【現代控制理論基礎】二、線性控制系統的運動分析

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2.1 線性定常系統齊次狀態方程的解

• 線性定常系統的運動

1. 自由運動：線性定常系統在沒有控制的作用，即 u = 0 u=0 u=0 時，由初始狀態引起的運動稱自由運動，
   齊次狀態方程的解： x ˊ = A x ， x ( t ) ∣ t = 0 = x ( 0 ) \acute{x}=Ax，x(t)|_{t=0}=x(0) xˊ=Ax，x(t)∣t=0?=x(0)
2. 強迫運動：線性定常系統在控制 u u u 作用下的運動，稱為強迫運動，
   非齊次狀態方程的解： x ˊ = A x + B u ， x ( t ) ∣ t = 0 = x ( t 0 ) \acute{x}=Ax+Bu，x(t)|_{t=0}=x(t_0) xˊ=Ax+Bu，x(t)∣t=0?=x(t0?)

• 齊次狀態方程： x ˊ = A x \acute{x}=Ax xˊ=Ax
  滿足初始狀態 x ( t ) ∣ t = 0 = x ( t 0 ) x(t)|_{t=0}=x(t_0) x(t)∣t=0?=x(t0?) 的解是：
  x ( t ) = e A ( t ? t 0 ) x ( t 0 ) , t ≥ t 0 x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),t\geq t_0 x(t)=eA(t?t0?)x(t0?),t≥t0?
  滿足初始狀態 x ( t ) ∣ t = 0 = x ( 0 ) x(t)|_{t=0}=x(0) x(t)∣t=0?=x(0) 的解是：
  x ( t ) = e A t x ( 0 ) , t ≥ 0 x(t)=e^{At}x(0),t\geq 0 x(t)=eAtx(0),t≥0

2.2 狀態轉移矩陣

2.2.1 狀態轉移矩陣的含義

已知線性定常系統的齊次狀態方程： x ˊ = A x \acute{x}=Ax xˊ=Ax

滿足初始狀態 x ( t ) ∣ t = 0 = x ( 0 ) x(t)|_{t=0}=x(0) x(t)∣t=0?=x(0) 的解是：
x ( t ) = e A t x ( 0 ) , t ≥ 0 x(t)=e^{At}x(0),t\geq 0 x(t)=eAtx(0),t≥0

滿足初始狀態 x ( t ) ∣ t = 0 = x ( t 0 ) x(t)|_{t=0}=x(t_0) x(t)∣t=0?=x(t0?) 的解是：
x ( t ) = e A ( t ? t 0 ) x ( t 0 ) , t ≥ t 0 x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),t\geq t_0 x(t)=eA(t?t0?)x(t0?),t≥t0?

令 ： { e A t = ? ( t ) e A ( t ? t 0 ) = ? ( t ? t 0 ) ， 則 有 ： { x ( t ) = ? ( t ) x ( 0 ) x ( t ) = ? ( t ? t 0 ) x ( t 0 ) 令： \begin{cases} e^{At}=\phi (t) \\[2ex] e^{A(t-t_0)}=\phi (t-t_0) \end{cases}，則有： \begin{cases} x(t)=\phi (t)x(0) \\[2ex] x(t)=\phi (t-t_0)x(t_0) \end{cases} 令：????eAt=?(t)eA(t?t0?)=?(t?t0?)?，則有：????x(t)=?(t)x(0)x(t)=?(t?t0?)x(t0?)?
說明：

1、狀態轉移矩陣必須滿足以下兩個條件

2. 狀態轉移矩陣初始條件： ? ( t ? t 0 ) = I \phi (t-t_0)=I ?(t?t0?)=I
3. 狀態方程本身： ? ( t ? t 0 ) = A ? ( t ? t 0 ) \phi (t-t_0)=A\phi (t-t_0) ?(t?t0?)=A?(t?t0?)

