序：本篇系列文章參照高翔老師《視覺SLAM十四講從理論到實踐》，講解三維空間剛體運動，博文將原第三講分為四部分來講解，其中四元數部分較多較復雜，又分為四部分，總體目錄如下：

1. 旋轉矩陣和變換矩陣；
2. 旋轉向量表示旋轉；
3. 歐拉角表示旋轉；
4. 四元數包括以下部分：
   4-1. 四元數表示變換；
   4-2. 四元數線性插值方法：LinEuler/LinMat/Lerp/Nlerp/Slerp；
   4-3. 四元數多點插值方法：Squad；
   4-4. 四元數多點二次插值方法：Spring，

1. 總述：多點旋轉插值的數學方法

之前提到的插值方法是相對較簡單的基于旋轉表示的方法，原則上，插值方法應獨立于該方法的旋轉方式，另外，對于最優插值演算法的定義應體現出旋轉空間期望的屬性，當然，最優曲線也可以在演算法上顯式的寫為旋轉運算式，
比如以下兩個旋轉間的插值：最優插值曲線等同于旋轉空間的一條直線，這條最優插值曲線在演算法上可以寫作歐拉角的表達方式，但是使用四元數形式的Slerp，Slerp的優勢是表述更簡潔（可參考之前《三維空間剛體運動4-1：四元數表示變換》第1章和第4章所述的旋轉空間和單位四元數球體的等價性），
因此，我們將基于旋轉空間討論插值問題，我們將給出最優插值曲線的基本數學要求，這是為了給出最優插值曲線演算法描述，并據此尋找符合條件的插值演算法，

2. 插值曲線及其連續性

2.1 插值曲線定義

旋轉間的插值定義在特殊正交群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)的旋轉空間中，關于特殊正交群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)請參考《三維空間剛體運動1：旋轉矩陣與變換矩陣》第2章的內容，然而，如之前所述， S O ( 3 ) SO(3) SO(3)與 H 1 H_{1} H1?是拓撲等價的，因此我們選擇在單位四元數空間中定義通用的插值方法：
定義：對于給定的 k k k個控制點 q i ∈ H 1 q_{i} \in H_{1} qi?∈H1?，并且 I = [ t 1 , . . . , t k ] I=[t_{1},...,t_{k}] I=[t1?,...,tk?]，插值曲線 γ ( t ) : I ∝ H 1 \gamma(t):I\propto H_{1} γ(t):I∝H1?，即對于 t i ∈ I t_{i}\in I ti?∈I，有 γ ( t i ) ≡ q i \gamma(t_{i})\equiv q_{i} γ(ti?)≡qi?，同時要求 t 1 ≤ t 2 , . . . , t k ? 1 ≤ t k t_{1}\leq t_{2},...,t_{k-1} \leq t_{k} t1?≤t2?,...,tk?1?≤tk?，

2.2 插值曲線連續性的討論

通常希望插值曲線是“漂亮”的，這個較模糊的字眼通常意味著曲線在微分幾何層面是平滑的，但是，由于存在多個不同的平滑定義故需求并不明確，定義列舉如下：
使 γ ( t ) \gamma(t) γ(t)是某曲線在 C n ( I , R n ) C^{n}(I,R^{n}) Cn(I,Rn)上的引數運算式，平滑性可被定義為下列方式：
（1）[Madsen, 1991]：如果 γ ( t ) ∈ C 1 \gamma(t)\in C^{1} γ(t)∈C1，并且 ? t ∈ I : γ ′ ( t ) ≠ 0 \forall t\in I:\gamma ^{'}(t)\neq 0 ?t∈I:γ′(t)?=0，那么曲線 γ ( t ) \gamma(t) γ(t)是平滑的，
（2）[Schwarz, 1989]：如果 γ ( t ) ∈ C 2 \gamma(t)\in C^{2} γ(t)∈C2，那么曲線 γ ( t ) \gamma(t) γ(t)是平滑的，
（3）[Jakobsen, 1993]：如果 γ ( t ) ∈ C ∞ \gamma(t)\in C^{\infty} γ(t)∈C∞，那么曲線 γ ( t ) \gamma(t) γ(t)是平滑的，
以上不同定義對于“漂亮”的表述并不明朗，我們還需要進一步檢查到底需要插值曲線的哪些性質，如下圖所示：

