一、實驗目的

1.進一步加深DFT演算法的原理和基本性質的理解；
2.學習用FFT對信號進行譜分析的方法，并分析其誤差及其原因；

二、實驗原理

1．N點序列的DFT和IDFT變換定義式如下：

利用旋轉因子具有周期性，可以得到快速演算法（FFT），
在MATLAB中，可以用函式

X=fft(x)  %計算N點的DFT，N為序列x[k]的長度，即N=length（x）；
X=fft（x，N）%計算序列x[k]的N點DFT；
x=ifft（X） %計算N點的IDFT，N為序列x[m]的長度；
x=ifft（X，N）%計算序列x[m]的N點IDFT；

三、示例演示— fft 在信號分析中的應用

【例4.1】有一個信號，其中，使用DFT頻譜分析方法從受噪聲污染的信號x(t)中鑒別出有用的信號，

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fs=1000;
f1=100;
dt=1/fs;
t=0:dt:1;  %采樣周期為0.001s，即采樣頻率為1000Hz；
N=length(t);
x=sin(2*pi*f1*t)+0.8*randn(1,N);   %產生受噪聲污染的正弦波信號；
subplot(3,1,1)
plot(t,x);   %畫出時域信號；
axis([0 0.3,-4 4]);
xlabel('(a)輸入信號的時域波形');
L=1024;
X=fft(x,L);   %對x的L點傅里葉變換；
f=(0:L-1)*fs/L;  
subplot(3,1,2)
plot(f,abs(X));    
xlabel('(b)輸入信號的抽樣后的DFT');
X1=fftshift(X);    %對抽樣頻譜點的值重新排列；                            
f1=(-L/2:L/2-1)*fs/L;    %設定頻率軸坐標；
subplot(3,1,3)
%plot(f1,X1);            %畫出頻域信號；
plot(f1,abs(X1)); 
xlabel('(c)輸入信號的頻譜');  %畫出頻域信號；  

                      圖1   輸入信號的時域頻域波形圖

四、實驗內容

1.假設現含有3種頻率成分，，，，，，利用DFT分析的頻譜，
（1）對抽樣后加矩形窗截斷（窗函式的長度為128），然后對其做128點的DFT并畫出對應的頻譜圖，再對截短信號做512的DFT并畫出對應的頻譜圖，分析其特點，總結實驗中的主要結論，

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fs=100;
f1=20;
f2=20.5;
f3=40;
dt=1/fs;
N=128;
t=0:dt:(N-1)*dt;  %采樣周期為0.001s，即采樣頻率為1000Hz；
x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t);   %產生受噪聲污染的正弦波信號；
subplot(3,1,1)
plot(t,x);   %畫出時域信號；
axis([0 0.3,-4 4]);
xlabel('(a)輸入信號的時域波形');
L=128;
X=fft(x,L);   %對x的L點傅里葉變換；
f=(0:L-1)*fs/L;  
subplot(3,1,2)
plot(f,abs(X));    
xlabel('(b)輸入信號的抽樣后的DFT');
X1=fftshift(X);    %對抽樣頻譜點的值重新排列；                            
f1=(-L/2:L/2-1)*fs/L;    %設定頻率軸坐標；
subplot(3,1,3)
%plot(f1,X1);            %畫出頻域信號；
plot(f1,abs(X1)); 
xlabel('(c)輸入信號的頻譜');  %畫出頻域信號；  

clear all
fs=100;
f1=20;
f2=20.5;
f3=40;
dt=1/fs;
N=128;
t=0:dt:(N-1)*dt;  %采樣周期為0.001s，即采樣頻率為1000Hz；
x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t);   %產生受噪聲污染的正弦波信號；
subplot(3,1,1)
plot(t,x);   %畫出時域信號；
axis([0 0.3,-4 4]);
xlabel('(a)輸入信號的時域波形');
L=512;
X=fft(x,L);   %對x的L點傅里葉變換；
f=(0:L-1)*fs/L;  
subplot(3,1,2)
plot(f,abs(X));    
xlabel('(b)輸入信號的抽樣后的DFT');
X1=fftshift(X);    %對抽樣頻譜點的值重新排列；                            
f1=(-L/2:L/2-1)*fs/L;    %設定頻率軸坐標；
subplot(3,1,3)
%plot(f1,X1);            %畫出頻域信號；
plot(f1,abs(X1)); 
xlabel('(c)輸入信號的頻譜');  %畫出頻域信號；  

