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你必須了解的動態規劃演算法

2021-04-23 13:04:45 其他

文章目錄

  • 動態規劃
  • 動態規劃的本質
  • 動態規劃使用場景
  • 例題1:斐波那契數列
  • 例題2. 變態跳臺階
    • 變形1:一次只能跳1級或者2級(類似于斐波那契數列)
    • 變形2:矩形覆寫
  • 例題3:最大連續子陣列和
  • 例題4：拆分詞句
  • 例題5.三角矩陣
  • 例題6.不同路徑
  • 例題7:不同路徑2
  • 例題8.帶權值的最小路徑和
  • 例題9.背包問題2
  • 例題10.回文串分割
  • 例題11.編輯距離

動態規劃

動態規劃是分治思想的延伸,大事化小小事化無
動態規劃具備的特點:
1.把原來的問題分解成幾個相似的子問題
2.所有的子問題都只需要解決一次
3.存盤子問題的解

動態規劃的本質

動態規劃的本質,是對問題狀態的定義和狀態轉移方程的定義
從以下角度考慮:
1.狀態定義(定義的狀態一定要形成遞推關系)
2.狀態間的轉移方程定義
3.狀態的初始化
4.回傳結果

動態規劃使用場景

最大值/最小值,可不可行,是不是,方案個數

例題1:斐波那契數列

LeetCode:斐波那契數列

分析問題程序:
問題:數列第N項的值
狀態F(i):數列第i項的值
轉移方程:F(i)=F(i-1)+F(i-2)
初始狀態:F(0)=0,F(1)=1
回傳:F(n)

class Solution {
public:
    //遞回
    int fib(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
        if(n==2){
            return 1;
        }
        return fib(n-1)%1000000007+fib(n-2)%1000000007;
    }
    //動態規劃-記錄每個子問題的解
    int fib(int n){
        if(n==0){
            return 0;
        }
        vector<int> v(n+1,0);
        v[1]=1;//初使狀態
        for(int i=2;i<=n;i++){
            v[i]=v[i-1]%1000000007+v[i-2]%1000000007;//轉移方程
        }
        return v[n]%1000000007;
    }
    //動態規劃-不記錄每個子問題解
    int fib(int n){
        if(n<=1){
            return n;
        }
        int a=0;
        int b=1;
        int num;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            num=a%1000000007+b%1000000007;
            a=b;
            b=num;
        }
        return num%1000000007;
    }
};

例題2. 變態跳臺階

牛客:變態跳臺階

問題:跳上n級臺階的方法個數
狀態F(i):跳上i級臺階的方法個數
轉移方程:F(i)=F(0)+F(1)+F(2)+…+F(i-1);
F(i-1):F(i-2)+F(i-3)+…+F(0);
F(i)=F(i-1)+F(i-1)=2*F(i-1);
初使狀態:F(1)=1
回傳:F(n)

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        if(number==0)
            return 0;
        int ret=1;
        for(int i=2;i<=number;i++){
            ret=ret*2;//轉移方程
        }
        return ret;
    }
};

變形1:一次只能跳1級或者2級(類似于斐波那契數列)

狀態轉移方程:F(i)=F(i-1)+F(i-2)

變形2:矩形覆寫

牛客:矩形覆寫

狀態轉移方程:F(i)=F(i-1)+F(i-2)

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if(number<=1){
            return number;
        }
        int a=1;
        int b=1;
        int ret;
        for(int i=2;i<=number;i++){
            ret=a+b;
            a=b;
            b=ret;
        }
        return ret;
    }
};

例題3:最大連續子陣列和

牛客:最大連續子陣列和
在這里插入圖片描述

問題:陣列的最大連續和
狀態:F(i)
轉移方程:F(i)=max(F(i-1)+a[i],a[i])
初使狀態F(0)=a[0]
回傳值:max(F(i))

class Solution {
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
        if(array.empty()){
            return 0;
        }
        vector<int> v(array.size(),0);
        v[0]=array[0];
        int ret=v[0];
        for(int i=1;i<array.size();i++){
            v[i]=max(v[i-1]+array[i],array[i]);//狀態轉移方程
            ret=max(ret,v[i]);
        }
        return ret;
    }
};

