※要掌握由系統作業原理圖繪制方框圖的能力，

方框圖的五大要素：元部件、信號及傳遞方向、比較點、引出點、負反饋，

基本控制方式：開環控制、倍訓控制、復合控制，

• 倍訓控制系統的特點：系統內部存在反饋，信號流動構成倍訓路，偏差起調節作用，
• 復合控制：前饋控制+反饋控制，

負反饋原理：將系統的輸出信號引回輸入端，與輸入信號相比較，利用所得的偏差信號進行控制，達到減小偏差、消除偏差的目的，

控制系統的組成：控制物件、控制裝置，(下圖的控制裝置中，字體為黃顏色的裝置是每個控制系統都要具備的，即測量元件、比較元件、執行機構)


控制系統的分類：

1. 按給定信號的形式： 恒值系統 / 隨動(伺服)系統 / 程控系統
2. 按是否滿足疊加原理：線性系統 / 非線性系統
3. 按引數是否隨時間變化：定常系統 / 時變系統
4. 按信號傳遞的形式：連續系統 / 離散系統
5. 按輸入輸出變數的多少：單變數系統 / 多變數系統

對控制系統的基本要求：

1. 穩：（基本要求）
   要求系統要穩定，
2. 準：（穩態要求）
   系統回應達到穩態時，輸出跟蹤精度要高，
3. 快：（動態要求）
   系統階躍回應的過渡程序要平穩， 快速，

本門(經典)自動控制原理課程的體系結構：
自動控制原理的兩大任務，一個是認識系統，即分析系統，另一個是改造系統，即校正系統，認識與改造系統都是通過時域法、復域法(根軌跡法)、頻域法進行的，

2. 控制系統的數學模型

數學模型：描述系統輸入、輸出變數以及內部各變數之間關系的數學運算式

建模方法：

1. 決議法（機理分析法）→適用于白盒子系統
   根據系統作業所依據的物理定律列寫運動方程，
2. 實驗法（系統辨識法）→適用于黑盒子/灰盒子系統
   給系統施加某種測驗信號，記錄輸出回應，并用適當的數學模型去逼近系統的輸入輸出特性，
   

2.1 控制系統時域數學模型

首先研究線性定常系統，

• 判斷系統是不是線性的，觀察輸入輸出變數，如果滿足等式兩邊只有輸入輸出變數本身或其各階導數，而沒有常數項、交叉乘積項、變數的高階項，那么這個系統就是線性系統，
• 判斷系統是不是定常的，觀察輸入輸出變數的系數，如果系數不隨時間變化(即系數是常數)，那么這個系統就是定常系統，
  非線性系統也可在小變化范圍內線性化，然后化為線性定常系統微分方程進行求解，

借助拉普拉斯變換，可將時域微分方程化為復域代數方程進行求解，然后再借助拉氏反變換，變換到時域，最終完成對時域微分方程的求解，

但這并不是拉氏變換的主要用途，拉氏變換最主要的用途是，建立起自動控制原理中最重要的數學模型，就是系統的復域數學模型——傳遞函式，

2.2 控制系統復域數學模型

影響系統回應的因素有三個：

• 輸入u_r(t)，規定u_r(t)為階躍信號1(t)，這是因為階躍信號最容易實作，比如開關，又因為階躍信號對于一個系統來講，是一個比較嚴苛的輸入條件，如果這個系統跟蹤階躍信號跟蹤的效果很好，那么跟蹤其他信號應該問題不大，
• 初始條件，規定為零初始條件，即系統在t小于0時，系統的輸入輸出及它們的各階導數均為零，因為現實中，大多數系統在接收外界激勵之前，都是處于相對平衡狀態的，
• 系統的結構引數，一旦輸入及初始條件都統一規定之后，那么系統回應的性能指標，最終就取決于系統自身的結構引數了，即自身的特性決定了系統性能，

2.2.1 傳遞函式

傳遞函式定義：在零初始條件下，線性定常系統輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比，

與此同時，要注意，系統的時域數學模型：微分方程，不要求一定要在零初始條件下，因此，若題目中給出系統的傳遞函式，讓求解此系統在非零初始條件下的回應，就需要先利用題目給出的傳遞函式進行拉氏反變換，求出微分方程，再將此微分方程進行拉氏變換(此時拉氏變換就要帶上初始條件)進行求解，

傳遞函式的一般形式為；

可將一般形式的傳遞函式化為兩類標準型：

• 首1標準型：把分子分母變數的最高次冪的系數提出來，寫成K^*，即可化為首1標準型，注意要保證變數s的系數是正值，
  

• 尾1標準型：把分子分母的尾項都提取出來，保證尾項為1，提取出的常數項相乘后寫成K，即可化為尾1標準型，注意要保證變數s的系數是正值，
  尾1標準型中的K叫做增益，
  

傳遞函式的性質：

1. G(s)是復函式；
2. G(s)只與系統自身的結構引數有關；
3. G(s)與系統微分方程直接關聯；
4. G(s) = L[ k(t) ]；
   其中k(t)為系統的單位脈沖回應，即系統的傳遞函式與系統的單位脈沖回應互為拉氏變換對，
5. G(s) 與 s 平面上的零極點圖相對應，
   s平面即自變數s的取值范圍，G(s)的分子多項式對應的根叫做系統的零點，分母多項式對應的根叫做系統的極點，
   因此由G(s)可繪制零極點圖，由零極點圖也可還原出不包含K^*的G(s)，

傳遞函式的局限性：

1. 原則上不反映非零初始條件時系統回應的全部資訊；
   因為傳遞函式是建立在零初始條件下的，但如果想求非零初始條件時系統回應的資訊也可以求得：把傳遞函式進行拉氏反變化，變換為微分方程，然后再把微分方程通過拉氏變換(代入初始條件)進行求解，
2. 適合于描述單輸入/單輸出系統；
   由傳遞函式的定義可知，傳遞函式只能是一個輸出的拉氏變換對一個輸入的拉氏變換的比值，
3. 只能用于表示線性定常系統，
   因為系統如果是非線性或者時變的話，那么雖然可以求得微分方程的拉氏變換，但無法匯出C(s)/R(s)，即無法定義系統的傳遞函式，

2.2.2 典型環節

自動控制系統中的元部件有很多種，比如機械、電氣、化工、航空航天等許多領域的元部件，作業原理都不相同，但可以將它們對應的傳遞函式抽象出來，它們可能有相同形式的傳遞函式，環節指的就是具有相同形式傳遞函式的元部件的分類，將環節再次抽象，即為典型環節，
典型環節：由元部件抽象出來的傳遞函式可以看成是有限個基本單元的組合，這些基本單元就稱為典型環節，

• 不同的元部件可以有相同的傳遞函式，
• 若輸入輸出變數選擇不同，同一部件可能有不同的傳遞函式，
• 任一傳遞函式都可看做典型環節的組合，

下圖列出了所有典型環節，

需要注意的是：實際中的系統都是因果系統，都具有慣性，只有給系統輸入信號之后，系統才會產生輸出，因此，這種系統抽象出來的傳遞函式，一般都是分母的階數高于分子的階數，因此上面列出的七個典型環節中，后三個微分環節，沒有實際的物理系統與之對應，

并且在建立系統傳遞函式時，還需要注意負載效應，一定要在系統能夠正常作業的環境下，來建立系統的傳遞函式，

2.3 控制系統的結構圖及其等效變換

2.3.1 結構圖等效變換規則

2.4 控制系統的信號流圖

掌握結構圖和信號流圖的相互轉換，

Mason增益公式：


總體來講，系統模型及其建立程序如下圖所示，

2.5 控制系統的傳遞函式

說明一下，系統的開環傳遞函式一般用G(s)表示，倍訓傳遞函式一般用Φ(s)表示，

2.5.1 開環傳遞函式

首先要注意的是，開環傳遞函式指的不是開環系統的傳遞函式，開環傳遞函式是針對倍訓系統而言的，
開環傳遞函式是把倍訓系統的主反饋通路打斷，將前向通路與反饋通路上的傳遞函式乘到一起，


