By: fulinux
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引言

這個是萬有引力定律公式：
F = G m 1 m 2 r 2 F =G\frac{m1m2}{r^2} F=Gr2m1m2?

這個是電荷庫侖力定律公式
F = k q p r 2 F =k\frac{qp}{r^2} F=kr2qp?
何其相似，重點都是距離平方反比，怎么解釋這一現象呢？

模型抽象

以庫侖定律為例，下面構建一個簡單的模型，如下圖所示：

兩個電荷p和q分別位于圖中的A、B兩點，距離為r，

電場強度

電荷和電荷之間的作用力是通過電場產生的靜電力，如下示意圖(自己畫的哈)：

上圖中實線為電力線，虛線為等勢球面，
電場是一種物質，但是與其他實物不同，幾個電場可以同時占有同一空間，所以電場是一種特殊的物質，
(1)處于電場中的任何帶電體都受到電場所作用的力；
(2)帶電體在電場中移動時，電場所作用的力將對帶電體做功；

從客體電荷q的受力角度看場強

電荷p產生的電場中任意一點處電場的性質，可以從電荷在電場中受力的特點來定量描述，用電量很小的電荷q作為試驗電荷，當試驗電荷q放在電場中一給定點處時，它受到的電場力的大小和方向是一定的；放在電場中的不同點處，其受到的電場力的大小和方向一般情況下是不同的，試驗電荷q放在p電場中一固定點B處(距離A點直線距離為r)，當q的電量改變時它受到的力的方向不變，但力的大小隨電量的改變而改變，始終保持力F和q的比值F/q為一恒定矢量，因此，F/q反映了q所在點處電場的性質，稱為電場強度，用E表示，即
E = F q \pmb E= \frac{\pmb F}{q} EEE=qFFF?
單位是牛頓每庫侖（N/C），
反之，電場B點處引力F與試驗電荷q成正比，此時場強為定值
F = E q \pmb F= {\pmb E}{q} FFF=EEEq
F ∝ q \pmb F \propto{q} FFF∝q
這是從客體q角度得出來場強的概念，下面我會從主體p角度來看場強，

從主體電荷p看場強

上面這個公式是現如今經典的場強E的定義公式，但是它是從試驗電荷q的角度來推導電荷p電場中某點的場強，忽略了試驗電荷q電場對整體電場的影響，而沒有將電荷p自身的電荷和B點位置關系體現出來，

本質上這里描述的E是電荷p和電荷q共同作用的復合場強，

當然在不借助電荷q的情況下，我們無法知道電荷p電場在B處的場強，更加不知道此處的受力情況，因此從認知角度來看引入試驗電荷q是個很明智的舉措，

如何才能將電場B點處的場強用電荷p和距離表述出來呢？
下面重新定義場強的概念：

B點場強E與p電量成正比

在B點處的場強會隨著電荷p的電荷量增長而增長，成正比關系，即
E ∝ p \pmb E \propto{p} EEE∝p

B點場強E與距離r的關系

p電荷所在的A點與B點直線距離為r，那么場強E和r什么關系呢？
這里不用試驗電荷的傳統試驗方式來討論E和r的關系，那必然是平方反比的關系哈~
這里先猜測場強E與r的關系有這些
E ∝ 1 r \pmb E \propto{\frac{1}{r}} EEE∝r1?
E ∝ 1 r 2 \pmb E \propto{\frac{1}{r^2}} EEE∝r21?
. . . ... ...
E ∝ 1 r n \pmb E \propto{\frac{1}{r^n}} EEE∝rn1?
這里是按照常識來考慮E和r的n次冪成反比，而不是正比關系，
這里先討論E和r成反比的關系，假定關系成立
E ∝ 1 r \pmb E \propto{\frac{1}{r}} EEE∝r1?
綜上，電荷p的電場B點處的場強E與電荷量p成正比，與距離r成反比，于是有
E ∝ p r \pmb E \propto{\frac{p}{r}} EEE∝rp?
等式關系如下：
E = k p r \pmb E=k \frac{p}{r} EEE=krp?
其中k為比例系數，
為了方便后面描述這里將E改成E1,即
E 1 ? = k p r \vec {E1}=k \frac{p}{r} E1 =krp?
這都是不考慮試驗電荷q的情況，就是不帶q一起玩了，場強E也是客觀存在的，只是考察的角度問題哈~
一個是通過試驗電荷q受力的角度出發，而這里是從電場源頭和空間距離出發，

反之試驗電荷q(負電荷)也會形成電場，且電荷p在A點處，也有自己的場強E2，與場強E1大小不等方向相同（異性電荷場強方向相同，表現為相互吸引，同性電荷場強方向相反，表現為相互排斥，這里只討論異性電荷關系），有
E 2 ? = ? k q r \vec {E2}=-k \frac{q}{r} E2 =?krq?

場強E1和E2如下圖所示

兩個電荷相互作用的力

力的作用是物質和物質之間的相互作用，因此只有單個點電荷而無其他電荷就無法討論力的關系，

那么，電荷p和q都具有電荷量，都會形成電場，相互作用，不能通過力的疊加原理來計算，因為電荷p通過電場吸引電荷q，同時電荷q通過自身的電場吸引電荷p，電荷量不同場強也不同作用力勢必也不等效，但是按照牛頓第三定律，兩個電荷之間相互作用力力又勢必相等，故大膽猜想兩個電荷p和q距離為r時產生的作用力由場強向量積成正比，即

F ? ∝ E 1 ? ? E 1 ? ∝ p r q r cos ? α \vec F \propto{\vec {E1}\cdot \vec {E1}} \propto{\frac{p}{r}\frac{q}{r}}\cos\alpha F ∝E1 ?E1 ∝rp?rq?cosα
因為E1和E2兩者場強作用在直線上，故而cosα為1或者-1，即有
F ? = k q p r 2 \vec F =k\frac{qp}{r^2} F =kr2qp?
其中k為引力系數，k也有單位，按照量綱來~

這個和試驗的結果是吻合的，因此，確定場強E與距離r的1次冪成反比，即場強E與距離r成反比
為啥是場強的向量積，而不是向量和呢，可以認為各個電荷具有不同的電力線，然后不是所有電力線都會起左右，向量積幾何意義是平行四邊形的面積，可以認為雙方的電力線相互作用等效于二維面積

萬有引力定律推導

同理萬有引力引入場強的概念也可以推匯出，我也不想推導了，質量的場強可以這么定義：
m1的場強：
E 1 ? = k m 1 r \vec {E1} =k\frac{m1}{r} E1 =krm1?
m2的場強：
E 2 ? = k m 2 r \vec {E2} =k\frac{m2}{r} E2 =krm2?
向量積運算：

F ? ∝ E 1 ? ? E 1 ? ∝ m 1 r m 2 r cos ? α \vec F \propto{\vec {E1}\cdot \vec {E1}} \propto{\frac{m1}{r}\frac{m2}{r}}\cos\alpha F ∝E1 ?E1 ∝rm1?rm2?cosα
等式關系如下：
F = G m 1 m 2 r 2 \pmb F =G\frac{m1m2}{r^2} FFF=Gr2m1m2?