萬物皆可建模，來點不一樣的知識，新型冠狀病毒肺炎的傳播預測模型

前言

隨著疫情的不斷發展，影響范圍不斷擴大，波及人數不斷增加，此次由冠狀病毒引發的病毒性肺炎（COVID-19）已在 2020 年 3 月 12 日被世界衛生組織（WHO）宣布為是一種大流行病，但到目前為止沒有定量的嚴格標準判斷某種疾病是否達到大流行水平，

資料如下：

科學計算數學建模-新型冠狀病毒資料

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新型冠狀病毒校園傳播模型：傳染機制構建

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復雜網路研究中的一個病毒傳播模型代碼

此外需要強調的一點是，大流行的特征所指的是疾病傳播的廣泛程度，而不是疾病的嚴重性，目前，在全球已有超過 200 個國家/地區報告了病毒感染病例，但由于各國的人口和經濟情況差別較大，病毒檢測能力和國家防疫政策都不盡相同，所以報告的病例是否就真實反映了病毒傳播的情況?如何能夠對于疫情情況給出更加有效的量化指標，這是世衛組織非常關心的問題，其次，在此次新冠病毒的感染者中“無癥狀感染者”是比較受到醫學專家關注的群體，“無癥狀感染者”指無臨床癥狀、但呼吸道等標本新冠病毒病原學檢測呈陽性者，無癥狀感染者可分為兩種情形：一是感染者核酸檢測呈陽性， 經過 14 天潛伏期的觀察，均無任何可自我感知或可臨床識別的癥狀與體征，始終為無癥狀感染狀態；二是感染者核酸檢測呈陽性，采樣時無任何可自我感知或可臨床識別的癥狀與體征，但隨后出現某種臨床表現，即處于潛伏期的“無癥狀感染”狀態，無癥狀感染者存在傳染性，但傳染期長短、強弱有待確定，不同專家對此有不同的看法，如何快速地、準確地、最小成本地識別和判斷無癥狀感染者是世界各國十分關注的問題，

所要解決的問題

1.建立數學模型，綜合考慮人口數、感染數量、病死人數、疫情持續時間、經濟狀況、醫療條件、人口密度、防疫政策等因素，給出一個合理的界定“流行”(Epidemic)和“大流行”(Pandemic)病的定量條件，

2.由于無癥狀感染者具有一定的傳染性和隱蔽性，如果進行全民病毒檢測需要花費大量的人力物力和時間，對后續的復工生產也有不利影響，總體來說效益不高，因此我們需要尋找一種更高效的方法來最大限度降低無癥狀感染者的傳播風險，比如對一個地區進行抽樣檢測來評估該地區無癥狀感染者的分布情況，再進一步制定不同的隔離與檢測方案，結合問題一的模型，針對一兩個國家（或地區），給出符合實際且可以實施的病毒檢測抽樣方案，并給出無癥狀感染者分布預測模型和針對相應預測結果的應對方案，

問題分析

(一) 問題1的分析

問題一要求給出合理界定“流行”和“大流行”病的定量條件，并且給出了多種因素：人口數、感染數量、病死人數、疫情持續時間、經濟狀況、醫療條件、人口密度、防疫政策等對疫情發展情況影響，為了簡化計算，我們將感染人數設定為主要因素，由于其中有幾個因素的相關性較為明顯，例如：經濟狀況和醫療條件相關性較為明顯，故可視為同一影響因素，我們經過合理的合并，最終確定一下四個因素人口數、疫情持續時間、醫療條件、防疫政策，為次要影響因素，通過層次分析法模型求出權重，與感染人數相互作用，分別通過SPSS和模糊函式進行聚類分析，確定類別之后，再以這個類別為根據，確定判別函式，