例題4：拆分詞句

問題：單詞是否可以成功分割
狀態：F(i)
轉移方程：F(i):j<i&&[j+1,i]是否可以在詞典中找到
回傳結果：F(s.size())

class Solution {
public:
	/*bool wordBreak(string s, unordered_set<string> &dict) {
		vector<bool> v(s.size() + 1);
		for (int i = 1; i <= s.size(); i++){
			if (dict.find(s.substr(0, i)) != dict.end()){
				v[i] = true;
				continue;
			}
			for (int j = i - 1; j>0; j--){
				if (v[j] && (dict.find(s.substr(j, i)) != dict.end())){
					v[i] = true;
					break;
				}
			}
		}
		return v[s.size()];
	}*/
	bool wordBreak(string s, unordered_set<string> &dict) {
		vector<bool> v(s.size() + 1);
		v[0] = true;
		for (int i = 1; i <= s.size(); i++){
			for (int j = i - 1; j>=0; j--){
				if (v[j] && (dict.find(s.substr(j, i)) != dict.end())){
					v[i] = true;
					break;
				}
			}
		}
		return v[s.size()];
	}
};

例題5.三角矩陣

牛客:三角矩陣

問題:從(0,0)到達最后一行的最小路徑和
狀態F(i,j):從(0,0)到達(i,j)的最小路徑和
F(i,j):min(F(i-1,j),F(i-1,j-1))+a[i][j]
每一行第一列,最后一列只有一條路到達
F(i,0):F(i-1,0)+a[i][0]
F(i,i):F(i-1,i-1)+a[i][i]
初使狀態:F(0,0)=a[0][0]
回傳結果:max{F(row-1,j)}

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.empty()){
            return 0;
        }
        vector<vector<int>> vv(triangle);
        int row=triangle.size();
        int col=triangle[0].size();
        for(int i=1;i<row;i++){
            for(int j=0;j<i+1;j++){
                if(j==0){
                    vv[i][j]=vv[i-1][j]+triangle[i][j];
                }
                else if(j==i){
                    vv[i][j]=vv[i-1][j-1]+triangle[i][j];
                }
                else{
                    vv[i][j]=min(vv[i-1][j-1],vv[i-1][j])+triangle[i][j];
                }
            }
        }
        int row_vv=row-1;
        int ret=vv[row_vv][0];
        for(int i=0;i<vv[row_vv].size();i++){
            ret=min(ret,vv[row_vv][i]);
        }
        return ret;
    }
};

例題6.不同路徑

LeetCode:不同路徑

問題:從(0,0)到達(i,j)的路徑和
狀態F(i,j):從(0,0)到達(i,j)的路徑個數
轉移方程:F(i,j)=F(i-1,j)+F(i,j-1)
初使狀態:F(0,0)=1
回傳結果:F(i,j)

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> vv(m,vector<int>(n));
        for(int i=0,j=0;j<n;j++){
            vv[i][j]=1;
        }
        for(int i=0,j=0;i<m;i++){
            vv[i][j]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                if(i-1<0){
                     vv[i][j]=vv[i][j-1];
                }
                else if(j-1<0){
                    vv[i][j]=vv[i-1][j];
                }
                else{
                    vv[i][j]=vv[i-1][j]+vv[i][j-1];
                }
            }
        }
        return vv[m-1][n-1];
    }
};

例題7:不同路徑2

LeetCode:不同路徑II

狀態F(i,j):從(0,0)到(i,j)路徑個數
F(i,j):
if(obstacle[i][j]==1)
F(i,j)=0
else
F(i,j)=F(i,j-1)+F(i-1,j)
初使狀態:
if(obstacle[i][0]==0&&obstacle[j][0]==0&&j<i)
F(i,0)=1;
if(obstacle[0][i]==0&&obstacle[0][j]==0&&j<i)
F(0,i)=1;

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        if(obstacleGrid.empty()){
            return 0;
        }
        int row=obstacleGrid.size();
        int col=obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>> vv(row,vector<int>(col,0));
        for(int i=0;i<row;i++){
            if(obstacleGrid[i][0]==0){
                vv[i][0]=1;
            }
            else{
                break;
            }
        }
        for(int i=0;i<col;i++){
            if(obstacleGrid[0][i]==0){
                vv[0][i]=1;
            }
            else{
                break;
            }
        }
        for(int i=1;i<row;i++){
            for(int j=1;j<col;j++){
                if(obstacleGrid[i][j]==1){
                    vv[i][j]=0;
                }else{
                vv[i][j]=vv[i-1][j]+vv[i][j-1];
                }
            }
        }
        return vv[row-1][col-1];
    }
};

例題8.帶權值的最小路徑和

牛客:帶權值的最小路徑和

狀態F(i,j)
狀態方程:F(i,j)=min(F(i-1,j),F(i,j-1))+F(i,j)
初使值:F(0,0)=grid[0][0]
回傳值:F(row-1,col-1)

class Solution {
public:
    /**
     * 
     * @param grid int整型vector<vector<>> 
     * @return int整型
     */
    int minPathSum(vector<vector<int> >& grid) {
        // write code here
        int row=grid.size();
        int col=grid[0].size();
        vector<vector<int>> vv(grid);
        for(int i=1;i<row;i++){
            vv[i][0]=vv[i-1][0]+vv[i][0];
        }
        for(int j=1;j<col;j++){
            vv[0][j]=vv[0][j-1]+vv[0][j];
        }
        
        for(int i=1;i<row;i++){
            for(int j=1;j<col;j++){
                vv[i][j]=min(vv[i-1][j],vv[i][j-1])+vv[i][j];
            }
        }
        return vv[row-1][col-1];
    }
};

