羅德里格斯旋轉公式及其推導
- 羅德里格斯（Rodrigues）旋轉公式及其推導
- 三維空間旋轉矩陣
- 羅德里格斯旋轉方程（Rodrigues）
- *叉積矩陣*
- *拉格朗日公式（向量三重積展開）*
- *羅德里格斯旋轉方程推導*
羅德里格斯（Rodrigues）旋轉公式及其推導
三維空間旋轉矩陣
計算機圖形學中，三維空間下繞不同坐標軸的旋轉矩陣如下（右手系逆時針）：
繞X軸旋轉：
R
x
=
[
1
0
0
0
c
o
s
θ
?
sin
?
θ
0
s
i
n
θ
cos
?
θ
]
(1)
R_x = \left[ \begin{matrix} \ 1 & 0 & 0 \\ \ 0 &cos \theta & -\sin \theta \\ \ 0 &sin \theta& \cos \theta \end{matrix} \right] \tag{1}
Rx?=??? 1 0 0?0cosθsinθ?0?sinθcosθ????(1)
繞Y軸旋轉： R y = [ cos ? θ 0 sin ? θ 0 1 0 ? sin ? θ 0 cos ? θ ] (2) R_y= \left[ \begin{matrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ \ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{matrix} \right] \tag{2} Ry?=???cosθ 0?sinθ?010?sinθ0cosθ????(2)
繞Z軸旋轉： R z = [ c o s θ ? sin ? θ 0 s i n θ cos ? θ 0 0 0 1 ] (3) R_z = \left[ \begin{matrix} \ cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \ sin \theta& \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \tag{3} Rz?=??? cosθ sinθ0??sinθcosθ0?001????(3)
可以看到，這三個旋轉矩陣，只有在三維空間下物體圍繞某一特定坐標軸旋轉的特殊情況下才能使用，從幾何角度來講，三維空間中任意一個旋轉（繞任意軸），都可以分解為繞X軸，Y軸，Z軸旋轉的復合，即對于任意旋轉軸
n
?
\vec{n}
n
,旋轉角
θ
\theta
θ：
R
(
n
?
,
θ
)
=
R
(
x
?
,
θ
x
)
?
R
(
y
?
,
θ
y
)
?
R
(
z
?
,
θ
z
)
?
.
(4)
R(\vec{n},\theta) = R(\vec{x},\theta x) * R(\vec{y},\theta y) * R(\vec{z},\theta z)\,.\tag{4}
R(n
,θ)=R(x
,θx)?R(y
?,θy)?R(z
,θz).(4)
然而，這樣分解與矩陣運算的計算量顯然是十分大的，
羅德里格斯旋轉方程（Rodrigues）
羅德里格斯旋轉公式，用于表示空間中任一向量
v
?
\vec{v}
v
，沿任一旋轉軸
k
?
\vec{k}
k
, 旋轉任一角度
θ
\theta
θ后，得到的結果:
v
?
r
o
t
=
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
(5)
\vec{v}_{rot} = \vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \tag{5}
v
rot?=v
cosθ+(1?cosθ)(k
? v
)?k
+sinθ?k
×v
(5)
這個式子還不是很直觀，所以需要引入另外兩個公式來再推導兩步化簡：
叉積矩陣
~~~~~~~
關于
a
?
×
b
?
\vec{a} \times \vec{b}
a
×b
，有：
(
x
a
y
a
z
a
)
×
(
x
b
y
b
z
b
)
=
(
y
a
z
b
?
z
a
y
b
z
a
x
b
?
x
a
z
b
x
a
y
b
?
y
a
x
b
)
(6)
\begin{pmatrix} x_a \\y_a \\ z_a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_b \\y_b \\ z_b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_az_b - z_ay_b \\z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b -y_ax_b \end{pmatrix}\tag{6}
???xa?ya?za?????×???xb?yb?zb?????=???ya?zb??za?yb?za?xb??xa?zb?xa?yb??ya?xb?????(6)
~~~~~~~
可以寫成矩陣形式：
(
y
a
z
b
?
z
a
y
b
z
a
x
b
?
x
a
z
b
x
a
y
b
?
y
a
x
b
)
=
(
0
?
z
a
y
a
z
a
0
?
x
a
?
y
a
x
a
0
)
?