2、對于線性定常系統來說，狀態轉移矩陣就是矩陣指數函式本身

3、狀態轉移矩陣的物理意義：從時間角度看，狀態轉移矩陣使狀態向量隨著時間的推移不斷地作坐標變換，不斷地在狀態空間中作轉移，故稱為狀態轉移矩陣，

2.2.2 狀態轉移矩陣的基本性質

1. 不發生時間推移下的不變性
   e A ( t ? t 0 ) = e A 0 = I e^{A(t-t_0)}=e^{A0}=I eA(t?t0?)=eA0=I
2. 傳遞性（組合性）
   ? ( t 2 ? t 0 ) = ? ( t 2 ? t 1 ) ? ( t 1 ? t 0 ) \phi (t_2-t_0)=\phi (t_2-t_1)\phi (t_1-t_0) ?(t2??t0?)=?(t2??t1?)?(t1??t0?)
3. 可逆性
   e A t e^{At} eAt 總是非奇異的，必有逆存在，且： ( e A t ) ? 1 = e ? A t (e^{At})^{-1}=e^{-At} (eAt)?1=e?At
4. 分解性
   設 A A A 為 n × n n\times n n×n 階矩陣 ， t 1 t_1 t1? 、 t 2 t_2 t2? 為兩個獨立自變數，則有：
   e A ( t 1 + t 2 ) = e A t 1 e A t 2 e^{A(t_1+t_2)}=e^{At_1}e^{At_2} eA(t1?+t2?)=eAt1?eAt2?
5. 倍時性
   [ ? ( t ) ] k = ? ( k t ) [\phi(t)]^k=\phi (kt) [?(t)]k=?(kt)
6. 微分性和交換性：
   對 e A t 有 ： d d t ( e A t ) = A e A t = e A t A 對e^{At}有：\frac{d}{dt}(e^{At})=Ae^{At}=e^{At}A 對eAt有：dtd?(eAt)=AeAt=eAtA

2.2.3 幾個特殊的矩陣指數函式

• 若 A A A 為對角線矩陣，即
  
  則：
• 若 A A A 能夠通過非奇異變換予以對角線化，即
  T ? 1 A T = A T^{-1}AT=A T?1AT=A
  則：
• 若 A A A 為約旦陣
  
  則：

2.2.4 ? ( t ) \phi(t) ?(t) 或 e A t e^{At} eAt 的計算

• 根據 ? ( t ) \phi(t) ?(t) 或 e A t e^{At} eAt 的定義直接計算
• 變為 A A A 約旦標準型
• 利用拉氏反變換法求 e A t e^{At} eAt
• 應用凱萊–哈密頓定理求 e A t e^{At} eAt

2.3 線性定常系統非齊次狀態方程的解

2.3.1 線性系統的運動規律

若線性定常系統的非齊次狀態方程 x ˊ = A x + B u , \acute{x}=Ax+Bu, xˊ=Ax+Bu, 初始狀態為 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0?) 的解存在，則解形式如下：
x ( t ) = e A ( t ? t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ t 0 t e A ( t ? τ ) B u ( τ ) d τ 或 ： x ( t ) = ? ( t ? t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ t 0 t ? ( t ? τ ) B u ( τ ) d τ (1) x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau \tag 1 \\[2ex] 或： x(t)=\phi (t-t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^{t}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau x(t)=eA(t?t0?)x(t0?)+∫t0?t?eA(t?τ)Bu(τ)dτ或：x(t)=?(t?t0?)x(t0?)+∫t0?t??(t?τ)Bu(τ)dτ(1)

• ? ( t ? t 0 ) x ( t 0 ) \phi (t-t_0)x(t_0) ?(t?t0?)x(t0?) ：初始狀態引起的回應，零輸入回應——自由運動

• ∫ t 0 t ? ( t ? τ ) B u ( τ ) d τ \int_{t_0}^{t}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau ∫t0?t??(t?τ)Bu(τ)dτ：輸入引起的回應，零狀態回應——強迫運動

當 t 0 = 0 t_0=0 t0?=0 時， x ( t ) = ? ( t ) x ( 0 ) + ∫ 0 t ? ( t ? τ ) B u ( τ ) d τ x(t)=\phi (t)x(0)+\int_{0}^{t}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau\\[2ex] x(t)=?(t)x(0)+∫0t??(t?τ)Bu(τ)dτ

如果系統的輸出方程為：
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) y(t)=Cx(t)+Du(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)
將式（1）代入上式得：
y ( t ) = C e A ( t ? t 0 ) x ( t 0 ) + C ∫ t 0 t e A ( t ? τ ) B u ( τ ) d τ + D u ( t ) y(t)=Ce^{A(t-t_0)}x(t_0)+C\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau+Du(t) y(t)=CeA(t?t0?)x(t0?)+C∫t0?t?eA(t?τ)Bu(τ)dτ+Du(t)
說明：與線性定常系統齊次狀態方程的解不同，齊次狀態方程的解僅由初始狀態引起的回應組成，

例：設系統狀態方程為：
令 ： { x 1 ˊ = x 2 x 2 ˊ = ? x 1 ? 2 x 2 + u 令： \begin{cases} \acute{x_1}=x_2 \\[2ex] \acute{x_2}=-x_1-2x_2+u \end{cases} 令：????x1?ˊ?=x2?x2?ˊ?=?x1??2x2?+u?
試求當 u ( t ) = sin ? t + cos ? t u(t)=\sin t+\cos t u(t)=sint+cost 時非齊次方程的解，且已知
( x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ) = ( 1 0 ) \begin{pmatrix} x_1(0 )\\[2ex] x_2(0)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2ex] 0\\ \end{pmatrix} (x1?(0)x2?(0)?)=(10?)
輸出方程為： y = x 1 y=x_1 y=x1?