(二) 問題2的分析

由于無癥狀感染者是無法自己感知具體病癥的，只有經過血樣檢測可以查出來，所以我們要盡可能多的找出無癥狀感染者，以確定無癥狀感染者的分布情況，從而采取有效的措施以減少病毒的傳播，雖然全民進行病毒檢測是最保險最安全的方法，但是成本較高，為了降低成本，我們采取這樣的檢測方法：將 K 個人為一組進行分組，把同組的 K 個人血樣混在一起檢驗，如混合呈陰性，則說明此 K個 人的血都呈陰性，如混合血樣呈陽性，則再對此 K 個人的血樣分別進行化驗，選擇合適的K 值就能減少檢測的次數，我們以美國的一個地區：American California為 例，對于另一小題：無癥狀感染者的分布預測，首先我們采用 SEIR 模型，預測出 I（感染者）和E（潛伏者）的人數變化情況，然后可以利用已經給出的無癥狀感染者在感染者中所占的比例，再加上潛伏者的人數就是我們要求的無癥狀感染者的總人數，

模型假設

數學模型把新型冠狀病毒肺炎傳播程序分成兩個階段：

在第一階段，由于群眾對疾病具體情況不知情，對疫情的認知程度有限，導致對疾病傳播缺乏有效的防備措施， 在此階段下，研究人員根據新型冠狀病毒肺炎傳播特點，認為符合基本再生數為常數SIER 模型（易感-感染-潛伏-隔離）；

在第二階段，由于政府和人們高度重視，和對疾病傳播途徑已有較為準確的認知，人群會逐漸采取有效且科學的防控措施，使得基本再生數不斷下降，直到下降到小于1以下，并持續一段時間，達到對疾病的根除，

假設新型冠狀病毒傳播方式是且唯一是人傳人；

假設感染人群平均分散在人群中；

假設每個人接觸感染患者的概率和被感染率相同；

因沒有相關疫苗，所以恢復率r保持不變；

假設感染期間，每天病死率相同；

不考慮人口出生和死亡率，以及城市人口遷移率；

不考慮氣候對傳播的影響，

模型結構

根據 5分室傳播模型結構可知，新型冠狀病毒的傳播結構為:

冠狀病毒傳播流程圖

其中，方框內為狀態變數：

S=人群中易感染者人數（Susceptible）

E=人群中受感染處在潛伏期人數（Exposed）

I=人群中受感染發病，且有傳染性人數（Infectious）

R=人群中感染后已恢復并獲得免疫人數（Recovered）

D=人群中感染發病不治身亡人數（Died）

設總人口數P=S+E+I+R+D為常數，那么S=P-E-I-R-D;

箭頭字母表示轉移速率及其他引數：

h: 接種率或感染力，作為模型中關鍵的轉移速率，表示人群中平均每人每天受到感染的概率，是疾病傳播速度的重要理論指標之一，

h=abI

a：接觸率，表示人群中平均每人每天與1個病人發生近距離接觸的概率；通過改變a的值，可以模擬出不同程度的隔離措施，

b：感染效率，表示近距離接觸并感染成功的概率，影響b值的因素有病毒的致病力，病人的排毒量，防護措施對病人的影響，通過改變b值，可模擬不同程度的防護措施，

abI：人群中平均每人每天與感染病人中的任意一個接觸，并獲得有效感染的概率，

其他速率：

i：轉陽率，潛伏期天數倒數，即潛伏前者每天向發病者轉移的概率；

r：恢復率，有傳染性期限天數倒數，即病人每天得到恢復且免疫的概率；

k：病人日死亡率，發病者每天發生死亡的概率，k=病死率*恢復率，

方程組建立

根據上述模型結構，建立微方方程組和差方方程組，如圖所示：

微方方程組

（2）中的第一項表示某一刻人群中易感染者S轉變為E的人數，

差方方程組

根據差分方程組，可以計算出每日潛伏期感染者人數，每日疑似病例人數，每日新增病例數，累計病例數，每日死亡人數，累積死亡人數等動態變化，

引數設立

接觸率a: 根據假設，a=1/P，即總人口的倒數，特殊地區如醫院，病源地人員的接觸率可以稍高，如1.1/P；

感染效率b：根據SARS期間北京有關專家認定，SARS感染率為0.6，在此模型中我們假設感染率為0.6；

潛伏期：2-12天，取中位數7作為潛伏期，即轉陽率i=1/7;

恢復率r：根據其他冠狀病毒恢復期來看，假設普遍10天恢復，取7天，r=1/7;

日死亡率k：我們假設武漢死亡率為3.5%，所以病人日死亡率為r*0.035.