上圖表示平面中三個控制點間的插值曲線，其中：a)非連續插值曲線；b)連續插值曲線；c) C 1 C^{1} C1連續插值曲線；d) C 2 C^{2} C2連續插值曲線，
很明顯，我們希望曲線必須是連續且可微的，不希望在動態曲線上出現洞或斷點，因此我們要求插值曲線至少必須是 C 1 C^{1} C1，至于是否需要 C 2 C^{2} C2甚至 C ∞ C^{\infty} C∞還不確定，
由于控制點是對稱的（雙倍覆寫），因此也希望插值曲線是對稱的，平面上展示的曲線明確表示我們至少需要 C 2 C^{2} C2而不是 C 1 C^{1} C1，然而平面展示的曲線并不是采用 C 2 C^{2} C2的充分條件，因此目前采用幾階連續并不明朗，因此，我們將這一決定推遲到下一篇Spring中，
在 γ ( t ) \gamma(t) γ(t)平滑性的第一條定義中要求 γ ′ ( t ) ≠ 0 \gamma^{'}(t)\neq 0 γ′(t)?=0，這意味著插值函式不能包含奇點，現在看來，這是一個合理的要求，然而，某些情況也有可能對插值曲線的速度提出合理但矛盾的要求，例如，考慮一個鐘擺的影片，控制點(它們定義鐘擺擺動的角度)將位于旋轉空間的直線上，在外部位置（即端點處），鐘擺應該沒有速度，這與插值函式中的奇點相對應，因此，我們也將這一決定推遲到下一篇Spring中，
關于平滑性的討論并沒有給我們帶來太多的啟發，上面的定義甚至無法讓我們區分LinEuler、Lerp和Slerp，這些曲線都是 C 2 C^{2} C2（但在控制點處是 C 0 C^{0} C0），因此，僅僅描述插值曲線應該屬于哪一類函式是不夠的，

3. 最優插值曲線

3.1 最優插值曲線的引出

對平滑性的考量對插值曲線的定義沒有給出充分的需求，我們需要一個客觀明確的指標來衡量我們的曲線在旋轉空間中的“漂亮”程度，
我們將再次在平面中尋找靈感(見下圖)，如前所述，三次曲線通常用于在一系列點之間的插值，三次曲線有很多種，在上一篇4.3中描述的貝塞爾曲線就是一個例子，而最常見的一類曲線是樣條曲線，

上圖表示平面中的樣條插值：a)簡單線性插值；b)樣條插值曲線，
討論樣條曲線，我們必須像其他嚴謹的專案處理樣條曲線那樣，寫一點關于造船者的故事，傳統上，當造船者想要決定如何塑造一艘船的彎曲部分時，會使用一塊有彈性的金屬，這塊金屬被固定在一組鉚釘之間，然后，金屬部件與鉚釘相適應，形成一個優美柔和的曲線，造船者稱這個工具為樣條，關于樣條的知識也請參考上一篇4.3中描述的樣條，
從物理上看，上面對樣條的描述對應于金屬片在鉚釘約束條件下，達到最小的內部張力，從數學角度講，金屬件使曲率（curvature）最小，曲率是指一條（平面上的）曲線在特定一點彎曲的程度，它正比于曲線轉過的角度，反比于曲線的長度，關于曲率的知識請參考《什么是曲率和曲率半徑》，
在平面中，這個曲線可以描述如下：給定控制點 ( x i , y i ) ∈ R 2 (x_{i},y_{i})\in \mathbb{R}^{2} (xi?,yi?)∈R2，定義曲線 γ ( t ) ∈ C 2 ( I , R 2 ) \gamma(t)\in C^{2}(I,\mathbb{R}^{2}) γ(t)∈C2(I,R2)，其中 t t t是自然引數（如曲線長度，0-1之間的進度比等），并且使 γ ( t ) \gamma(t) γ(t)經過控制點，同時最小化運算式 ∫ I ∥ γ ′ ′ ( t ) ∥ 2 d t \int _{I}\left \| \gamma ^{''}(t) \right \| ^{2}dt ∫I?∥∥∥?γ′′(t)∥∥∥?2dt，此時曲率的平方最小，
這個簡單的公式從微分幾何中的一般概念出發，給出了插值曲線的明確定義，因此，我們選擇將曲率(或曲率平方)最小的曲線視為最優插值曲線，下面我們將看到，在 H 1 H_{1} H1?中計算這條曲線并不像在平面上那么簡單，

3.2 最優插值曲線在 H 1 H_{1} H1?的曲率

插值曲線位于四元數空間的超球面 H 1 H_{1} H1?上，假設 t t t為自然引數，那么曲線 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)的曲率通常被定義為 ∥ γ ′ ′ ( t ) ∥ \left \| \gamma ^{''}(t) \right \| ∥∥∥?γ′′(t)∥∥∥?，
這里解釋一下，上文關于曲率的資料中，二階可導函式的曲率被定義為： K ( t ) = ∥ γ ′ ′ ( t ) ∥ ( 1 + γ ′ ( t ) 2 ) 3 2 (3.1) K(t)=\frac{\left \| \gamma ^{''}(t) \right \|}{(1+\gamma ^{'}(t)^{2})\frac{3}{2}}\tag{3.1} K(t)=(1+γ′(t)2)23?∥∥∥?γ′′(t)∥∥∥??(3.1)然而在本篇論文中，曲率的分母被省略，論文并沒給出解釋，博主認為，這里的曲率 ∥ γ ′ ′ ( t ) ∥ \left \| \gamma ^{''}(t) \right \| ∥∥∥?γ′′(t)∥∥∥?是曲線在切平面上的投影的曲率，并非原曲線，而切平面在投影后已固定，分母可以作為常數處理，因此省略掉分母，另外一種原因，固定 γ ′ ( t ) \gamma ^{'}(t) γ′(t)可能有助于最小化角加速度，未定，后續補充，
插值曲線Slerp在四元數單位圓上產生大弧線（大弧線概念請參考本系列博文4-2的5.2.2節）， H 1 H_{1} H1?上的圓弧在切平面上的投影是一條直線，因此，可以預料大弧線的投影是沒有曲率的，如果用 ∥ γ ′ ′ ( t ) ∥ \left \| \gamma ^{''}(t) \right \| ∥∥∥?γ′′(t)∥∥∥?來計算曲率，曲率將不是零，而是1：即單位球的曲率，因此，我們想計算相對于四元數單位球面的曲率，而不是相對于四元數空間，我們稱這個曲率為區域曲率，
曲面上曲線的區域曲率的定義是基于微分幾何的，點的區域曲率定義如下：給定表面上的點，一個坐標系統(地圖)被放置在切平面，現在曲線的區域曲率就是投影到切平面上的曲線的曲率，這也叫做正切曲率，
在微分幾何中，大弧線(直線)稱為測地線，測地線投影到切面上，就成了一條直線，因此，正如預期的那樣，我們看到大弧線沒有任何區域彎曲，下面開始分析正切曲率，