解：
A = ( 0 1 ? 1 ? 2 ) ， B = ( 0 1 ) ， C = ( 1 0 ) A= \begin{pmatrix} 0 &1\\[2ex] -1 & -2\\ \end{pmatrix}， B = \begin{pmatrix} 0\\[2ex] 1\\ \end{pmatrix}， C= \begin{pmatrix} 1 &0\\ \end{pmatrix} A=(0?1?1?2?)，B=(01?)，C=(1?0?)

1. 求 ? ( t ) \phi (t) ?(t)
   ? ( t ) = ( ( 1 + t ) e ? t t e ? t ? t e ? t ( 1 ? t ) e ? t ) \phi(t)= \begin{pmatrix} (1+t)e^{-t} & te^{-t}\\[2ex] -te^{-t} & (1-t)e^{-t}\\ \end{pmatrix} ?(t)=((1+t)e?t?te?t?te?t(1?t)e?t?)
2. y = C X = C ? ( t ) x ( 0 ) + C ∫ 0 t ? ( t ? τ ) B u ( τ ) d τ = ( 1 + t ) e ? t + ∫ 0 t ( t ? τ ) e ? ( t ? τ ) ( sin ? t + cos ? t ) d τ ?? ? ?? y ( t ) = 3 2 e ? t + t e ? t + 1 2 sin ? t ? 1 2 cos ? t y=CX\\[2ex] =C\phi(t)x(0)+C\int^{t}_{0}\phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau\\[2ex] =(1+t)e^{-t}+\int^{t}_{0}(t-\tau)e^{-(t-\tau)}(\sin t+\cos t)d\tau\\[2ex] \implies y(t)=\frac{3}{2}e^{-t}+te^{-t}+\frac{1}{2}\sin t-\frac{1}{2}\cos t y=CX=C?(t)x(0)+C∫0t??(t?τ)Bu(τ)dτ=(1+t)e?t+∫0t?(t?τ)e?(t?τ)(sint+cost)dτ?y(t)=23?e?t+te?t+21?sint?21?cost

2.3.2 特定輸入下的狀態回應

• 脈沖回應
  當 u ( t ) = K δ ( t ) ， x ( 0 ) = x 0 時 ， x ( t ) = e A t x 0 + e A t B K 當u(t)=K\delta(t)，x(0)=x_0時，\\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+e^{At}BK 當u(t)=Kδ(t)，x(0)=x0?時，x(t)=eAtx0?+eAtBK
• 階躍回應
  當 u ( t ) = K ? 1 ( t ) ， x ( 0 ) = x 0 時 ， x ( t ) = e A t x 0 + A ? 1 ( e A t ? I ) B K 當u(t)=K\cdot 1(t)，x(0)=x_0時，\\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+A^{-1}(e^{At}-I)BK 當u(t)=K?1(t)，x(0)=x0?時，x(t)=eAtx0?+A?1(eAt?I)BK
• 斜坡回應
  當 u ( t ) = K t ? 1 ( t ) ， x ( 0 ) = x 0 時 ， x ( t ) = e A t x 0 + [ A ? 2 ( e A t ? I ) ? A ? 1 t ] B K 當u(t)=Kt\cdot 1(t)，x(0)=x_0時，\\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+[A^{-2}(e^{At}-I)-A^{-1}t]BK 當u(t)=Kt?1(t)，x(0)=x0?時，x(t)=eAtx0?+[A?2(eAt?I)?A?1t]BK

2.4 線性時變系統的運動分析

線性時變系統方程為：
{ x ˊ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) (2) \begin{cases} \acute{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\[2ex] y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\tag 2 \end{cases} ????xˊ(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)?(2)
如果 A ( t ) 、 B ( t ) 、 C ( t ) A(t)、B(t)、C(t) A(t)、B(t)、C(t) 的所有元素在時間區間上 [ t 0 , ∞ ] [t_0,\infty] [t0?,∞] 均是連續函式，則對于任意的初始狀態 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0?) 和輸入向量 u ( t ) u(t) u(t) ，系統狀態方程的解存在并且唯一，

2.4.1 齊次狀態方程的解

x ˊ ( t ) = A ( t ) x ( t ) 初 始 狀 態 為 x ( t 0 ) ， 其 解 為 ： x ( t ) = ? ( t , t 0 ) x ( t 0 ) \acute{x}(t)=A(t)x(t)\\[2ex] 初始狀態為x(t_0)，其解為：x(t)=\phi(t,t_0)x(t_0) xˊ(t)=A(t)x(t)初始狀態為x(t0?)，其解為：x(t)=?(t,t0?)x(t0?)

