發表于2020年Review of Financial Studies上的"Comparing cross-section and time-series factor models"一文，作者是2013年諾貝爾經濟學獎得主、芝加哥大學Booth商學院的Eugene F. Fama，和他的老搭檔、達特茅斯學院Amos Tuck商學院的Kenneth R. French，這也是二位的最新一次合作，
該文十分簡單，且為純實證，本文對其關鍵部分作個剖析，
在下文中，用CS（Cross-Section）表示“橫截面”一詞，用TS（Time-Series）表示“時間序列”一詞，
1 實證模型
在因子模型中，資產的收益率應由資產在因子上的載荷，乘上因子收益率構成，有了因子收益率，就可以回歸得到因子載荷，而有了載荷，也可以回歸得到因子收益率，到底應該用哪種方式呢？該文共比較了4種模型，
第一個模型，使用Fama和MacBeth（1973）的CS回歸方法，直接用公司特征作為載荷，用CS回歸，得到的系數就是因子收益率：
\[\begin{align*} R_{it}=&R_{zt}+R_{MCt}MC_{it-1}+R_{BMt}BM_{it-1}\\ &+R_{OPt}OP_{it-1}+R_{INVt}INV_{it-1}+e_{it} \tag{1} \end{align*} \]這樣得出的因子，稱為CS因子，
然后，將截距項移到左邊，將自變數與系數交換位置，就成了一個資產定價模型：
\[\begin{align*} R_{it}-R_{zt}=&MC_{it-1}R_{MCt}+BM_{it-1}R_{BMt}\\ &+OP_{it-1}R_{OPt}+INV_{it-1}R_{INVt}+e_{it} \tag{2} \end{align*} \]第二個模型，就是先通過Fama和French（2015）中構造的TS因子的方法，即用多空組合的方式，構造出因子的收益率序列，然后，再以TS因子收益率為自變數，進行TS回歸，得到的系數就是載荷：
\[\begin{align*} R_{it}-R_{ft}=&a_i+b_i(R_{mt}-R_{ft})+s_i {SMB}_t+ h_i HML_t \\ &+r_i RMW_t + c_i CMA_t+e_{it} \tag{3} \end{align*} \]第三個模型，用（1）中得出的CS因子，替換（3）中的TS因子，同樣進行TS回歸，得到載荷：
\[\begin{align*} R_t-R_{ft}=&a_i+b_{1i}(R_{mt}-R_{ft})+b_{2i} R_{MCt}+ b_{3i} R_{BMt}\\ &+b_{4i} R_{OPt} + b_{5i} R_{INVt} +e_{it} \tag{4} \end{align*} \]（3）與（4）得到的載荷都不是時變的，為了引入時變載荷，可以在系數中加入時變的CS因子，即加入交叉項：
\[\begin{align*} R_{it}-R_{ft}=&a_i+b_i(R_{mt}-R_{ft})+s_i {SMB}_t+ h_i HML_t \\ &+r_i RMW_t + c_i CMA_t\\ &+s_{i2}MC_{it-1}{SMB}_t+h_{i2}BM_{it-1}HML_t\\ &+r_{i2}OP_{it-1} RMW_t + c_{i2} INV_{it-1} CMA_t+e_{it} \tag{5} \end{align*} \]（2）（3）（4）（5）組成了要檢驗的4個模型，
2 資料
2.1 因子構建
對于FF（2015）的五因子模型即方程（3），在每個6月底生成一次規模SMB、價值HML、盈利RMW、投資CMA的TS因子，
HML（High Minus Low）因子：用NYSE的6月底的中位數MC（市值）作為斷點，將NYSE、AMEX、NASDQA的所有股票分入高/低市值組；再獨立地用NYSE股票的BM的\(30^{th}\)和\(70^{th}\)分位數作為斷點，分成3組，\(T\)年6月的BM，就是\(T-1\)年財年末的賬面凈值與\(T-1\)年12月底市值（在12月到財年末，若在外發行股票數可能有變化，則需要調整）的比率，再取對數，這樣就可以得到\(2\times 3\)個市值加權（VW，value-weight）組合，HML是大市值分組中的高低BM組合收益率之差，與小市值分組中的高低BM組合收益率之差，取平均數，
RMW（Robust Minus Weak）、CMA（Conservative Minus Aggressive）因子：做法與HML類似，生成RMW時用OP（Operating profitbality），生成CMA時用INV（Investment），
SMB（Small Minus Big）因子：前面一共得到3個\(2\times 3\)組合，用其中的9個小市值組合的平均收益率減去剩下的9個大市值組合的平均收益率，即為SMB因子，
UMD（Up Minus Down）因子：先用從\(t-12\)月到\(t-2\)月的累計收益率除以11，作為MOM，再用MOM作為第二個因子構造\(2\times 3\)組合，得到UMD因子，它是月度更新的，
MC、BM、OP、INV、MOM等公司特征：就是構造以上因子所用到的公司特征，個股的BM、OP、INV在每年6月更新，MC和MOM在每個月更新，組合的特征就是組合中股票的VW平均值，權重（市值）每個月更新，
構造CS因子，每個月進行（1）式回歸，對每個RHS的公司特征做z-score處理，在不加入MOM時用18個組合做標準化，在加入MOM時用24個組合做標準化，在做標準化之后，CS水平收益率\(R_{zt}\)就是18或24個LHS資產收益率的等權重均值，
構建因子的LHS資產：為使CS和TS因子可比，月度回歸（1）式的左側資產選擇18個生成了SMB、HML、RMW、CMA的VW組合，如果模型中要用到CS動量因子，也加入生成UMD的6個VW組合，
2.2 描述性統計