例題9.背包問題2

背包問題2
在這里插入圖片描述

class Solution {
public:
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @param V: Given n items with value V[i]
     * @return: The maximum value
     */
    int backPackII(int m, vector<int> &A, vector<int> &V) {
        // write your code here
        int n=A.size();
        if(n==0||m==0)
            return 0;
        vector<vector<int>> maxV(n+1,vector<int>(m+1,0));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;++j){
                if(A[i-1]<=j){
                    maxV[i][j]=max(maxV[i-1][j],maxV[i-1][j-A[i-1]]+V[i-1]);
                }
                else{
                    maxV[i][j]=maxV[i-1][j];
                }
            }
        }
        return maxV[n][m];
    }
};

例題10.回文串分割

回文串分割在這里插入圖片描述

class Solution {
public:
    /**
     * 
     * @param s string字串 
     * @return int整型
     */
   bool ispal(string s,int start,int end){
        while(start<end){
            if(s[start]!=s[end])
            return false;
            ++start;
            --end;
        }
        return true;
    }
    int minCut(string s) {
        vector<int> v(s.size()+1);
        for(int i=1;i<=s.size();i++){
            v[i]=i-1;
        }
        for(int i=2;i<=s.size();i++){
            if(ispal(s,0,i-1)){
                v[i]=0;
                continue;
            }
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(ispal(s,j,i-1)){
                    v[i]=min(v[i],v[j]+1);
                }
            }
        }
        return v[s.size()];
    }
};

例題11.編輯距離

編輯距離

在這里插入圖片描述

問題:word1轉成word2的最小操作次數
狀態F(i,j):word1前i個字符轉成Word2的前j個字符的最小操作次數
轉移方程:F(i,j):min(F(i-1,j-1),F(i-1,j),F(i,j-1))+1

class Solution {
public:
    /**
     * 
     * @param word1 string字串 
     * @param word2 string字串 
     * @return int整型
     */
    int minDistance(string word1, string word2) {
        // write code here
        int len1=word1.length();
        int len2=word2.length();
        vector<vector<int>> minD(len1+1,vector<int>(len2+1));
        for(int i=0;i<=len2;++i)
            minD[0][i]=i;
        for(int i=0;i<=len1;++i){
            minD[i][0]=i;
        }
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;++j){
                minD[i][j]=min(minD[i][j-1],minD[i-1][j])+1;
                if(word1[i-1]==word2[j-1])
                    minD[i][j]=min(minD[i][j],minD[i-1][j-1]);
                else
                    minD[i][j]=min(minD[i][j],minD[i-1][j-1]+1);
                    
            }
        }
        return minD[len1][len2];
    }
};

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/279344.html

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    驅動層代碼： #pragma once #include <ntifs.h> #define add_code CTL_CODE(FILE_DEVICE_UNKNOWN,0x800,METHOD_BUFFERED,FILE_ANY_ACCESS) /* 更多游戲逆向視頻www.yxfzedu.com ......

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  • 北斗電力時鐘（北斗授時服務器）讓網路資料更精準

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    uj5u.com 2020-09-10 02:01:03 more
  • 【CTF】CTFHub 技能樹 彩蛋 writeup

    ?碎碎念 CTFHub：https://www.ctfhub.com/ 筆者入門CTF時時剛開始刷的是bugku的舊平臺，后來才有了CTFHub。 感覺不論是網頁UI設計，還是題目質量，賽事跟蹤，工具軟體都做得很不錯。 而且因為獨到的金幣制度的確讓人有一種想去刷題賺金幣的感覺。 個人還是非常喜歡這個 ......

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  • 02windows基礎操作

    我學到了一下幾點 Windows系統目錄結構與滲透的作用 常見Windows的服務詳解 Windows埠詳解 常用的Windows注冊表詳解 hacker DOS命令詳解（net user / type /md /rd/ dir /cd /net use copy、批處理 等） 利用dos命令制作 ......

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  • 03.Linux基礎操作

    我學到了以下幾點 01Linux系統介紹02系統安裝，密碼啊破解03Linux常用命令04LAMP 01LINUX windows： win03 8 12 16 19 配置不繁瑣 Linux：redhat,centos(紅帽社區版)，Ubuntu server,suse unix:金融機構，證券，銀 ......

