數字信號處理筆記（一）

主要知識：連續、離散信號的時頻關系

適用物件：初學數字信號處理的同學以及考研備考的同學（尤其是目標院校是：南京理工大學）

重要程度： ★ ★ ★ ★ \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar ★★★★ (滿5顆星)

假設連續時間信號為 x a ( t ) x_a(t) xa?(t) ,采樣得到的信號為 x s ( t ) x_s(t) xs?(t) ,對應的離散序列為 x [ n ] x[n] x[n] .

與之對應的頻域分別為 X a ( j Ω ) X_a(j\Omega) Xa?(jΩ) , X s ( j Ω ) X_s(j\Omega) Xs?(jΩ) , X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) .

滿足采樣定理的采樣信號 x s ( t ) x_s(t) xs?(t) 為：
x s ( t ) = x a ( t ) × δ T ( t ) = x a ( t ) × ∑ n = ? ∞ ∞ δ ( t ? n T ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) δ ( t ? n T ) \begin{aligned} {{x}_{s}}\left( t \right)&={{x}_{a}}\left( t \right)\times {{\delta }_{T}}\left( t \right) \\ &={{x}_{a}}\left( t \right)\times \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\delta \left( t-nT \right)} \\ &=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{x}_{a}}\left( nT \right)\delta \left( t-nT \right)} \end{aligned} xs?(t)?=xa?(t)×δT?(t)=xa?(t)×n=?∞∑∞?δ(t?nT)=n=?∞∑∞?xa?(nT)δ(t?nT)?
將采樣信號轉化為離散序列，則 x [ n ] x[n] x[n] 為：
x [ n ] = x a ( n T ) x\left[ n \right]={{x}_{a}}\left( nT \right) x[n]=xa?(nT)

注意：

x s ( t ) x_s(t) xs?(t) 與 x [ n ] x[n] x[n] 在時域波形上的區別， x s ( t ) x_s(t) xs?(t) 由無數個沖激分量組成，而 x [ n ] x[n] x[n] 由無數個離散分量組成，

接下來分析采樣信號的頻譜：
X s ( j Ω ) = ∫ ? ∞ + ∞ x s ( t ) e ? j Ω t d t = ∫ ? ∞ + ∞ [ ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) δ ( t ? n T ) ] e ? j Ω t = ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) ∫ ? ∞ + ∞ δ ( t ? n T ) e ? j Ω t d t = ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) e ? j Ω n T \begin{aligned} {{X}_{s}}\left( j\Omega \right)&=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{{{x}_{s}}\left( t \right){{e}^{-j\Omega t}}dt} \\ & =\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{x}_{a}}\left( nT \right)\delta \left( t-nT \right)} \right]{{e}^{-j\Omega t}}} \\ & =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{x}_{a}}\left( nT \right)\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\delta \left( t-nT \right){{e}^{-j\Omega t}}dt}} \\ & =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{x}_{a}}\left( nT \right){{e}^{-j\Omega nT}}} \end{aligned} Xs?(jΩ)?=?∞∫+∞?xs?(t)e?jΩtdt=?∞∫+∞?[n=?∞∑∞?xa?(nT)δ(t?nT)]e?jΩt=n=?∞∑∞?xa?(nT)?∞∫+∞?δ(t?nT)e?jΩtdt=n=?∞∑∞?xa?(nT)e?jΩnT?
對比序列 x [ n ] x[n] x[n] 的頻域運算式可得：
X s ( j Ω ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) e ? j Ω n T X ( e j w ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x [ n ] e ? j w n \begin{aligned} & {{X}_{s}}\left( j\Omega \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{x}_{a}}\left( nT \right){{e}^{-j\Omega nT}}} \\ & X\left( {{e}^{jw}} \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{x\left[ n \right]{{e}^{-jwn}}} \\ \end{aligned} ?Xs?(jΩ)=n=?∞∑∞?xa?(nT)e?jΩnTX(ejw)=n=?∞∑∞?x[n]e?jwn?
二者的映射關系為：
X s ( j Ω ) = X ( e j ω ) ∣ ω = Ω T X ( e j ω ) = X s ( j Ω ) ∣ Ω = ω / T \begin{aligned} & {{X}_{s}}\left( j\Omega \right)=X\left( {{e}^{j\omega }} \right)\left| _{\omega =\Omega T} \right. \\ & X\left( {{e}^{j\omega }} \right)={{X}_{s}}\left( j\Omega \right)\left| _{\Omega =\omega /T} \right. \\ \end{aligned} ?Xs?(jΩ)=X(ejω)∣ω=ΩT?X(ejω)=Xs?(jΩ)∣∣?Ω=ω/T??

即：序列 x [ n ] x[n] x[n] 的傅氏變換是采樣得到的信號 x s ( t ) x_s(t) xs?(t) 的傅氏變換在頻率軸上的尺度變換：

? ω = Ω T \omega=\Omega T ω=ΩT

注：此類考點曾在2021考研初試題目（南京理工大學818專業課）中涉及，