上圖表示曲線 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)的正切向量 γ ′ ( t ) \gamma ^{'}(t) γ′(t)和正切曲率 γ ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}(t) γ′′(t)在平面的分量：a)表示位于四元數單位球面上曲線的位置向量 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)（位置矢量是在某一時刻，以坐標原點為起點，以運動質點所在位置為終點的有向線段），它在正切平面上的投影為 γ ′ ( t ) \gamma ^{'}(t) γ′(t)；b)向量 γ ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}(t) γ′′(t)可以分解為正切平面的分量 γ t ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}_{t}(t) γt′′?(t)和平行于位置矢量的分量 γ o ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}_{o}(t) γo′′?(t)，

由上圖可知，如果曲線 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)位于 H 1 H_{1} H1?的表面，我們可以將 γ ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}(t) γ′′(t)分解為兩個部分 γ t ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}_{t}(t) γt′′?(t)、 γ o ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}_{o}(t) γo′′?(t)，期望的曲率部分是 γ t ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}_{t}(t) γt′′?(t)，因為它表示 γ ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}(t) γ′′(t)的彎曲程度，因此，曲線 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)的區域曲率 κ \kappa κ可以表示為： κ ( r , t ) = ∥ γ t ′ ′ ( t ) ∥ = ∥ γ ′ ′ ( t ) ? γ o ′ ′ ( t ) ∥ \kappa (r,t)=\left \| \gamma ^{''}_{t}(t) \right \|=\left \| \gamma ^{''}(t)-\gamma ^{''}_{o}(t) \right \| κ(r,t)=∥∥∥?γt′′?(t)∥∥∥?=∥∥∥?γ′′(t)?γo′′?(t)∥∥∥?
由于曲線 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)位于 H 1 H_{1} H1?的表面， γ o ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}_{o}(t) γo′′?(t)平行于 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)，因此 γ o ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}_{o}(t) γo′′?(t)可以表示為 γ ′ ′ ( t ) \gamma ^{''}(t) γ′′(t)投影到 γ ( t ) \gamma (t) γ(t)，參考《三維空間剛體運動2：旋轉向量與羅德里格斯公式》中的投影公式（2.6），因此： γ t ′ ′ ( t ) = γ ′ ′ ( t ) ? γ o ′ ′ ( t ) = γ ′ ′ ( t ) ? ( γ ′ ′ ( t ) ? γ ( t ) ∥ γ ( t ) ∥ ) γ ( t ) ∥ γ ( t ) ∥ = γ ′ ′ ( t ) ? ( γ ′ ′ ( t ) ? γ ( t ) ) γ ( t ) \begin{aligned} \gamma ^{''}_{t}(t) &= \gamma ^{''}(t)-\gamma ^{''}_{o}(t) \\&= \gamma ^{''}(t)-\left ( \gamma ^{''}(t) \cdot \frac{\gamma (t)}{\left \| \gamma (t) \right \|} \right )\frac{\gamma (t)}{\left \| \gamma (t) \right \|} \\&= \gamma ^{''}(t) - (\gamma ^{''}(t) \cdot \gamma (t))\gamma (t) \end{aligned} γt′′?(t)?=γ′′(t)?γo′′?(t)=γ′′(t)?(γ′′(t)?∥γ(t)∥γ(t)?)∥γ(t)∥γ(t)?=γ′′(t)?(γ′′(t)?γ(t))γ(t)?由此給出區域曲率 κ \kappa κ的定義：給定 γ ( t ) ∈ C 2 ( I , H 1 ) \gamma(t)\in C^{2}(I,H_{1}) γ(t)∈C2(I,H1?)，區域曲率 κ ( γ , t ) \kappa(\gamma, t) κ(γ,t)被定義為： κ ( γ , t ) = ∥ γ ′ ′ ( t ) ? ( γ ′ ′ ( t ) ? γ ( t ) ) γ ( t ) ∥ (3.2) \kappa(\gamma, t)=\left \| \gamma ^{''}(t) - (\gamma ^{''}(t) \cdot \gamma (t))\gamma (t) \right \|\tag{3.2} κ(γ,t)=∥∥∥?γ′′(t)?(γ′′(t)?γ(t))γ(t)∥∥∥?(3.2)注意，這里 t t t不一定是自然引數，因此，上述定義在嚴格的微分幾何意義上是不正確的，在自然引數上引數化的曲線的曲率可寫作 κ ( r , t ) = ∥ γ ′ ′ ( t ) ∥ \kappa (r,t)=\left \| \gamma ^{''}(t) \right \| κ(r,t)=∥∥∥?γ′′(t)∥∥∥?，而對于光滑曲線，微分幾何上的正確運算式為： κ ( γ , t ) = ∥ γ ′ ′ ( t ) ∥ γ ′ ( t ) ∥ 2 ? γ ′ ( t ) ( γ ′ ′ ( t ) ? γ ′ ( t ) ) ∥ γ ′ ( t ) ∥ 4 ∥ \kappa(\gamma, t)=\left \| \frac{\gamma ^{''}(t)}{\left \| \gamma^{'}(t) \right \|^{2}} - \frac{\gamma^{'}(t) (\gamma ^{''}(t) \cdot \gamma^{'}(t))}{\left \| \gamma^{'}(t) \right \|^{4}}\right \| κ(γ,t)=∥∥∥∥∥?∥γ′(t)∥2γ′′(t)??∥γ′(t)∥4γ′(t)(γ′′(t)?γ′(t))?∥∥∥∥∥?然而，我們感興趣的不僅僅是插值曲線的形狀(曲率)，我們還想要一個“漂亮的”角速度函式，即使角加速度最小化的函式(從物理角度來看，對應的是使能量最小化)，在運算式3.2中角加速度是自動包括在內的，因為我們沒有重新引數化自然引數，因此我們使用運算式3.2來計算曲率，
下面將分別介紹正切曲率 κ ( γ , t ) \kappa(\gamma, t) κ(γ,t)在 H 1 H_{1} H1?上的連續決議解（第4章）、連續半決議解（第5章）和離散數字化解（篇幅原因，留至下篇），