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  • 05HTML

    01HTML介紹 02頭部標簽講解03基礎標簽講解04表單標簽講解 HTML前段語言 js1.了解代碼2.根據代碼 懂得挖掘漏洞 （POST注入/XSS漏洞上傳）3.黑帽seo 白帽seo 客戶網站被黑帽植入劫持代碼如何處理4.熟悉html表單 <html><head><title>TDK標題，描述 ......

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    01 開門見山 隔一個月發一篇文章，不過分。 首先回顧一下《微信系結手機號資料庫被脫庫事件》，我也是第一時間得知了這個訊息，然后跟蹤了整件事情的經過。下面是這起事件的相關截圖以及近日流出的一萬條資料樣本： 個人認為這件事也沒什么，還不如關注一下之前45億快遞資料查詢渠道疑似在近日復活的訊息。 訊息是 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:48:24 more
  • web3 產品介紹：metamask 錢包 使用最多的瀏覽器插件錢包

    Metamask錢包是一種基于區塊鏈技術的數字貨幣錢包，它允許用戶在安全、便捷的環境下管理自己的加密資產。Metamask錢包是以太坊生態系統中最流行的錢包之一，它具有易于使用、安全性高和功能強大等優點。 本文將詳細介紹Metamask錢包的功能和使用方法。 一、 Metamask錢包的功能 數字資 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:47:46 more
  • vulnhub_Earth

    前言 靶機地址->>>vulnhub_Earth 攻擊機ip：192.168.20.121 靶機ip：192.168.20.122 參考文章 https://www.cnblogs.com/Jing-X/archive/2022/04/03/16097695.html https://www.cnb ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:46:20 more
  • 從4k到42k，軟體測驗工程師的漲薪史，給我看哭了

    清明節一過，盲猜大家已經無心上班，在數著日子準備過五一，但一想到銀行卡里的余額……瞬間心情就不美麗了。最近，2023年高校畢業生就業調查顯示，本科畢業月平均起薪為5825元。調查一出，便有很多同學表示自己又被平均了。看著這一資料，不免讓人想到前不久中國青年報的一項調查：近六成大學生認為畢業10年內會 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:44:00 more
  • 最新版本 Stable Diffusion 開源 AI 繪畫工具之中文自動提詞篇

    🎈 標簽生成器 由于輸入正向提示詞 prompt 和反向提示詞 negative prompt 都是使用英文，所以對學習母語的我們非常不友好 使用網址：https://tinygeeker.github.io/p/ai-prompt-generator 這個網址是為了讓大家在使用 AI 繪畫的時候 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:36 more
  • 漫談前端自動化測驗演進之路及測驗工具分析

    隨著前端技術的不斷發展和應用程式的日益復雜，前端自動化測驗也在不斷演進。隨著 Web 應用程式變得越來越復雜，自動化測驗的需求也越來越高。如今，自動化測驗已經成為 Web 應用程式開發程序中不可或缺的一部分，它們可以幫助開發人員更快地發現和修復錯誤，提高應用程式的性能和可靠性。 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:16 more
  • CANN開發實踐：4個DVPP記憶體問題的典型案例解讀

    摘要：由于DVPP媒體資料處理功能對存放輸入、輸出資料的記憶體有更高的要求（例如，記憶體首地址128位元組對齊），因此需呼叫專用的記憶體申請介面，那么本期就分享幾個關于DVPP記憶體問題的典型案例，并給出原因分析及解決方法。 本文分享自華為云社區《FAQ_DVPP記憶體問題案例》，作者：昇騰CANN。 DVPP ......

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    msf學習 以kali自帶的msf為例 一、msf核心模塊與功能 msf模塊都放在/usr/share/metasploit-framework/modules目錄下 1、auxiliary 輔助模塊，輔助滲透（埠掃描、登錄密碼爆破、漏洞驗證等） 2、encoders 編碼器模塊，主要包含各種編碼 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:59 more
  • Halcon軟體安裝與界面簡介

    1. 下載Halcon17版本到到本地 2. 雙擊安裝包后 3. 步驟如下 1.2 Halcon軟體安裝 界面分為四大塊 1. Halcon的五個助手 1) 影像采集助手：與相機連接，設定相機引數，采集影像 2) 標定助手：九點標定或是其它的標定，生成標定檔案及內參外參，可以將像素單位轉換為長度單位 ......

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    第一次發博客，先發一下我的游戲開發環境吧。 去年2月份買了一臺MacBookPro2021 M1pro(以下簡稱mbp)，這一年來一直在用mbp開發游戲。我大致分享一下我的開發工具以及使用體驗。 1、Unity 官網鏈接： https://unity.cn/releases 我一般使用的Apple ......

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