人工智能必備數學基礎（二）

導讀：數學基礎知識蘊含著處理智能問題的基本思想與方法，也是理解復雜演算法的必備要素，今天的人工智能技術歸根到底都建立在數學模型之上

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微積分

微積分（Calculus）是高等數學中研究函式的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關概念和應用的數學分支，它是數學的一個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用，微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論，它使得函式、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論，積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法，

設函式f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干個分點

a=x0<x1<...<xn-1<xn=b

把區間[a，b]分成n個小區間

[x0，x1]，...[xn-1，xn]，

在每個小區間[xi-1，xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函式值f（ξi）與小區間長度的乘積f（ξi）△xi，并作出和

如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區間上的點ξi怎樣取法，只要當區間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，這時我們稱這個極限I為函式f(x）在區間[a,b]上的定積分記作K，

微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力，

定積分

定義：定積分就是求函式f(X）在區間[a,b]中圖線下包圍的面積，即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X）所圍成圖形的面積，這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形，

設函式f(x) 在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各區間的長度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每個子區間（xi-1,xi）任取一點ξi(i=1,2,…,n），作和式（見右下圖），設λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ屬于最大的區間長度），則當λ→0時，該和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函式f(x) 在區間[a,b]的定積分，記為（見右下圖）：

其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a，b]叫做積磁區間，函式f(x) 叫做被積函式，x 叫做積分變數，f(x)dx 叫做被積運算式，∫ 叫做積分號，

之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數， 而不是一個函式，

分點問題：定積分是把函式在某個區間上的圖象[a,b]分成n份，用平行于y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和，習慣上，我們用等差級數分點，即相鄰兩端點的間距Δx是相等的，但是必須指出，即使Δx不相等，積分值仍然相同，我們假設這些“矩形面積和”S=f(x1）Δx1+f(x2）Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1），那么當n→+∞時，Δx的最大值趨于0，所以所有的Δx趨于0，所以S仍然趨于積分值.

利用這個規律，在我們了解牛頓-萊布尼茲公式之前，我們便可以對某些函式進行積分，例如我們可以證明對于函式f(x)=x^k（k∈Q，k≠-1），有∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)，

我們選擇等比級數來分點，令公比q=n^√（b/a），則b/a=q^n，b=aq^n，令分點x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因為f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面積和”

Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]

提出a^k*(aq-a），則

Sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]

利用等比級數公式，得到

Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N

其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1），設k=u/v(u,v∈Z），令q^(1/v)=s，則

N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))

令n增加，則s,q都趨于1，因而N的極限為（u+v)/v=u/v+1=k+1.

于是∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)，

應用：

1，解決求曲邊圖形的面積問題

例：求由拋物線y^2=4x與直線y=2x-4圍成的平定積分的應用(4張)面圖形D的面積S.

2，求變速直線運動的路程

做變速直線運動的物體經過的路程s，等于其速度函式v=v(t) (v(t）≥0）在時間區間[a,b]上的定積分，

3，變力做功

某物體在變力F=F(x）的作用下，在位移區間[a,b]上做的功等于F=F(x）在[a,b]上的定積分，

牛頓-萊布尼茨公式

牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函式的原函式或者不定積分之間的聯系，

牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函式在區間 [ a，b ] 上的定積分等于它的任意一個原函式在區間[ a，b ]上的增量，牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式， 1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式，因為二者最早發現了這一公式，于是命名為牛頓-萊布尼茨公式，

牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算程序，

基本簡介：若函式f(x)在[a,b]上連續，且存在原函式F(x)，則f(x)在[a,b]上可積，則

這即為牛頓-萊布尼茨公式，

理解:比如路程公式: 距離s=速度v*時間t，即s=v*t，那么如果t是從時間a開始計算到時間b為止，t=b-a，而如果v不能在這個時間段內保持均速，那么上面的這個公式(s=v*t，t=b-a)就不能和諧的得到正確結果，于是引出了定積分的概念，

公式應用：那么如何在用積分得到上述路程公式呢?

這個公式能表明路程s是每個不同速度時候行駛的時間和當前速度乘積的和，

牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法，下面就是該公式的證明全程序:

對函式f(x)于區間[a,b]上的定積分表達為:

b∫a*f(x)dx

現在我們把積磁區間的上限作為一個變數，這樣我們就定義了一個新的函式：

Φ(x)= x∫a*f(x)dx

但是這里x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函式的自變數，但定積分中被積函式的自變數取一個定值是沒意義的，為了只表示積分上限的變動，我們把被積函式的自變數改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了:

Φ(x)= x∫a*f(t)dt

研究這個函式Φ(x)的性質: 1、定義函式Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt，則Φ 與格林公式和高斯公式的聯系

'(x)=f(x)，

泰勒公式

在數學中，泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式，如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值，泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差，

泰勒公式（Taylor's formula）帶Peano余項的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反復利用L'Hospital法則來推導，

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

泰勒中值定理（帶拉格郎日余項的泰勒公式）：若函式f(x）在含有x的開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關于(x-x0)多項式和一個余項的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，這里ξ在x和x0之間，該余項稱為拉格朗日型的余項，

（注：f(n)(x0)是f(x0)的n階導數，不是f(n)與x0的相乘，）

使用Taylor公式的條件是：f(x)n階可導，其中o((x-x0)^n）表示比無窮小(x-x0)^n更高階的無窮小，

Taylor公式最典型的應用就是求任意函式的近似值，Taylor公式還可以求dengjiwuqiong，證明不等式，求極限等

應用實體：歐拉公式的證明

e^(iπ) + 1 = 0

函式 y = exp(x) 的泰勒展開式為

exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + x?/n! + ...

令 x = iω：

exp(iω) = 1 + iω - ω2/2! - iω3/3! + ω?/4! + iω?/5! - ω?/6! - iω?/7! + ...

= cos ω + i sin ω

再令 ω = π：

e^(iπ) = cos π + i sin π = -1. 證畢.

拉格朗日乘子法

基本的拉格朗日乘子法(又稱為拉格朗日乘數法)，就是求函式f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的約束條件下的極值的方法，其主要思想是引入一個新的引數λ(即拉格朗日乘子)，將約束條件函式與原函式聯系到一起，使能配成與變數數量相等的等式方程，從而求出得到原函式極值的各個變數的解，

演算法：拉格朗日乘子(Lagrangemultiplier)

假設需要求極值的目標函式(objectivefunction)為f(x,y)，限制條件為φ(x,y)=M

設g(x,y)=M-φ(x,y)

定義一個新函式

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

則用偏導數方法列出方程：

?F/?x=0

?F/?y=0

?F/?λ=0

求出x,y,λ的值，代入即可得到目標函式的極值

擴展為多個變數的式子為:

F(x1,x2,λ)=f(x1,x2,)-λg(x1,x2)

則求求值點的方程為:

?F/?xi=0(xi即為x1、x2……等自變數)

?F/?λ=g(x1,x2)=0

另外，可以將這種把約束條件乘以λ(即不定乘子)后加到待求函式上的求極值方法推廣到變分極值問題及其它極值問題當中，理論力學當中對非完整約束的處理方法就是利用變分法當中的拉格朗日乘子法，

用途：從經濟學的角度來看，λ代表當約束條件變動時，目標函式極值的變化，因為?F/?M=λ，當M增加或減少一個單位值時，F會相應變化λ，

例如，假設目標函式代表一個工廠生產產品的數量，約束條件限制了生產中投入的原料和人力的總成本，我們求目標函式的極值，就是要求在成本一定的條件下，如何分配利用人力和原料，從而使得生產量達到最大，此時λ便代表，當成本條件改變時，工廠可達到的生產量最大值的變化率，

下面是小編發布的其他文章，跟著小編學習更多的人工智能專業知識嘿嘿

人工智能必備數學基礎（一）函式、極限、無窮小與無窮大、連續性與導數、偏導數、方向導數、梯度

https://blog.csdn.net/Java_college/article/details/120431070?spm=1001.2014.3001.5501

人工智能常用十大演算法https://blog.csdn.net/Java_college/article/details/120367433?spm=1001.2014.3001.5501

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