(
x
b
y
b
z
b
)
(7)
\begin{pmatrix} y_az_b - z_ay_b \\z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b -y_ax_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-z_a & y_a \\z_a &0&-x_a \\ -y_a &x_a &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\y_b \\ z_b \end{pmatrix}\tag{7}
???ya?zb??za?yb?za?xb??xa?zb?xa?yb??ya?xb?????=???0za??ya???za?0xa??ya??xa?0????????xb?yb?zb?????(7)
~~~~~~~
則可記
a
?
\vec{a}
a
的 " 叉積矩陣 " 為：
R
a
?
=
(
0
?
z
a
y
a
z
a
0
?
x
a
?
y
a
x
a
0
)
(8)
R_{\vec{a}} = \begin{pmatrix} 0&-z_a & y_a \\z_a &0&-x_a \\ -y_a &x_a &0 \end{pmatrix} \tag{8}
Ra
?=???0za??ya???za?0xa??ya??xa?0????(8)
~~~~~~~
對于任意向量
b
?
\vec{b}
b
, 有 :
a
?
×
b
?
=
R
a
?
?
b
?
(9)
\vec{a} \times \vec{b} = R_{\vec{a}} \cdot \vec{b}\tag{9}
a
×b
=Ra
??b
(9)
拉格朗日公式（向量三重積展開）
~~~~~~~
對于三個向量
a
?
b
?
c
?
\vec{a} ~\vec{b} ~\vec{c}
a
b
c
，向量的三重積定義為：
a
?
×
(
b
?
×
c
?
)
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})
a
×(b
×c
)
~~~~~~~
值得注意的是，一般來說 :
a
?
×
(
b
?
×
c
?
)
≠
(
a
?
×
b
?
)
×
c
?
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}
a
×(b
×c
)?=(a
×b
)×c
~~~~~~~
以下恒等式，稱作三重積展開或拉格朗日公式，對于任意向量
a
?
、
b
?
、
c
?
\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}
a
、b
、c
均成立 ：
a ? × ( b ? × c ? ) = ( a ? ? c ? ) b ? ? ( a ? ? b ? ) c ? (10) \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) ~\vec{b} -(\vec{a} \cdot \vec{b}) ~\vec{c}\tag{10} a ×(b ×c )=(a ?c ) b ?(a ?b ) c (10)
羅德里格斯旋轉方程推導
~~~~~~~
如上圖所示，描述了一個空間中的向量
v
?
\vec{v}
v
，沿旋轉軸
k
?
\vec{k}
k
(單位向量), 逆時針旋轉了
θ
\theta
θ角度到
v
?
r
o
t
\vec{v}_{rot}
v
rot?的幾何關系，
~~~~~~~
在
v
?
與
k
?
\vec{v} 與 \vec{k}
v
與k
組成的平面上,
v
?
\vec{v}
v
可以分解為:與
k
?
\vec{k}
k
垂直的分量
v
⊥
?
\vec{v_{\perp}}
v⊥?
?和與
k
?
\vec{k}
k
平行的分量
v
∥
?
\vec{v_{\parallel}}
v∥?
?,有：
v
?
=
v
∥
?
+
v
⊥
?
v
?
r
o
t
=
v
?
r
o
t
∥
+
v
?
r
o
t
⊥
(11)
\vec{v} = \vec{v_{\parallel}} + \vec{v_{\perp}} \tag{11} ~~ \vec{v}_{rot} = \vec{v}_{rot\parallel} + \vec{v}_{rot\perp}
v
=v∥?
?+v⊥?
? v
rot?=v
rot∥?+v
rot⊥?(11)
~~~~~~~
其中,易得：
v
∥
?
=
(
v
?