表1為上述因子的描述性統計，Panel A為TS因子，Panel B為CS因子，樣本區間為1963.7--2018.8，共662個月度收益率，
我們知道OLS回歸得到的系數為\(\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y\)，也就是\(y\)的線性組合，那么（1）式中系數就是\(R_{zt}\)和CS因子的收益率，也就是說，它們其實是由LHS資產的收益率線性組合出來的，那么，組成它們的，不同的LHS資產的權重是多少呢？表2列出了結果，
2.3 用于測驗的LHS資產
在實證中，用于檢驗的LHS資產使用每年6月更新的MC和BM、OP、INV的\(3\)組\(5\times 5\)組合，再加上月度更新的MC和MOM的\(5\times 5\)組合，注意，用于生成因子的LHS資產還是以前的\(2\times 3\)組合，但用于檢驗的是\(5\times 5\)組合，
為增加一些挑戰性，再在LHS中加入FF（2016）的異象組合：
- 長期困擾CAPM的單變數市場beta與平均收益率的扁平關系（flat relation）；
- 股票回購后的高平均收益率，與股票發行后的低平均收益率；
- 應計利潤大的公司，平均收益率較低；
- 日收益率方差大的公司，平均收益率較低，
同樣使用MC和這些異象變數的NYSE的5分位數，構造\(5\times 5\)組合，但這里有幾個例外：一是股票凈發行（NI，Net share Issue）需要用7分位數，即凈回購、無回購無發行，以及凈發行的5分位數；二是大市值股票中幾乎沒有高收益率波動的，因此不適合使用獨立雙重排序，只能在MC排序后的基礎上再進行排序，
MC-VAR組合是月度更新的，而其他異象組合都在每年6月底更新，
3 模型比較標準
該文用了多種模型比較標準，在這里用\(A\)和\(V\)表示橫截面的均值方差，\(a\)表示模型產生的截距向量，比較標準有：
- \(A|a|\)：截距項絕對值的均值；
- \(A|t(a)|\)：截距項的\(t\)值的絕對值的均值；
- \(\dfrac{A a^2}{V \bar r}\)：和下面一個一樣，都是度量截面的分散程度，分子為截距平方的均值，\({V \bar r}\)為LHS資產的平均收益率的截面方差；
- \(\dfrac{A \lambda^2}{V \bar r}\)：修正截距的平方為\(\lambda^2 \equiv a^2-s^2(a)\)，這是因為在估計截距時有噪聲；
- \(AR^2\)：回歸\(R^2\)的均值；
- \(As(a)\)：截距標準誤的均值；
- \(As(e)\)：殘差標準差的均值；
- \(Sh^2(a)\)：截距的最大平方夏普比率，用\(\Sigma\)表示回歸殘差的協方差矩陣，則\(Sh^2(a)=a'\Sigma a\)；
- \(GRS\)：GRS統計量；
- \(p(GRS)\)：GRS統計量的p值；
- \(T^2\)：Hotelling’s \(T^2\)；
- \(p(T^2)\)：Hotelling’s \(T^2\)的\(p\)值，
4 實證結果
4.1 總體結果
實證結果在表3中，其中Panel A1和Panel A2檢驗了模型（3）、（4），Panel A3、Panel A4檢驗了模型（5），
在檢驗模型（3）、（4）、（5）時，都是用TS回歸，然后將各資產回歸得到的截距項放在一起，形成向量\(a\)，但由于模型（2）是從CS回歸中變化而來，可以不再做TS回歸，Panel B1和Panel B2是使用CS因子對測驗LHS資產相對\(R_{zt}\)的超額收益率做回歸的情況，而Panel B3--B6則不再做TS回歸，
在Panel B5和Panel B6中，模型（2）中的\(R_z\)和CS因子是用（1）式由不同\(2\times 3\)組合生成的，接著，用每個LHS測驗資產的公司特征做加權平均，用生成CS因子時的18個或24個組合的均值和標準差對它做標準化，最后的值作為LHS測驗資產的因子載荷，再乘上事先得到的CS因子的收益率，去預測LHS測驗資產的相對\(R_{zt}\)的超額收益率，從而得到每個LHS資產在每個月的預測誤差，在Panel B3和Panel B4中，用特征的時間序列均值作為CS因子的載荷，在這4個Panel中，載荷不是被估計出來的，因此GRS檢驗不適用，只能用Hotelling’s \(T^2\)檢驗，
在每一個評價標準上，Panel B5、B6的結果都比Panel A好，
4.2 去除異象組合后的結果
表4就是在表3的LHS測驗資產中剔除了異象組合后的結果，它使用的LHS資產是4組\(5\times 5\)組合，即MC-BM、MC-OP、MC-INV、MC-MOM組合，
在原文的附錄中，表A1-A4報告了每個\(5\times 5\)組合的結果，
4.3 在異象組合中的結果
表5是只在110個異象組合中的結果，
在原文的附錄中，表A5-A8報告了每種異象組合的結果，
可以看到，不管用什么作為LHS測驗資產，模型（2）結果都是最好的，結論穩健，
參考文獻
- Fama, E. F., and K. R. French. 2015. A five-factor asset pricing model. Journal of Financial Economics.
- Fama, E. F., and K. R. French. 2020. Comparing Cross-Section and Time-Series Factor Models. Review of Financial Studies.
- Fama, E. F., and J. D. MacBeth. 1973. Risk, return, and equilibrium: empirical tests. Journal of Political Economy.
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