傳播能量C：1個病例1天內預期傳染人數；

基本繁殖率BRR：未采取措施的為R0=b/r=3.5，aP=1, 采取措施的為R，指在一個易感染人群中，1個病例感染期內預期傳染新病例個數，C的臨界值為r，若低于臨界值，則傳播趨勢終止，

EXCEL引數設立部分截圖

模型擬合

以武漢最初的疫情資料進行建模分析，根據以上模型和引數，接下來我們對武漢市疫情的發展進行模擬預測，武漢的主城區總人口數P為1100萬，疫情第一例報告發生在2019年12月上旬，12月下旬已經傳播了27例肺炎病例，因此流行初始期為12月上旬，感染者初始值為1，其余狀態變數初始值均為0，如圖所示：

我們從12月1號開始按照每10天作為一旬統計當旬疫情，

EXCEL模擬病毒傳播預測模型

*假設接觸率a和感染率b在一個月后下降40%，R=1.26，但在第48天開始僅下降20%，R=2.24，在第78天開始大幅度下降95%（疫情被控制），R=0.01，在第87天開始下降65%，R=0.43，在第109天同時下降40%，R=1.26，

**每旬為10天

假設新型冠狀病毒傳染性比SARS強，b為0.7，而大家接觸率都自覺降低以后，a值可以降低到0.9/總人口數，預測資料如下圖所示：

假設疫情傳染強度增強10%，而大家依然保持原有的無防護接觸率（a=1/P,b=0.7），武漢市感染人數峰值將在3月中旬達到峰值4萬左右人次，

預測模型檢驗

小結

根據以上圖表可以看出，我們訓練的前期病毒傳播速度的趨勢與實際趨勢符合，12月份到1月上旬確診人數遠小于預測人數，但隨后1月下旬疫情發展速度遠高于預測速度，這可能是由于

1）節前人口流動性大，帶來接觸率提高，導致傳播速度的提升；

2）在前期防護措施不當；

未來一個月的病發幾率依舊呈現指數型增長趨勢，特別是節后返工潮增加了傳播的人數，預計在3月上旬湖北武漢市確診人數將達到最高值1萬左右，以后病毒傳播速度會降低，5月月份以后趨于平穩，

當新型冠狀病毒的感染率比預期高0.1時，盡管大家盡量降低接觸率，但3月上旬確診人數將達到16000左右，

當防護措施做的足夠好的情況下，接觸率和感染率會保持不變，a,b的值會相應減小，基本繁殖率會降低，傳播速度降低的時間會早于預期，且趨于終止，

SIR模型

在傳統傳染病流行模型中，還有一類模型叫SIR模型，也可以叫3分室微分模型，模型考慮的因素以下列標記顏色的人群為主，易感染人群，已感染人群和恢復人群，

他的微分方程可以寫成：

根據微分方程公式，我們用Python中的常用微分函式odeint，可以模擬出不同的傳播強度對于感染人數的影響，

由上圖可知，當病毒的感染率提高10%時，感染人數比例由原來的0.4上升到了0.5左右，所以感染率對感染人群數量的峰值有著很大的影響，

模型比較

• SIR模型相對于5分室模型來說過于簡單，沒有考慮潛伏期人群和死亡人群，不適合應用在當下嚴重的疫情情景中；

• 兩者模型的共同點在于，感染率和恢復率都是其重要引數，而引數的初始設定目前并不穩定，所以未來對于新型冠狀病毒的感染率和恢復率引數具體化對于模型的預測效果有著重要的影響；

• 兩者都沒有考慮外界影響因素，如政策，環境，地理位置以及疫苗研發速度等變化對于疫情的影響，