（2）若對抽樣后加矩形窗截斷（窗函式的長度為512），然后對其做512的DFT并畫出對應的頻譜圖，對比（1）的結果，分析其結論，

clear all
fs=100;
f1=20;
f2=20.5;
f3=40;
dt=1/fs;
N=512;
t=0:dt:(N-1)*dt;  %采樣周期為0.001s，即采樣頻率為1000Hz；
x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t);   %產生受噪聲污染的正弦波信號；
subplot(3,1,1)
plot(t,x);   %畫出時域信號；
axis([0 0.3,-4 4]);
xlabel('(a)輸入信號的時域波形');
L=512;
X=fft(x,L);   %對x的L點傅里葉變換；
f=(0:L-1)*fs/L;  
subplot(3,1,2)
plot(f,abs(X));    
xlabel('(b)輸入信號的抽樣后的DFT');
X1=fftshift(X);    %對抽樣頻譜點的值重新排列；                            
f1=(-L/2:L/2-1)*fs/L;    %設定頻率軸坐標；
subplot(3,1,3)
%plot(f1,X1);            %畫出頻域信號；
plot(f1,abs(X1)); 
xlabel('(c)輸入信號的頻譜');  %畫出頻域信號；  

(3)如果增大抽樣頻率，重做（1）和（2），對比上面的結果，分析你的結論，

clear all
fs=1000;
f1=20;
f2=20.5;
f3=40;
dt=1/fs;
N=128;
t=0:dt:(N-1)*dt;  %采樣周期為0.001s，即采樣頻率為1000Hz；
x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t);   %產生受噪聲污染的正弦波信號；
subplot(3,1,1)
plot(t,x);   %畫出時域信號；
axis([0 0.3,-4 4]);
xlabel('(a)輸入信號的時域波形');
L=128;
X=fft(x,L);   %對x的L點傅里葉變換；
f=(0:L-1)*fs/L;  
subplot(3,1,2)
plot(f,abs(X));    
xlabel('(b)輸入信號的抽樣后的DFT');
X1=fftshift(X);    %對抽樣頻譜點的值重新排列；                            
f1=(-L/2:L/2-1)*fs/L;    %設定頻率軸坐標；
subplot(3,1,3)
%plot(f1,X1);            %畫出頻域信號；
plot(f1,abs(X1)); 
xlabel('(c)輸入信號的頻譜');  %畫出頻域信號；

clear all
fs=1000;
f1=20;
f2=20.5;
f3=40;
dt=1/fs;
N=128;
t=0:dt:(N-1)*dt;  %采樣周期為0.001s，即采樣頻率為1000Hz；
x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t);   %產生受噪聲污染的正弦波信號；
subplot(3,1,1)
plot(t,x);   %畫出時域信號；
axis([0 0.3,-4 4]);
xlabel('(a)輸入信號的時域波形');
L=512;
X=fft(x,L);   %對x的L點傅里葉變換；
f=(0:L-1)*fs/L;  
subplot(3,1,2)
plot(f,abs(X));    
xlabel('(b)輸入信號的抽樣后的DFT');
X1=fftshift(X);    %對抽樣頻譜點的值重新排列；                            
f1=(-L/2:L/2-1)*fs/L;    %設定頻率軸坐標；
subplot(3,1,3)
%plot(f1,X1);            %畫出頻域信號；
plot(f1,abs(X1)); 
xlabel('(c)輸入信號的頻譜');  %畫出頻域信號；

clear all
fs=1000;
f1=20;
f2=20.5;
f3=40;
dt=1/fs;
N=2048;
t=0:dt:(N-1)*dt;  %采樣周期為0.001s，即采樣頻率為1000Hz；
x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t);   %產生受噪聲污染的正弦波信號；
subplot(3,1,1)
plot(t,x);   %畫出時域信號；
axis([0 0.3,-4 4]);
xlabel('(a)輸入信號的時域波形');
L=512;
X=fft(x,L);   %對x的L點傅里葉變換；
f=(0:L-1)*fs/L;  
subplot(3,1,2)
plot(f,abs(X));    
xlabel('(b)輸入信號的抽樣后的DFT');
X1=fftshift(X);    %對抽樣頻譜點的值重新排列；                            
f1=(-L/2:L/2-1)*fs/L;    %設定頻率軸坐標；
subplot(3,1,3)
%plot(f1,X1);            %畫出頻域信號；
plot(f1,abs(X1)); 
xlabel('(c)輸入信號的頻譜');  %畫出頻域信號；

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