?
k
?
)
?
k
?
(12)
\vec{v_{\parallel}} = (\vec{v} \cdot \vec{k}) * \vec{k}\tag{12}
v∥?
?=(v
?k
)?k
(12)
~~~~~~~
則，由（11）式：
v
⊥
?
=
v
?
?
v
∥
?
=
v
?
?
(
v
?
?
k
?
)
?
k
?
(13)
\vec{v_{\perp}} = \vec{v} - \vec{v_{\parallel}} = \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{k}) * \vec{k}\tag{13}
v⊥?
?=v
?v∥?
?=v
?(v
?k
)?k
(13)
~~~~~~~
由 （10）式拉格朗日公式：
v
?
?
(
v
?
?
k
?
)
?
k
?
=
(
k
?
?
k
?
)
?
v
?
?
(
k
?
?
v
?
)
?
k
?
=
k
?
×
(
v
?
×
k
)
?
(14)
\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{k}) * \vec{k} = (\vec{k} \cdot \vec{k}) *\vec{v} - (\vec{k} \cdot \vec{v}) * \vec{k} = \vec{k} \times(\vec{v}\times \vec{k)}\tag{14}
v
?(v
?k
)?k
=(k
?k
)?v
?(k
?v
)?k
=k
×(v
×k)
?(14)
~~~~~~~
則：
v
⊥
?
=
k
?
×
(
v
?
×
k
)
?
=
?
k
?
×
(
k
?
×
v
)
?
(15)
\vec{v_{\perp}} = \vec{k} \times(\vec{v}\times \vec{k)} = -\vec{k} \times(\vec{k}\times \vec{v)}\tag{15}
v⊥?
?=k
×(v
×k)
?=?k
×(k
×v)
?(15)
~~~~~~~
根據幾何關系，平行于旋轉軸的分量在旋轉時不會改變其幅度和方向，因此有：
v
?
r
o
t
∥
=
v
?
∥
(16)
\vec{v}_{rot\parallel} = \vec{v}_{\parallel} \tag{16}
v
rot∥?=v
∥?(16)
~~~~~~~
解旋轉后的垂直分量，由圖中的幾何關系可得
v
?
r
o
t
⊥
\vec{v}_{rot\perp}
v
rot⊥?可以分解為
k
?
×
v
?
\vec{k} \times \vec{v}
k
×v
和
v
?
⊥
\vec{v}_{\perp}
v
⊥?方向上兩個分量相加，即
v
?
r
o
t
⊥
=
v
?
r
o
t
⊥
?
k
?
×
v
?
∣
k
?
×
v
?
∣
+
v
?
r
o
t
⊥
?
v
?
⊥
∣
v
?
⊥
∣
=
sin
?
θ
?
(
k
?
×
v
?
)
+
cos
?
θ
?
v
?
⊥
(17)
\begin{aligned} \vec{v}_{rot\perp} = \vec{v}_{rot\perp} \cdot \frac{\vec{k} \times \vec{v}}{ \vert \vec{k} \times \vec{v} \vert}+ \vec{v}_{rot\perp} \cdot \frac{\vec{v}_{\perp}}{\vert\vec{v}_{\perp\vert}} = \sin\theta * (\vec{k} \times \vec{v}) + \cos\theta * \vec{v}_{\perp} \tag{17} \end{aligned}
v
rot⊥?=v
rot⊥??∣k
×v
∣k
×v
?+v
rot⊥??∣v
⊥∣?v
⊥??=sinθ?(k
×v
)+cosθ?v
⊥??(17)
~~~~~~~
將(12)(16)(17)式代入，有：
v
?
r
o
t
=
v
?
∥
+
cos
?
θ
?
(
v
?
?
v
?
∥
)
+
sin
?
θ
?
(
k
?
×
v
?
)
=
cos
?
θ
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
v
?
∥
+
sin
?
θ
(
k
?
×
v
?
)
=
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
式
5
\begin{aligned} \vec{v}_{rot}&= \vec{v}_{\parallel} + \cos\theta * (\vec{v} - \vec{v}_{\parallel}) + \sin\theta * (\vec{k} \times \vec{v})\\&=\cos\theta\vec{v} + (1 - \cos\theta)\vec{v}_\parallel + \sin\theta(\vec{k} \times \vec{v})\\&=\vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v}&=式5 \end{aligned}
v
rot??=v
∥?+cosθ?(v
?v
∥?)+sinθ?(k
×v
)=cosθv
+(1?cosθ)v
∥?+sinθ(k
×v
)=v
cosθ+(1?cosθ)(k
? v
)?k
+sinθ?k
×v
?=式5?
~~~~~~~
此式還可繼續化簡，變成矩陣形式：
v
?
r
o
t
=
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
?
v
?
+
v
?
cos
?
θ
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
?
(
1
?
cos
?
θ
)
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
k
?
?
v
?
)
?
k
?
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
(
(
k
?
?
v
?
)
k
?
?
(
k
?
?
k
?
)
v
?
)
+
sin
?
θ
?
k
?
×
v
?
=
v
?
+
sin
?
θ
k
?
×
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
k
?
×
(
k
?
×
v
?
)
\begin{aligned} \vec{v}_{rot} &= \vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \\&= \vec{v} - \vec{v} + \vec{v} \cos\theta + (1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \\&= \vec{v} - (1-\cos\theta)\vec{v} +(1-\cos\theta)(\vec{k} \cdot\ \vec{v})\cdot \vec{k} + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v}\\&=\vec{v} + (1-\cos\theta)((\vec{k}\cdot\vec{v})\vec{k} - (\vec{k}\cdot\vec{k})\vec{v}) + \sin\theta *\vec{k} \times \vec{v} \\&=\vec{v}+\sin\theta\vec{k}\times\vec{v}+ (1-\cos\theta)\vec{k}\times(\vec{k}\times\vec{v}) \end{aligned}
v
rot??=v
cosθ+(1?cosθ)(k
? v
)?k
+sinθ?k
×v
=v
?v
+v
cosθ+(1?cosθ)(k
? v
)?k
+sinθ?k
×v
=v
?(1?cosθ)v
+(1?cosθ)(k
? v
)?k
+sinθ?k
×v
=v
+(1?cosθ)((k
?v
)k
?(k
?k
)v
)+sinθ?k
×v
=v
+sinθk
×v
+(1?cosθ)k
×(k
×v
)?
~~~~~~~
設
k
?
\vec{k}
k
的叉積矩陣為
R
k
?
R_{\vec{k}}
Rk
?，有：
v
?
r
o
t
=
v
?
+
sin
?
θ
R
k
?
?
v
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
R
k
?
?
R
k
?
?
v
?
=
(
I
+
sin
?
θ
R
k
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
R
k
?
2
)
?
v
?
=
M
v
?
\begin{aligned} \vec{v}_{rot} &= \vec{v} + \sin\theta R_{\vec{k}} * \vec{v} + (1-\cos\theta) R_{\vec{k}} *R_{\vec{k}} * \vec{v} \\&=(I + \sin\theta R_{\vec{k}} + (1-\cos\theta) R_{\vec{k}}^2) * \vec{v}\\&=M\vec{v} \end{aligned}
v
rot??=v
+sinθRk
??v
+(1?cosθ)Rk
??Rk
??v
=(I+sinθRk
?+(1?cosθ)Rk
2?)?v
=Mv
?
~~~~~~~
其中：
M
=
I
+
sin
?
θ
R
k
?
+
(
1
?
cos
?
θ
)
R
k
?
2
M = I + \sin\theta R_{\vec{k}} + (1-\cos\theta) R_{\vec{k}}^2
M=I+sinθRk
?+(1?cosθ)Rk
2?
~~~~~~~
為三維空間中任意向量繞軸
k
?
\vec{k}
k
逆時針旋轉
θ
\theta
θ角度的旋轉矩陣，
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