前言

1.二維射影幾何與變換

1.1數學基礎

1.2射影變換

2.有限射影攝像機

2.1有限攝像機模型

2.2射影攝像機的幾何含義

2.3射影攝像機對點的作用

2.3.1點對射線的反向投影

2.3.2點的深度

前言

學習資料來源為《計算機視覺中的多視圖幾何（原書第二版）》，本節主要學習基本射影幾何和射影攝像機的幾何知識

1.二維射影幾何與變換

1.1數學基礎

1.平面幾何與代數的關系：向量就是點，對稱矩陣就是二次曲線

2. $IR^{n}$ ----n維標準歐式幾何空間

$IP^{2}$ ----射影空間，在二維標準歐式幾何的基礎上拓展了理想點集(無窮遠點），有了相異直線相交的概念

3.齊次向量：兩個只相差一個全域縮放因子的向量

齊次坐標 $(x,y,0)^{T}$ 不與 $IR^{2}$ 中任何有限點對應（即理想點）

4.根據對偶定理，可以互換點和直線的作用

1.2射影變換

幾何概念的定義：

射影映射（保線變換，射影變換或單應）是把 $IP^{2}$ 的點（即齊次三維向量）映射到 $IP^{2}$ 的點的一種可逆映射，它把直線映射到直線，更精確地說：

射影映射是 $IP^{2}$ 到它自身的一種滿足下列條件的可逆映射h：三點 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 共線當且僅當 $h(x_{1})$ ， $h(x_{2})$ ， $h(x_{3})$ 也共線

代數定義：

一個平面的射影變換是關于三維齊次向量的一種線性變換，并可以用一個非奇異3*3矩陣表示為

$\begin{bmatrix} x_{1}^{,}\\ x_{2}^{,} \\ x_{3}^{,} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} &h_{13} \\ h_{21} & h_{22} &h_{23} \\ h_{31}& h_{32} & h_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}$

或更簡單地表示為 $X^{'}=HX$

中心投影：把一張平面的點或直線通過固定公共點（投影中心）映射到另一張平面

透視映射：中心投影兩張平面建立的坐標系都為直角坐標系，

2.有限射影攝像機

2.1有限攝像機模型

基本針孔模型如下圖所示：

考慮空間點到一張平面上的中心投影，令投影中心位于一個歐式坐標系的原點，投影中心C是攝像機中心，也稱為光心，圖中攝像機中心位于坐標原點，影像平面或聚焦平面 $Z=f$ .攝像機到影像平面的垂線是攝像機的主軸或主射線，主軸與影像平面的交點P是主點，過攝像機中心且平行于影像平面的平面是攝像機的主平面，

攝像機坐標系的 $X_{cam}$ 與影像平面的 $x$ 的關系由相似三角形寫成齊次為：

$x=K[I|0]X_{cam}$

$K=\begin{bmatrix} f & & p_x \\ & f& p_y \\ & & 1\end{bmatrix}$

其中， $p_x,p_y$ 是考慮主點偏置的主點坐標，K為攝像機標定矩陣，

對于CCD相機，影像坐標以像素來測量，則需要在每個方向上引入不同的尺度因子，若在x和y方向上影像坐標單位距離的像素數分別是 $m_x,m_y$ ,那么由K還要左乘附加因子，得到CCD攝像機標定矩陣的一般形式：

$K=\begin{bmatrix} fm_x & &m_xp_x \\ & fm_y &m_yp_y \\ & & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha _x & &x_0 \\ & \alpha_y& y_0\\ & & 1 \end{bmatrix}$

攝像機坐標系 $X_{cam}$ 與世界坐標系 $X$ 的關系由旋轉平移表示為：

$X_{cam}=\begin{bmatrix} R&-R\tilde{C}\\ 0^{T}&1\\ \end{bmatrix}X$

其中R表示攝像機坐標系方向的3*3旋轉矩陣， $\tilde{C}$ 表示攝像機中心在世界坐標系的坐標，

則影像坐標系與世界坐標系的關系為：

$x=PX=KR[I|-\tilde{C}]X=K[R|t]X$

其中P為攝像機矩陣， $t=-R\tilde{C}$ ，通常不顯式地標出攝像機中心，K中的引數稱為攝像機的內引數或攝像機的內部校準，R和 $\tilde{C}$ 中的引數稱為外引數或外部校準，與攝像機在世界坐標系中的方位和位置有關，

事實上，P左邊的3*3非奇異子矩陣M=KR可以看作是RQ分解，因此P可以寫成如下形式：

$P=M[I|M^{-1}p_4]=[M|p_4]$

其中 $p_4$ 是P的最后一列，

2.2射影攝像機的幾何含義

1.攝像機中心

攝像機中心C是P的一維右零空間，即PC=0.

對于有限攝像機（M非奇異）:

$C=\binom{-M^{-1}p_4}{1}$

對于無窮遠攝像機（M奇異）：

$C=\binom{d}{0}$

其中d是M的三維零向量，即Md=0.

2.列向量

射影攝像機的列是3維向量，幾何含義是特殊的影像點，對于i=1,...,3，列向量 $p_{i}$ 分別對應于X,Y,Z軸在影像上的消影點，即這些點是軸方向的影像，列 $p_{4}$ 是坐標原點的影像，

3.行向量

射影攝像機的行是4維向量，在幾何上可解釋成特殊的世界平面，經證明，攝像機的主平面是P的最后一行 $P^{3}$ ， $P^{1},P^{2}$ 依賴于影像的x軸和y軸（與影像坐標系的選擇有關）

4.主點

事實上主點由下式計算：

$x_0=Mm^3$

其中 $m^{3T}$ 是M的第三行，

5.主軸向量

$v=det(M)m^3$

是在主軸方向上指向攝像機前方的向量

2.3射影攝像機對點的作用

2.3.1點對射線的反向投影

根據映射x=PX,可以把空間中一個點X投影到一個影像點上，而給定一個影像點x，需要確定空間中哪些點被映射到該點，這些點組成過攝像機中心的一條空間射線，射線上有兩個點已知，它們是攝像機中心和點 $P^{+}x$ ,其中 $P^+$ 是 $P$ 的偽逆， $P^+=P^T(PP^T)^{-1}$ .由這兩點的連線可以表示這條射線: