一、概述
你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章；而你眼中那變化多端，復雜多樣的函式，實際只是由不同幅度（幅度譜），不同相位（相位譜）的正弦波所組成；而這神奇的函式變換規律，就來源于傅里葉變換，學習傅里葉變換，讓我們透過現象看本質，
下面的圖是由不同的正弦波所構成的矩形脈沖，它就像不同的齒輪相互嵌套旋轉所形成，
二、完備正交函式集
我們先從空間中的一個點來開始討論，我們應該怎樣去定位它，在二維空間中，我們采用了一個X,Y兩條坐標軸去確定點在空間的位置，而在三維空間中，我們引入了Z軸，構成三維的坐標系，那倘若在N維的空間呢，我們不妨想想，坐標的本質是每兩條的坐標軸都互相垂直，如果我們能找到N條相互垂直的函式（函式的垂直是在一定的區間，函式內積的積分為零），是不是就可以去確定在N維空間上的點，而這樣的函式集我們稱之為正交函式集，在正交函式集中，若不存在任何的非零函式，那么便稱之為完備正交函式集，例如：
三角函式完備正交集：sin 0,cos 0,sin x,cos x,sin2x,cos2x…sin nx,cos nx
傅里葉變換是從三角函式的正交性推導而來，這是之后推導的數學基礎，可以任選其中的兩個三角函式加以證明，
三、周期函式的傅里葉級數
由三角函式的正交性可知，一個周期函式可由完備正交函式集展開，即正交分解，假設有一個周期為2π的函式，那么它一定可以由前面的三角正交函式集分解，其形式為：
由上式可知，里面的未知變數有a0,an,bn，接下來，對它們進行求解：
- a0求解，對上述式子左右兩邊進行定積分：
注：其中cos0與cosnx或sinnx，由于它們是三角正交函式集的兩項，所以對它們的積分為零 - an的求解，等式兩邊乘以cosmx，然后兩邊進行定積分
- bn的求解，等式兩邊乘以sin mx，然后兩邊進行定積分
對上式進行整理，便可得到周期為2π的傅里葉級數的式子：
注：其中的a0的求解值將1/2放到原式
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