4. 正切曲率 κ ( γ , t ) \kappa(\gamma, t) κ(γ,t)在 H 1 H_{1} H1?上的連續決議解

4.1 函式 K ( γ ) K(\gamma) K(γ)及變分法

我們將H1中的最優插值曲線定義為曲率平方和最小的曲線，但又必須通過控制點的限制，然后定義了H1中曲率的相關運算式，因此，我們得到問題的公式如下：
設控制點 q 1 , . . . , q N ∈ H 1 q_{1},...,q_{N}\in H_{1} q1?,...,qN?∈H1?，求 γ ( t ) ∈ C 2 ( I , H 1 ) \gamma(t)\in C^{2}(I,H_{1}) γ(t)∈C2(I,H1?)，使存在 t 1 , . . . , t N ∈ ( I ) t_{1},...,t_{N}\in (I) t1?,...,tN?∈(I)，滿足 γ ( t i ) = q i \gamma(t_{i})=q_{i} γ(ti?)=qi?，并使下列運算式最小化： K ( γ ) = ∫ t 1 t N ∥ κ ( γ , t ) ∥ 2 d t (4.1) K(\gamma)=\int_{t_{1}}^{t_{N}}\left \| \kappa (\gamma,t) \right \|^{2}dt\tag{4.1} K(γ)=∫t1?tN??∥κ(γ,t)∥2dt(4.1)這里將求以 γ \gamma γ為變數的曲率問題 κ ( γ , t ) \kappa (\gamma,t) κ(γ,t)轉換為對曲率平方的積分問題 K ( γ ) K(\gamma) K(γ)，同樣以函式 γ \gamma γ為變數，這里 K ( γ ) K(\gamma) K(γ)求的是整條曲線各個點的曲率平方之和，當它越小時，轉彎就越平滑，所耗費的動能也就越少，符合導航線路的基本要求，
使函式的積分最小化的問題叫做變分演算問題，又稱變分法，關于變分法請參考文章《變分法入門介紹》，這里不再贅述，在這里應用變分法只要記住，求極值應用到的必要條件是一階導數為零，
下面，我們將概述變分學中解決問題的基本方法， K ( γ ) K(\gamma) K(γ)達到最小值的一個必要條件是 K ′ ( γ ) = 0 K^{'}(\gamma)=0 K′(γ)=0，對于 δ ∈ R \delta \in \mathbb{R} δ∈R和 ψ ∈ C k ( I , H 1 ) \psi \in C^{k}(I,H_{1}) ψ∈Ck(I,H1?)，我們看一下導數定義： lim ? δ → 0 K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) δ = 0 (4.2) \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma)}{\delta}=0\tag{4.2} δ→0lim?δK(γ+δψ)?K(γ)?=0(4.2)上式中，函式 δ ψ \delta \psi δψ稱為 γ \gamma γ的變數函式，函式 γ + δ ψ \gamma+\delta \psi γ+δψ稱為比較函式，滿足邊界條件的函式 γ ( t ) ∈ C 2 ( I , H 1 ) \gamma(t)\in C^{2}(I,H_{1}) γ(t)∈C2(I,H1?)稱為容許函式，這樣，我們就得到了關于 γ \gamma γ的條件函式，

4.2 求解 γ \gamma γ

現在我們將推匯出變分問題的解必須滿足的要求，因此，我們假定解 γ \gamma γ和比較函式 γ + δ ψ \gamma+\delta \psi γ+δψ都是可容許的，并且 K ( γ ) K(\gamma) K(γ)是最小的，
比較函式 γ + δ ψ \gamma+\delta \psi γ+δψ若要被容許，前提必須是： ψ ( t 1 ) = ψ ( t 2 ) = . . . = ψ ( t N ) = 0 (4.3) \psi (t_{1}) = \psi (t_{2}) = ... = \psi (t_{N}) = 0\tag{4.3} ψ(t1?)=ψ(t2?)=...=ψ(tN?)=0(4.3)此外,由于 γ \gamma γ和 γ + δ ψ \gamma+\delta \psi γ+δψ在單位球面上，我們有 ∥ γ ∥ = 1 \left \| \gamma \right \|=1 ∥γ∥=1和 ∥ γ + δ ψ ∥ = 1 \left \| \gamma+\delta \psi\right \|=1 ∥γ+δψ∥=1，在下面的推導中，可以忽略運算式成分中包含四元數函式這一情況，這是因為沒有使用四元數乘法(只使用標量乘積)，
因此，交換性沒有問題，因此我們有： 1 = ∥ γ + δ ψ ∥ 2 = ∥ γ ∥ 2 + δ 2 ∥ ψ ∥ + 2 δ ( γ ? ψ ) = 1 + δ ( δ ∥ ψ ∥ + 2 γ ? ψ ) ? γ ? ψ = ? δ 2 ∥ ψ ∥ 2 (4.4) \begin{aligned} 1 &= \left \| \gamma + \delta \psi \right \|^{2} \\&= \left \| \gamma \right \|^{2} + \delta^{2}\left \| \psi \right \| + 2\delta(\gamma \cdot \psi) \\&= 1 + \delta(\delta\left \| \psi \right \| + 2\gamma \cdot \psi) \\ \Rightarrow \gamma \cdot \psi &= -\frac{\delta}{2}\left \| \psi \right \|^{2}\end{aligned}\tag{4.4} 1?γ?ψ?=∥γ+δψ∥2=∥γ∥2+δ2∥ψ∥+2δ(γ?ψ)=1+δ(δ∥ψ∥+2γ?ψ)=?2δ?∥ψ∥2?(4.4)我們想用關于"導數"的知識來檢驗 K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) K(γ+δψ)?K(γ)： K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) = ∫ t 1 t N ∥ κ ( γ + δ ψ , t ) ∥ 2 ? ∥ κ ( γ , t ) ∥ d t = ∫ t 1 t N ∥ ( γ + δ ψ ) ′ ′ ? ( ( γ + δ ψ ) ′ ′ ? ( γ + δ ψ ) ) ( γ + δ ψ ) ∥ 2 ? ∥ γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ∥ 2 d t = ∫ t 1 t N ∥ γ ′ ′ + δ ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ + δ γ ′ ′ ? ψ + δ γ ψ ′ ′ + δ 2 ψ ′ ′ ? ψ ) ( γ + δ ψ ) ∥ 2 ? ∥ γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ∥ 2 d t = ∫ t 1 t N ∥ [ γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ] + δ [ ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ψ ? ( γ ′ ′ ? ψ ) γ ? ( ψ ′ ′ ? γ ) γ ) ] + δ 2 [ . . . ] + δ 3 [ . . . ] ∥ 2 ? ∥ γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ∥ 2 d t \begin{aligned} K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) &= \int_{t_{1}}^{t_{N}}\left \| \kappa (\gamma+\delta\psi,t) \right\|^{2} - \left \| \kappa (\gamma,t) \right \|dt \\&= \int_{t_{1}}^{t_{N}}\left \| (\gamma+\delta\psi)^{''}-((\gamma+\delta\psi)^{''}\cdot(\gamma+\delta\psi))(\gamma+\delta\psi) \right \|^{2} - \left \| \gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma \right \|^{2}dt \\&= \int_{t_{1}}^{t_{N}}\left \| \gamma^{''} + \delta\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma+\delta\gamma^{''}\cdot\psi+\delta\gamma\psi^{''}+\delta^{2}\psi^{''}\cdot\psi)(\gamma+\delta\psi) \right \|^{2} - \left \| \gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma \right \|^{2}dt \\&= \int_{t_{1}}^{t_{N}}\left \| [\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma] + \delta[\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\psi-(\gamma^{''}\cdot\psi)\gamma-(\psi^{''}\cdot\gamma)\gamma)] + \delta^{2}[...] + \delta^{3}[...]\right \|^{2} \\ &\quad\quad- \left \| \gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma \right \|^{2}dt\end{aligned} K(γ+δψ)?K(γ)?=∫t1?tN??∥κ(γ+δψ,t)∥2?∥κ(γ,t)∥dt=∫t1?tN??∥∥∥?(γ+δψ)′′?((γ+δψ)′′?(γ+δψ))(γ+δψ)∥∥∥?2?∥∥∥?γ′′?(γ′′?γ)γ∥∥∥?2dt=∫t1?tN??∥∥∥?γ′′+δψ′′?(γ′′?γ+δγ′′?ψ+δγψ′′+δ2ψ′′?ψ)(γ+δψ)∥∥∥?2?∥∥∥?γ′′?(γ′′?γ)γ∥∥∥?2dt=∫t1?tN??∥∥∥?[γ′′?(γ′′?γ)γ]+δ[ψ′′?(γ′′?γ)ψ?(γ′′?ψ)γ?(ψ′′?γ)γ)]+δ2[...]+δ3[...]∥∥∥?2?∥∥∥?γ′′?(γ′′?γ)γ∥∥∥?2dt?在上述運算式中，我們根據 δ \delta δ的指數收集了多項式，上述推導的目的是求導數， K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) K(γ+δψ)?K(γ)的展開式中，被 δ 2 \delta^{2} δ2和 δ 3 \delta^{3} δ3乘的多項式可以被洗掉，因為在檢查極限時，除以 δ \delta δ后，當 δ \delta δ無限接近零時它們就消失了，因此，上面運算式可被寫為： K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) = ∫ t 1 t N ∥ A + δ B ∥ 2 ? ∥ A ∥ 2 d t = ∫ t 1 t N δ 2 ∥ B ∥ 2 + 2 δ A ? B d t \begin{aligned} K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) &= \int_{t_{1}}^{t_{N}}\left \| A+\delta B \right \|^{2} - \left \| A \right \|^{2}dt \\&= \int_{t_{1}}^{t_{N}}\delta^{2}\left \| B \right \|^{2}+2\delta A\cdot Bdt\end{aligned} K(γ+δψ)?K(γ)?=∫t1?tN??∥A+δB∥2?∥A∥2dt=∫t1?tN??δ2∥B∥2+2δA?Bdt?這里 A = γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ , B = ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ψ ? ( γ ′ ′ ? ψ ) γ ? ( ψ ′ ′ ? γ ) γ ) A=\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma,B=\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\psi-(\gamma^{''}\cdot\psi)\gamma-(\psi^{''}\cdot\gamma)\gamma) A=γ′′?(γ′′?γ)γ,B=ψ′′?(γ′′?γ)ψ?(γ′′?ψ)γ?(ψ′′?γ)γ)，同樣省略被 δ 2 \delta^{2} δ2乘的項，重寫運算式為： K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) = ∫ t 1 t N 2 δ [ γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ] [ ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ψ ? ( γ ′ ′ ? ψ ) γ ? ( ψ ′ ′ ? γ ) γ ) ] d t = 2 δ ∫ t 1 t N γ ′ ′ ? ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ ) ? ( γ ′ ′ ? ψ ) ( γ ′ ′ ? γ ) ? ( γ ? ψ ′ ′ ) ( γ ′ ′ ? γ ) ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ? ψ ′ ′ ) + ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ? ψ ) + ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ ) ( γ ? γ ) + ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ? ψ ′ ′ ) ( γ ? γ ) d t \begin{aligned} K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) &= \int_{t_{1}}^{t_{N}}2\delta[\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma][\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\psi-(\gamma^{''}\cdot\psi)\gamma-(\psi^{''}\cdot\gamma)\gamma)]dt \\&= 2\delta\int_{t_{1}}^{t_{N}}\gamma^{''}\cdot\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi)-(\gamma^{''}\cdot\psi)(\gamma^{''}\cdot\gamma)-(\gamma\cdot\psi^{''})(\gamma^{''}\cdot\gamma)-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma\cdot\psi^{''}) \\&\quad\quad+ (\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma\cdot\psi)+(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi)(\gamma\cdot\gamma)+(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma\cdot\psi^{''})(\gamma\cdot\gamma)dt\end{aligned} K(γ+δψ)?K(γ)?=∫t1?tN??2δ[γ′′?(γ′′?γ)γ][ψ′′?(γ′′?γ)ψ?(γ′′?ψ)γ?(ψ′′?γ)γ)]dt=2δ∫t1?tN??γ′′?ψ′′?(γ′′?γ)(γ′′?ψ)?(γ′′?ψ)(γ′′?γ)?(γ?ψ′′)(γ′′?γ)?(γ′′?γ)(γ?ψ′′)+(γ′′?γ)(γ′′?γ)(γ?ψ)+(γ′′?γ)(γ′′?ψ)(γ?γ)+(γ′′?γ)(γ?ψ′′)(γ?γ)dt?由于 γ \gamma γ在四元數單位圓 H 1 H_{1} H1?上，因此 γ ? γ = ∥ γ ∥ 2 = 1 \gamma\cdot\gamma=\left \| \gamma \right \|^{2}=1 γ?γ=∥γ∥2=1，同時將公式（4.4）的結論 γ ? ψ = ? δ 2 ∥ ψ ∥ 2 \gamma \cdot \psi = -\frac{\delta}{2}\left \| \psi \right \|^{2} γ?ψ=?2δ?∥ψ∥2代入上述運算式中，我們得到： K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) = 2 δ ∫ t 1 t N γ ′ ′ ? ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ + γ ? ψ ′ ′ ) + ( γ ′ ′ ? γ ) 2 ( ? δ 2 ∥ ψ ∥ 2 ) d t = 2 δ ∫ t 1 t N γ ′ ′ ? ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ + γ ? ψ ′ ′ ) d t \begin{aligned} K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) &= 2\delta\int_{t_{1}}^{t_{N}}\gamma^{''}\cdot\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi+\gamma\cdot\psi^{''})+(\gamma^{''}\cdot\gamma)^{2}( -\frac{\delta}{2}\left \| \psi \right \|^{2})dt \\&= 2\delta\int_{t_{1}}^{t_{N}}\gamma^{''}\cdot\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi+\gamma\cdot\psi^{''})dt\end{aligned} K(γ+δψ)?K(γ)?