▌卷積運算 ▌

1.卷積定義

卷積運算是數學中重要的運算，它廣泛被用于信號處理、系統分析中，它與相關運算的形式很接近，對于兩個連續時間信號 x ( t ) , y ( t ) x\left( t \right),y\left( t \right) x(t),y(t)，它們之間的卷積運算定義為： x ( t ) ? y ( t ) = ∫ ? ∞ ∞ x ( τ ) y ( t ? τ ) d τ x\left( t \right) * y\left( t \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( \tau \right)y\left( {t - \tau } \right)d\tau } x(t)?y(t)=∫?∞∞?x(τ)y(t?τ)dτ

對于離散序列，也可以定義對應的卷積和運算：

x [ n ] ? y [ n ] = ∑ m = ? ∞ ∞ x [ m ] y [ n ? m ] x\left[ n \right] * y\left[ n \right] = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {x\left[ m \right]y\left[ {n - m} \right]} x[n]?y[n]=m=?∞∑∞?x[m]y[n?m]

卷積（卷積和）運算滿足交換律、結合律、分配率，

2.卷積圖解示意

下圖顯示了兩個信號進行卷積獲得結果結果的程序，可以選擇其中一個進行反褶、平移 然后和另外一個信號進行相乘、積分或者最后的結果：

▌尺度變化 ▌

信號的尺度變化是指對于信號的自變數乘以一個常量，比如信號 f ( t ) f\left( t \right) f(t)，選擇一個常數 a a a，對應信號 f ( a t ) f\left( {at} \right) f(at)和原來信號相比就是發生了尺度變化，

當 a > 1 a > 1 a>1時，對應的信號波形收縮；當 a < 1 a < 1 a<1時對應的波形拉伸，下圖顯示了 sin ? c ( t ) \sin c\left( t \right) sinc(t)信號隨著自變數除以 2 n ? 1 2n - 1 2n?1的因子變化而對應的波形所發生的的變化情況，

▌卷積尺度變化 ▌

通常情況下，兩個信號進行卷積，如果對于其中任何一個進行尺度變化，所得到的結果與原來的結果之間并沒有太多的關系，

1.尺度性質

但是當兩個信號進行了相同的尺度變化，那么所得到的結果就與原來兩個信號的卷積結果之間存在著相同的尺度變化，比如：

y ( t ) = x ( t ) ? h ( t ) y\left( t \right) = x\left( t \right) * h\left( t \right) y(t)=x(t)?h(t)
那么： y ( t 2 ) = 1 2 x ( t 2 ) ? h ( t 2 ) y\left( {{t \over 2}} \right) = {1 \over 2}x\left( {{t \over 2}} \right) * h\left( {{t \over 2}} \right) y(2t?)=21?x(2t?)?h(2t?)

2.證明

這個性質可以通過變數替換得到證明：

3.舉例

對于任意信號 f ( t ) f\left( t \right) f(t)，都有：
f ( t ) = f ( t ) ? δ ( t ) f\left( t \right) = f\left( t \right) * \delta \left( t \right) f(t)=f(t)?δ(t)

那么： f ( t 2 ) ? δ ( t 2 ) = f ( t 2 ) ? [ 2 δ ( t ) ] = 2 f ( t 2 ) f\left( {{t \over 2}} \right) * \delta \left( {{t \over 2}} \right) = f\left( {{t \over 2}} \right) * \left[ {2\delta \left( t \right)} \right] = 2f\left( {{t \over 2}} \right) f(2t?)?δ(2t?)=f(2t?)?[2δ(t)]=2f(2t?)