小嘮嗑

很多時候自己學一些新知識的時候，總是會用到之前學過的知識點，但是由于有些點比較零散，不太能串成一條線，所以目前的我就準備遇到一個知識點便寫出來回顧一下，積累多了再找個時間再匯個總，梳理一下給它串起來，話不多說！
今天就談談特征向量的正交性吧！
Let 's begin！

一、定理：實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量都正交

證明：設 λ 1 \lambda_1 λ1?, λ 2 \lambda_2 λ2?是 A A A的兩個不同的特征值， α 1 \alpha_1 α1?, α 2 \alpha_2 α2?分別是其對應的特征向量
即有： A α 1 = λ 1 α 1 A α 2 = λ 2 α 2 A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1\quad\quad\quad A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2 Aα1?=λ1?α1?Aα2?=λ2?α2?

兩邊取轉置： α 1 T A = λ 1 α 1 T α 2 T A = λ 2 α 2 T \alpha_1^TA=\lambda_1\alpha_1^T\quad \quad\quad \alpha_2^TA=\lambda_2\alpha_2^T α1T?A=λ1?α1T?α2T?A=λ2?α2T?
兩式分別右乘 α 2 \alpha_2 α2?和 α 1 \alpha_1 α1?，則有：
α 1 T A α 2 = λ 1 α 1 T α 2 ( 1 ) \alpha_1^TA\alpha_2=\lambda_1\alpha_1^T\alpha_2\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1) α1T?Aα2?=λ1?α1T?α2?(1)
α 2 T A α 1 = λ 2 α 2 T α 1 ( 2 ) \alpha_2^TA\alpha_1=\lambda_2\alpha_2^T\alpha_1\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2) α2T?Aα1?=λ2?α2T?α1?(2)
再對 ( 2 ) (2) (2)式兩端取轉置有： α 1 T A α 2 = λ 2 α 1 T α 2 ( 3 ) \alpha_1^TA\alpha_2=\lambda_2\alpha_1^T\alpha_2\quad\quad\quad\quad\quad(3) α1T?Aα2?=λ2?α1T?α2?(3)
由 ( 1 ) ? （ 3 ） (1)-（3） (1)?（3）式得： 0 = ( λ 1 ? λ 2 ) α 1 T α 2 0=(\lambda_1-\lambda_2)\alpha_1^T\alpha_2 0=(λ1??λ2?)α1T?α2?
∵ λ 1 ≠ λ 2 \because\quad\lambda_1\neq\lambda_2 ∵λ1??=λ2?
∴ α 1 T α 2 = 0 \therefore\quad \alpha_1^T\alpha_2=0 ∴α1T?α2?=0
即 α 1 \alpha_1 α1?與 α 2 \alpha_2 α2?正交得證，

二、證明思路總結

其證明的核心思想是取轉置，兩式左邊構造成一致，做差后利用特征值不相同得出特征向量正交，

結尾小獨白

Amazing !這已經是第四篇博客了哈哈哈哈哈，我也沒想到我還能繼續寫下去，為了寫一篇優化演算法的博客出來就會牽涉到好多小的知識點，所以我得先把這些小的知識寫出來鋪墊一下，接下來還有好幾個碎片化知識點和一個優化演算法的博客需要發出來，干就完事！(latax寫公式確實還挺🆒)
如果解決了你的小困惑，希望一鍵三連支持一下！yeah!yeah!yeah!