=2δ∫t1?tN??γ′′?ψ′′?(γ′′?γ)(γ′′?ψ+γ?ψ′′)+(γ′′?γ)2(?2δ?∥ψ∥2)dt=2δ∫t1?tN??γ′′?ψ′′?(γ′′?γ)(γ′′?ψ+γ?ψ′′)dt?同樣省略被 δ 2 \delta^{2} δ2乘的項，經過多次改寫，我們將 δ \delta δ分離單獨作為一個因素，當除以 δ \delta δ時，這個因子將消失在導數的運算式中，因此，我們現在想分離出包含 ψ \psi ψ的項，使用分部積分和公式（4.3）的結論，運算式被重寫如下： K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) = 2 δ ∑ i = 1 N ? 1 L i \begin{aligned} K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) &= 2\delta \sum_{i=1}^{N-1}L_{i}\end{aligned} K(γ+δψ)?K(γ)?=2δi=1∑N?1?Li??其中 L i = ∫ t i t i + 1 γ ′ ′ ? ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ + γ ? ψ ′ ′ ) d t = ∫ t i t i + 1 ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ψ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ ) d t = [ ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ψ ′ ] t i t i + 1 ? ∫ t i t i + 1 ( d d t ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ) ? ψ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ ) d t = [ ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ψ ′ ] t i t i + 1 ? [ ( d d t ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ) ? ψ ] t i t i + 1 + ∫ t i t i + 1 ( d 2 d t 2 ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ) ? ψ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ ) d t \begin{aligned} L_{i} &= \int_{t_{i}}^{t_{i+1}}\gamma^{''}\cdot\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi+\gamma\cdot\psi^{''})dt \\&= \int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)\cdot\psi^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi)dt \\&= [(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)\cdot\psi^{'}]_{t_{i}}^{t_{i+1}} - \int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(\frac{d}{dt}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma))\cdot\psi^{'}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi)dt \\&= [(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)\cdot\psi^{'}]_{t_{i}}^{t_{i+1}} - [(\frac{d}{dt}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma))\cdot\psi]_{t_{i}}^{t_{i+1}} \\& \quad\quad+\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma))\cdot\psi-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi)dt\end{aligned} Li??=∫ti?ti+1??γ′′?ψ′′?(γ′′?γ)(γ′′?ψ+γ?ψ′′)dt=∫ti?ti+1??(γ′′?(γ′′?γ)γ)?ψ′′?(γ′′?γ)(γ′′?ψ)dt=[(γ′′?(γ′′?γ)γ)?ψ′]ti?ti+1???∫ti?ti+1??(dtd?(γ′′?(γ′′?γ)γ))?ψ′?(γ′′?γ)(γ′′?ψ)dt=[(γ′′?(γ′′?γ)γ)?ψ′]ti?ti+1???[(dtd?(γ′′?(γ′′?γ)γ))?ψ]ti?ti+1??+∫ti?ti+1??(dt2d2?(γ′′?(γ′′?γ)γ))?ψ?(γ′′?γ)(γ′′?ψ)dt?注意，上面的運算式要求它是四階可微的，現在我們可以使用 ψ \psi ψ在所有控制點上為零的公式（4.3），可以看到第二項為零，于是得到: L i = [ ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ψ ′ ] t i t i + 1 + ∫ t i t i + 1 ( d 2 d t 2 ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ) ? ψ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ ) d t \begin{aligned} L_{i} &= [(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)\cdot\psi^{'}]_{t_{i}}^{t_{i+1}} +\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma))\cdot\psi-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi)dt\end{aligned} Li??=[(γ′′?(γ′′?γ)γ)?ψ′]ti?ti+1??+∫ti?ti+1??(dt2d2?(γ′′?(γ′′?γ)γ))?ψ?(γ′′?γ)(γ′′?ψ)dt?再次考慮整個運算式： K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) = 2 δ ∑ i = 1 N ? 1 L i = 2 δ ∑ i = 1 N ? 1 [ ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ψ ′ ] t i t i + 1 + 2 δ ∑ i = 1 N ? 1 ∫ t i t i + 1 ( d 2 d t 2 ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ) ? ψ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ( γ ′ ′ ? ψ ) d t = 2 δ [ ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ψ ′ ] t 1 t N + 2 δ ∑ i = 1 N ? 