選擇題

1.特值法

大題

1.題目之間的邏輯關系：第二小題必用第一小題結論

2.偽證

函式極限連續

集合

區間

鄰域

映射

函式

函式運算

反函式

奇函式

偶函式

周期函式

數列

基本初等函式：三角函式，指數函式，對數函式，冪函式

初等函式

函式關系式

分段函式

復合函式

隱式函式： $F(x,y)=0$

引數函式

數列極限

自變數趨于無窮大函式極限

自變數趨于有限值函式極限

單側極限

數列極限和函式極限關系

無窮大量

無窮小量

無窮小運算性質：1.無窮小+有限無窮小=無窮小 2.無窮小*有界變數=無窮小

函式極限和無窮小關系

極限

區域有界性、唯一性、區域保號性、不等式性質（保序性）

洛必達：太過復雜、無法判斷、沒有辦法，直接洛

極限=0，分母為0項數可消去

直接代入

0/0：洛必達；因式分解；等價無窮小

無窮/無窮：洛必達

$(1+x)^1^/^x=e$

無窮/無窮：通分

分子分母有理化

k階無窮小

1^無窮：e為底，分子等價無窮小+只有一個可以泰勒展開的式子，其它全是x^n，直接展開

極限運算

極限存在準則

極限不存在： $limx->x_{0}$ $f(x)=+-$ 無窮

夾逼準則：適當放縮

單調有界準則：單調有界數列必有極限

無窮小比較

連續性

間斷點

連續函式

羅爾定理證明等式：化為f(x)=0，找出原函式F(x)=0，F(左)=F(右)，就OK

拉格朗日中值定理：割線=切線，f(a)-f(b)=f '(x)(a-b)

連續函式性質：如果一個連續函式在區間內有相反符號的值，那么它在該區間內有根存在

連續函式運算：連續*不連續=不連續

初等函式連續性

一元函式微分學

導數： $F(x+\Delta x)-F(x)/\Delta x$
單側導數： $F(x+\Delta x)-F(x)/\Delta x$ $\Delta x$ >0右導數， $\Delta x$ <0左導數
導數的幾何意義
函式可導與連續的關系：可導？x0是否有定義，即f(x0)是否存在；其次bai判斷f(x0)是否連續，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判斷函式在x0的左右導數是否存在且相等，即f‘(x0-)=f'(x0+)
導數的四則運演算法則
反函式的求導法則

反函式的求導=原函式導數的倒數
復合函式的求導法則
導數的基本公式
隱函式及引數式函式的導數
隱函式的導數

指數含有xy：兩邊底數取e

知導數求極限：定義

引數式函式的導數
相關變化率問題
高階導數

萊布尼茲公式

sinax cosbx x^a 1/x Inx e^ax In(a+x) 1/a+x

函式的微分
微分的概念

$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ ---> $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ----> $dy=A\Delta x=Adx$

$dy=f{}'(x_{0})dx$ dy=線性主部 dx=自變數增量 x0=某處

$y=f(g(x))$ $dy=g{}'(x)f{}'(g(x))\Delta x=g{}'(x)f{}'(g(x))dx$

微分的運算法則
函式的線性近似
微分中值定理…
函式的極值及其必要條件
微分中值定理

羅爾中值定理：f(x) g(x)在[a,b]連續 (a,b)可導， $f{}'(\varepsilon )/g'(\varepsilon )=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)$

不定型的極限
泰勒公式
幾個常用的麥克勞林公式

e 1 sin cos

1/1+x 1/1-x arctanx In(1+x)

泰勒公式的應用
函式單調性的判定法
函式極值的判定法
最大值與最小值問題

函式的凸性與曲線的拐點
函式作圖
曲線的漸近線

水平：limx->無窮，A

豎直：limx->間斷點，f(x)->無窮

斜：limx->無窮，f(x)/x=k limx->無窮，f(x)-xk=b

曲線的曲率 $k=|y{}''|/(1+y{}'^2)^3^/^2$

曲率半徑：R=1/k

弧微分
曲率

一元函式積分學

$\int Inx=xInx-x+C$

定積分

判斷部分函式奇偶性

牛萊公式
函式可積的充分條件：連續或者有界+第一種間斷點
定積分的幾何意義：面積
定積分的性質：可加性，積分上下限反轉提負號，常數可提

不定積分的性質：全體求導=內部函式；內部求導=內部函式的原函式
微積分基本定理

估值定理： $m(b-a)\leq \int ^b_{a}f(x)dx\leq M(b-a)$

換元積分法
不定積分的換元積分法

定積分的換元積分法
分部積分法
$v{}'(x)$ 順序： $e^x>sin=cos>x^n>In>arc$

不定積分的分部積分法

定積分的分部積分法

x^2+-a積分

+a x=atant

-a x=a sect

a-x^2 x=a sint

有理函式的積分

分母項數一定要大于分子，否則多項式除法

$\frac{A}{x-a}$ $\frac{A}{(x^n-a)^k}$ $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ： $\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}=\frac{M}{2}In(x^2+px+q)+\frac{b}{a}arctan\frac{x+\frac{p}{2}}{a}+C$ $a=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}$ $b=N-\frac{Mp}{2}$