性質
性質一
∣ A O O B ∣ = ∣ A ? O B ∣ = ∣ A O ? B ∣ = ∣ A ∣ ? ∣ B ∣ \left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & * \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ *& \boldsymbol{B} \end{array}\right|=|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}| ∣∣∣∣?AO?OB?∣∣∣∣?=∣∣∣∣?AO??B?∣∣∣∣?=∣∣∣∣?A??OB?∣∣∣∣?=∣A∣?∣B∣
性質二
設
A
,
B
\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}
A,B分別是m階和n階矩陣,則
∣
O
A
B
O
∣
=
(
?
1
)
m
n
∣
A
∣
?
∣
B
∣
\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|
∣∣∣∣?OB?AO?∣∣∣∣?=(?1)mn∣A∣?∣B∣
證明
證明一
對于性質一，我們只證
∣
A
O
?
B
∣
=
∣
A
∣
?
∣
B
∣
\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ *& \boldsymbol{B} \end{array}\right|=|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|
∣∣∣∣?A??OB?∣∣∣∣?=∣A∣?∣B∣
其他同理可得
設
D
=
∣
a
11
?
a
1
k
?
?
0
a
k
1
?
a
k
k
c
11
?
c
1
k
b
11
?
b
1
n
?
?
?
?
c
n
1
?
c
n
k
b
n
1
?
b
n
n
∣
D=\left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} & & & \\ \vdots & & \vdots & & 0 & \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1 k} & b_{11} & \cdots & b_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n 1} & \cdots & c_{n k} & b_{n 1} & \cdots & b_{n n} \end{array}\right|
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣?a11??ak1?c11??cn1???????a1k??akk?c1k??cnk??b11??bn1??0???b1n??bnn??∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣?
D
1
=
∣
a
11
?
a
1
k
?
?
a
k
1
?
a
k
k
∣
D_{1}=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} \end{array}\right|
D1?=∣∣∣∣∣∣∣?a11??ak1?????a1k??akk??∣∣∣∣∣∣∣?
D
2
=
∣
b
11
?
b
1
n
?
?
b
n
1
?
b
n
n
∣
D_{2}=\left|\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n 1} & \cdots & b_{n n} \end{array}\right|
D2?=∣∣∣∣∣∣∣?b11??bn1?????b1n??bnn??∣∣∣∣∣∣∣?
通過行變換把
D
1
D_{1}
D1?化成下三角行列式
D
1
=
∣
p
11
0
?
?
p
k
1
?
p
k
k
∣
=
p
11
?
p
k
k
D_{1}=\left|\begin{array}{ccc} p_{11} & & 0 \\ \vdots & \ddots & \\ p_{k 1} & \cdots & p_{k k} \end{array}\right|=p_{11} \cdots p_{k k}
D1?=∣∣∣∣∣∣∣?p11??pk1?????0pkk??∣∣∣∣∣∣∣?=p11??pkk?
同理，通過列變換把
D
2
D_{2}
D2?也化成下三角行列式
D
2
=
∣
q
11
0
?
?
q
n
1
?
q
n
n
∣
=
q
11
?
q
n
n
D_{2}=\left|\begin{array}{ccc} q_{11} & & 0 \\ \vdots & \ddots & \\ q_{n 1} & \cdots & q_{n n} \end{array}\right|=q_{11} \cdots q_{n n}
D2?=∣∣∣∣∣∣∣?q11??qn1?????0qnn??∣∣∣∣∣∣∣?=q11??qnn?
對行列式
D
D
D的前
k
k
k行進行行變換，后n列進行列變換成
D
=
∣
p
11
?
?
0
p
k
1
?
p
k
k
c
11
?
c
1
k
q
11
?
?
?
?
c
n
1
?
c
n
k
q
n
1
?
q
u
n
∣
D=\left|\begin{array}{cccccc} p_{11} & & & & & \\ \vdots & \ddots & & & 0 & \\ p_{k 1} & \cdots & p_{k k} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1 k} & q_{11} & & \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \\ c_{n 1} & \cdots & c_{n k} & q_{n 1} & \cdots & q_{u n} \end{array}\right|
D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣?p11??pk1?c11??cn1???????pkk?c1k??cnk??q11??qn1??0???qun??∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣?
由下三角行列式的性質可得
D
=
D
1
D
2
D=D_{1} D_{2}
D=D1?D2?
證明二
設想將
∣
O
A
B
O
∣
\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|
∣∣∣∣?OB?AO?∣∣∣∣?變為
k
?
∣
B
O
O
A
∣
k \cdot \left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}\end{array}\right|
k?∣∣∣∣?BO?OA?∣∣∣∣?的形式，然后用性質一即可解決，
用冒泡排序的思想將
B
\boldsymbol{B}
B中的每一行依次與
A
\boldsymbol{A}
A中的每一行交換，即可將
B
\boldsymbol{B}
B冒上去，這樣總共進行了
m
n
mn
mn次交換，由行列式的性質可得，行列式中任意交換兩行要變號，所以
∣
O
A
B
O
∣
=
(
?
1
)
m
n
∣
B
O
O
A
∣
=
(
?
1
)
m
n
∣
A
∣
?
∣
B
∣
\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=(-1)^{m n}\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|
∣∣∣∣?OB?AO?∣∣∣∣?=(?1)mn∣∣∣∣?BO?OA?∣∣∣∣?=(?1)mn∣A∣?∣B∣
補充：各種排序演算法的影片演示
參考文獻
[1]同濟大學數學系. 工程數學線性代數[M]. 高等教育出版社，2018
[2]朱靈 畢道旺. 線性代數[M]. 北京郵電出版社，2019
[3]湯家鳳. 線性代數輔導講義[M]. 中國原子能出版社，2018
[4]https://blog.csdn.net/xiaoxiaojie12321/article/details/81380834
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