1 ∫ t i t i + 1 ( d 2 d t 2 ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ′ ′ ) ? ψ d t \begin{aligned} K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma) &= 2\delta \sum_{i=1}^{N-1}L_{i} \\&= 2\delta\sum_{i=1}^{N-1}[(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)\cdot\psi^{'}]_{t_{i}}^{t_{i+1}} + 2\delta\sum_{i=1}^{N-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma))\cdot\psi-(\gamma^{''}\cdot\gamma)(\gamma^{''}\cdot\psi)dt \\&= 2\delta[(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)\cdot\psi^{'}]_{t_{1}}^{t_{N}} + 2\delta\sum_{i=1}^{N-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma^{''})\cdot\psi dt \end{aligned} K(γ+δψ)?K(γ)?=2δi=1∑N?1?Li?=2δi=1∑N?1?[(γ′′?(γ′′?γ)γ)?ψ′]ti?ti+1??+2δi=1∑N?1?∫ti?ti+1??(dt2d2?(γ′′?(γ′′?γ)γ))?ψ?(γ′′?γ)(γ′′?ψ)dt=2δ[(γ′′?(γ′′?γ)γ)?ψ′]t1?tN??+2δi=1∑N?1?∫ti?ti+1??(dt2d2?(γ′′?(γ′′?γ)γ)?(γ′′?γ)γ′′)?ψdt?利用控制點的連續性進行最后改寫，我們可以求出“導數”： lim ? δ → 0 K ( γ + δ ψ ) ? K ( γ ) δ = 2 [ ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ψ ′ ] t 1 t N + 2 ∑ i = 1 N ? 1 ∫ t i t i + 1 ( d 2 d t 2 ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ′ ′ ) ? ψ d t (4.5) \begin{aligned} \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{K(\gamma+\delta \psi)-K(\gamma)}{\delta} &= 2[(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)\cdot\psi^{'}]_{t_{1}}^{t_{N}} \\&+ 2\sum_{i=1}^{N-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma)-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma^{''})\cdot\psi dt \tag{4.5}\end{aligned} δ→0lim?δK(γ+δψ)?K(γ)??=2[(γ′′?(γ′′?γ)γ)?ψ′]t1?tN??+2i=1∑N?1?∫ti?ti+1??(dt2d2?(γ′′?(γ′′?γ)γ)?(γ′′?γ)γ′′)?ψdt?(4.5)由于 γ ? γ = ∥ γ ∥ = 1 \gamma\cdot\gamma=\left \| \gamma \right \|=1 γ?γ=∥γ∥=1，所以有： 0 = ( 1 ) ′ ′ = ( γ ? γ ) ′ ′ = 2 γ ′ ′ ? γ + 2 γ ′ ? γ ′ (4.6) 0=(1)^{''}=(\gamma\cdot\gamma)^{''}=2\gamma^{''}\cdot\gamma+2\gamma^{'}\cdot\gamma^{'}\tag{4.6} 0=(1)′′=(γ?γ)′′=2γ′′?γ+2γ′?γ′(4.6)由于在控制點處對任意 ψ \psi ψ的導數必須為零（方程4.3），結合方程4.6，我們對解有以下要求： γ ∈ C 4 ( ( I ) , H 1 ) 0 = γ ′ ′ ( t 1 ) ? ( γ ′ ′ ( t 1 ) ? γ ( t 1 ) ) γ ( t 1 ) 0 = γ ′ ′ ( t N ) ? ( γ ′ ′ ( t N ) ? γ ( t N ) ) γ ( t N ) ( γ ′ ′ ? γ ) γ ′ ′ = d 2 d t 2 ( γ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ) = γ ′ ′ ′ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) ′ ′ γ ? 2 ( γ ′ ′ ? γ ) ′ γ ′ ? ( γ ′ ′ ? γ ) γ ′ ′ ? 0 = γ ′ ′ ′ ′ + ( γ ′ ? γ ′ ) ′ ′ γ + 2 ( γ ′ ? γ ′ ) ′ γ ′ + 2 ( γ ′ ? γ ′ ) γ ′ ′ \begin{aligned} \gamma & \in C^{4}((I),H_{1}) \\ 0 &= \gamma^{''}(t_{1})-(\gamma^{''}(t_{1})\cdot\gamma(t_{1}))\gamma(t_{1}) \\ 0 &= \gamma^{''}(t_{N})-(\gamma^{''}(t_{N})\cdot\gamma(t_{N}))\gamma(t_{N}) \\ (\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma^{''} &= \frac{d^{2}}{dt^{2}}(\gamma^{''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma) \\&= \gamma^{''''}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)^{''}\gamma-2(\gamma^{''}\cdot\gamma)^{'}\gamma^{'}-(\gamma^{''}\cdot\gamma)\gamma^{''} \\ \Rightarrow 0&= \gamma^{''''}+(\gamma^{'}\cdot\gamma^{'})^{''}\gamma+2(\gamma^{'}\cdot\gamma^{'})^{'}\gamma^{'}+2(\gamma^{'}\cdot\gamma^{'})\gamma^{''} \end{aligned} γ00(γ′′?γ)γ′′?0?∈C4((I),H1?)=γ′′(t1?)?(γ′′(t1?)?γ(t1?))γ(t1?)=γ′′(tN?)?(γ′′(tN?)?γ(tN?))γ(tN?)=dt2d2?(γ′′?(γ′′?γ)γ)=γ′′′′?(γ′′?γ)′′γ?2(γ′′?γ)′γ′?(γ′′?γ)γ′′=γ′′′′+(γ′?γ′)′′γ+2(γ′?γ′)

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/272822.html

標籤：AI

上一篇：記一次.Net Core通過GDI+在CentOS 7(Docker)環境中繪圖報錯The type initializer for ‘Gdip‘ threw an exception的問題及處理方式

下一篇：資料結構——“優雅的”復雜度