摘要：對AD轉換程序中的量化加以解釋，給了了量化誤差的均值與均方根方差，給出了量化時信噪比的計算公式，并通過例子來加以說明，

宣告：本文章參考了《Introduction to Signal Processing》一書，作者：Sophocles J.Orfanidis ，特此宣告，
歡迎大家批評指正！！

一、量化程序

二、量化誤差

三、信噪比計算

四、例子

一、量化程序

接上一文章，經過采樣保持器后的離散時間序列 $x(nT)$ 經過量化后得到數字信號 $x_{Q}(nT)$ ，這個數字信號用 $B$ 個位元位來表示，假設量程的信號幅度為 $R$ ，在均勻量化時，實則將 $R$ 平均分為 $2^{B}$ 個不同的量化“帶”，但要注意在表示的時候只能選用“帶”上沿或下沿的量化電平值來表示，如圖1所示，給出了進行3bit量化的情形，量化的粒度（或量化器的解析度）為

$Q=\frac{R}{2^{B}}$ (1)

這里總結三點：

（1）量化時有四舍五入（rounding）和截斷（truncation）兩種方法：四舍五入就是采用最近的量化電平來代替 $x$ ，即當 $-Q/2<x<Q/2$ 時，取量化電平0，當 $Q/2<x<3Q/2$ 時，取量化電平為1；截斷就是采用低于 $x$ 的量化電平來代表 $x$ ，即當 $0\leqslant x<Q$ 時，取量化電平0，當 $Q\leqslant x<2Q$ 時，取量化電平為1；

（2）整個量程范圍為 $R$ （滿量程），單極性時為 $0\leqslant x<R$ ，雙極性時為 $-R/2\leqslant x<R/2$ ，道理類似；

（3）以圖1的3bit雙極性量化為例， $-R/2\leqslant x<R/2$ 之間被平均分為8條“帶”，能取到的理化電平值也是8個，分別是{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3}，注意沒有+4，可見量化時，最小值可以是 $-R/2$ ，但最大值只能是 $R/2-Q$

二、量化誤差

量化誤差

$e(n) = x_{Q}(n)-x(n) \;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

下面計算四舍五入量化時，量化誤差的均值和均方根誤差：

$-\frac{Q}{2}<e<\frac{Q}{2}$

$\overline{e}=\frac{1}{Q}\int_{-Q/2}^{Q/2}e\;de=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

$\overline{e^{2}}=\frac{1}{Q}\int_{-Q/2}^{Q/2}e^{2}\;de=\frac{Q^{2}}{12}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$

$e_{rms}=\sqrt{\overline{e^{2}}}=\frac{Q}{\sqrt{12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$

對上述均值和方差的獲得方法，也可以將 $e$ 看成一個符合均勻分布的隨機變數求得，

三、信噪比計算

經常會聽到，“每位元6dB”，什么意思，怎么來的呢？

由（1）式， $R$ 是信號幅度，而 $Q$ 為量化噪聲，有如下重要公式

$SNR=20\log_{10}\frac{R}{Q}=20\log_{10}2^{B}=B\cdot 20\log_{10}2=6B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$

程序似乎有點太過簡單了，式（6）也被稱為量化器的動態范圍，就說，當量化器每增加1bit時，其信噪比就提升6個dB，怎么理解呢：在變換為數字信號程序中，由于有限字長的限制，會帶來信號信噪比的下降，這里的“噪”特指量化噪聲，不是傳統的那種信道中引入的加性或乘性噪聲，如果無限字長（無限精度），則量化噪聲為0，這時信噪比也就是無限大的，即信號不受損失，

公式（1）~（6）就是我們在選擇AD轉換器位長的依據，下面舉例來說明，

四、例子

在數字音頻的應用中，比如要求滿量程電壓是10V，量化噪聲的有效值不能超過50uV，這時由公式（1）和（5）有：

實際上選用 $B=16$ ，可以算出實際的量化噪聲有效值是44uV，當采用 $f_{s}=44\mathrm{kHz}$ 的采樣率時，采樣的位速率為 $Bf_{s}=16\times 44=704\: \mathrm{kbit/s}$ ，這是CD唱機典型的位速率，量化器動態范圍是6B=96dB,也接近于人耳100dB的動態范圍，這也是CD為什么要進行16位元量化的原因，

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信號處理（二）——每位元6dB的信噪比是怎么來的

一、量化程序

二、量化誤差

三、信噪比計算

四、例子