把開環傳遞函式化為尾1標準型，得到的常數項K稱為開環增益，

還是以上述系統為例，定義此系統的倍訓傳遞函式有四種：
輸入R(s)對輸出C(s)，輸入R(s)對偏差E(s)，擾動N(s)對輸出C(s)，擾動N(s)對偏差E(s)，

2.5.2 輸入R(s)作用下的倍訓傳遞函式

注意到，分母有一部分就是系統的開環傳遞函式，即，分母是1+開環傳遞函式，

2.5.3 擾動N(s)作用下的誤差傳遞函式

2.5.4 系統的總輸出C(s)及總誤差E(s)

3. 附錄：拉普拉斯變換

3.1 復數與復函式

對于復函式來說，其自變數為復數s，需要用一個二維復平面(s平面)去表述；因變數為F(s)，也是復數，同樣需要一個二維復平面(F平面)去表述，
因此完整描述一個復函式，需要兩個二維復平面(s平面和F平面)去表述，如下圖兩個紅線所示
復函式的模如下圖藍線所示，其對應的相角如下圖所示，

3.2 拉氏變換

微分定理中，可以把復域s·F(s)中前面的s類比到時域中f(t)的一個微分算子d，即df(t)→s·F(s)，

那么對時域中的f(t)求n階導，相當于在復域中對F(s)乘n個s，再減去一系列的初始條件，包括初始位置、初始速度、初始加速度等等，若f(t)初條件都為0，則其拉氏變換為sⁿF(s)，




實位移定理與復位移定理的綜合應用例題：先應用實位移定理，再應用復位移定理，

初值定理用于只知道象函式F(s)，而不知道原象f(t)，又要計算f(t)的初值的情況，

終值定理通常用來計算系統的穩態誤差，

3.3 拉氏反變換

但是一般來說，應用反演公式去求拉氏反變化比較困難，

因此實際應用中，通常使用查表法去求解拉氏反變換，即先把F(s)拆分成表中存在的常見函式的形式，再按照表進行拉氏反變換，

把F(s)拆分的程序就叫做分解部分分式法，可以通過試湊法、系數比較法、留數法進行實作，常用的是留數法，拉氏反變換的難點也在于如何把F(s)分解為部分分式，

3.3.1 模態(振型)

例如有一個四階系統，

將其進行求解得到系統單位脈沖回應c(t)為：

(系統回應即是系統的模態的線性組合)
可以看出，此系統的四個模態分別為e^-2t，e^-8t，e^-tsin2t，e^-tcos2t，

此系統最終的回應就是這四個模態通過不同權值進行疊加后得到的，

3.3.2 留數法分解部分分式

注意使用留數法的前提是，F(s)一定要是有理真分式，即n>m，


上述公式記憶起來比較困難，因此也采用如下方法進行留數的求解：
如下圖所示，先在等式兩邊同時乘以(s-p₁)^m,這時候觀察等式右邊可知，除了C_m項，其余各項都含有(s-p₁)這一項，因此令等式兩邊的s等于p₁，等式右邊就只剩下了C_m項，等式左邊就變成了求極限的一個式子，這時求出等式左邊的極限，C_m就求出來了，
接著求C_m-1，還是先在原等式兩邊同時乘以(s-p₁)^m，然后再對等式兩邊求一次導數，這樣等式右邊的C_m就被消去，而C_m-1就變為常數項了，接下來用求C_m的方法就可以求出C_m-1了，
同理，可以求出所有的留數，