2.4.2 狀態轉移矩陣的計算

線性時變系統的狀態轉移矩陣 ? ( t , t 0 ) \phi(t,t_0) ?(t,t0?) 既是時間 t t t 的函式，又是初始時刻 t 0 t_0 t0? 的函式， 一般用級數近似法計算，
? ( t , t 0 ) = I + ∫ t 0 t A ( τ 0 ) d τ 0 + ∫ t 0 t A ( τ 0 ) ∫ t 0 τ 0 A ( τ 1 ) d τ 1 d τ 0 + ∫ t 0 t A ( τ 0 ) ∫ t 0 τ 0 A ( τ 1 ) ∫ t 0 τ 1 A ( τ 2 ) d τ 2 d τ 1 d τ 0 + . . . \phi(t,t_0)=I+\int_{t_0}^{t}A(\tau_0)d\tau_0+\int^{t}_{t_0}A(\tau_0)\int_{t_0}^{\tau_0}A(\tau_1)d\tau_1d\tau_0+\int^{t}_{t_0}A(\tau_0)\int_{t_0}^{\tau_0}A(\tau_1)\int_{t_0}^{\tau_1}A(\tau_2)d\tau_2d\tau_1d\tau_0+... ?(t,t0?)=I+∫t0?t?A(τ0?)dτ0?+∫t0?t?A(τ0?)∫t0?τ0??A(τ1?)dτ1?dτ0?+∫t0?t?A(τ0?)∫t0?τ0??A(τ1?)∫t0?τ1??A(τ2?)dτ2?dτ1?dτ0?+...

2.4.3 線性時變非齊次狀態方程的解

將（2）中的狀態方程重寫為：
{ x ˊ ( t ) = A ( t ) x + B ( t ) u x ( t ) ∣ t = t 0 = x ( t 0 ) \begin{cases} \acute{x}(t)=A(t)x+B(t)u\\[2ex] x(t)|_{t=t_0}=x(t_0) \end{cases} ????xˊ(t)=A(t)x+B(t)ux(t)∣t=t0??=x(t0?)?
其解為：
x ( t ) = ? ( t , t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ t 0 t ? ( t , τ ) B ( τ ) u ( τ ) d τ x ( t ) = ? ( t , t 0 ) [ x ( t 0 ) + ∫ t 0 t ? ( t 0 , τ ) B ( τ ) u ( τ ) d τ ] x(t)=\phi (t,t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^{t}\phi (t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau\\[2ex] x(t)=\phi (t,t_0)[x(t_0)+\int_{t_0}^{t}\phi (t_0,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau] x(t)=?(t,t0?)x(t0?)+∫t0?t??(t,τ)B(τ)u(τ)dτx(t)=?(t,t0?)[x(t0?)+∫t0?t??(t0?,τ)B(τ)u(τ)dτ]

2.4.4 系統輸出

對于系統方程（2）描述的線性時變系統，其輸出為：
y ( t ) = C ( t ) ? ( t , t 0 ) x ( t 0 ) + C ( t ) ∫ t 0 t ? ( t , τ ) B ( τ ) u ( τ ) d τ + D ( t ) u ( t ) y(t)=C(t)\phi(t,t_0)x(t_0)+C(t)\int_{t_0}^{t}\phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau+D(t)u(t) y(t)=C(t)?(t,t0?)x(t0?)+C(t)∫t0?t??(t,τ)B(τ)u(τ)dτ+D(t)u(t)

2.5 線性定常系統的離散化

線性定常系統：
{ x ˊ = A x + B u y = C x + D u \begin{cases} \acute{x}=Ax+Bu\\[2ex] y=Cx+Du \end{cases} ????xˊ=Ax+Buy=Cx+Du?
離散化后系統方程為：
{ x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) 式 中 ： { G = e A T H = [ ∫ 0 T e A τ d τ ] B C = C D = D \begin{cases} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\[2ex] y(k)=Cx(k)+Du(k) \end{cases}\\[3ex] 式中： \begin{cases} G= e^{AT}\\[2ex] H=[\int_{0}^{T}e^{A\tau}d\tau]B\\[2ex] C=C\\[2ex] D=D \end{cases} ????x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)?式中：????????????????????G=eATH=[∫0T?eAτdτ]BC=CD=D?

• 先求 e A t e^{At} eAt ，再求 e A T e^{AT} eAT ，其中 e A t e^{At} eAt 可利用【定義法】、【拉普拉斯變換法】、【凱萊-哈密頓定理】或【線性變換法】求出，

參考文獻

[1]：劉豹，唐萬生. 現代控制理論[M]. 北京：機械工業出版社，2006.7
[2]：王孝武. 現代控制理論基礎[M]. 3版 北京：機械工業出版社，2013.7


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