坐標系

左右手坐標系

左手坐標系：伸開左手，大拇指指向X軸正方向，食指指向Y軸正方向，其他三個手指指向Z軸正方向，
右手坐標系：伸開右手，大拇指指向X軸正方向，食指指向Y軸正方向，其他三個手指指向Z軸正方向，

3D笛卡爾坐標系：右手坐標系
OpenGL：右手坐標系
Direct3D：左手坐標系
Unity3D：左手坐標系（世界坐標系），即+x, +y, +z分別指向右方，上方和前方，????

各種坐標空間(坐標系)

部分空間種類

模型空間

unity約定：使用的左手坐標系，XYZ分別對應著右上前，
模型空間的原點和坐標軸通常由美術人員在建模軟體里確定好的，當匯入到unity中，我們可以在頂點著色器中訪問到模型的頂點資訊，其中包含了每個頂點的坐標，這些坐標都是相對于模型空間中的原點（通常位于模型的重心）定義的，
檢視視圖中顯示的為localPosition的值，
transform.localPosition（本地坐標）可以獲得物體在父物體的區域坐標系中的位置點，

世界空間

unity約定：使用左手坐標系，但它的XYZ軸是固定不變的，
transform.position來獲取游戲物件的世界坐標，

觀察空間

右手坐標系，這是符合OpenGL傳統的，再這樣的觀察空間中，攝像機的正前方向指的是-z軸方向，
unity約定：攝像機位于原點，+x軸指向右方，+y軸指向上分，而+z軸指向的是攝像機的后方，

裁切空間

目標是能夠方便地對渲染圖元進行裁剪：完全位于這塊空間內部的圖元將會被保留，完全位于這塊空間外部的圖元將會被剔除，而與這塊空間邊界相交的圖元就會被裁剪，
這塊空間是由視椎體來決定，

螢屏空間

左手坐標系
以像素來定義的，螢屏的左下角為（0,0），右上角為（Screen.width, Screen.height），z軸的坐標是相機的世界坐標中z軸坐標的負值，
螢屏空間是一個二維空間，
滑鼠位置坐標屬于螢屏坐標，通過Input.mousePosition可以獲得該位置的坐標，
手指觸摸螢屏也為螢屏坐標，Input.GetTouch(0).position可以獲得單個手指觸摸螢屏時手指的坐標，

視口空間

將Game視圖的螢屏坐標系單位化
左下角（0,0），右上角（1,1），z軸的坐標是相機的世界坐標中z軸坐標的負值，

相互空間轉換

shader中空間轉換

模型變換：頂點變換的第一步就是將頂點從模型空間變換到世界空間中，這個變換通常叫做模型變換，注意這里的變換順序是不能互換的，即先進行縮放，然后進行旋轉，最后是平移，然后我們可以構建出模型變換的變換矩陣(因為矩陣不滿足交換律，所以不要隨便調換變換順序)
觀察變換：頂點變換的第二步，就是將頂點坐標從世界空間變換到觀察空間中，這個變換通常叫做觀察變換，一種方法是計算觀察空間中的三個坐標軸在世界空間下的表示，然后構建出觀察空間變換到世界空間的變換矩陣，再對該矩陣求逆得到從世界空間變換到觀察空間的變換矩陣，另一種方法是想象平移整個觀察空間，讓攝像機原點位于世界坐標的原點，坐標軸與世界空間中的坐標軸重合即可
投影變換：頂點變換的第三步，就是將頂點坐標從觀察空間變換到裁切空間(也被稱為齊次裁剪空間)中，這個變換通常叫做投影變換，這個用于變換的矩陣叫做裁剪矩陣，也被稱為投影矩陣，
- 目的：首先是為投影做準備，真正的投影發生在后面的齊次除法程序中，而經過投影矩陣變換后，頂點的w分量將會有特殊的意義；其次是對x,y,z分量進行縮放，
- 視椎體指的是空間中的一塊區域，這塊區域決定了攝像機可以看到的空間，視椎體由兩種型別，這涉及兩種投影：一種是正交投影，一種是透視投影，
- 投影：可以理解成一個空間的降維，例如從四維空間投影到三維空間，而投影矩陣實際上并不會真正的進行投影，它會為真正的投影做準備作業，真正的投影會在螢屏映射時發生，通過齊次除法來得到二維坐標，
螢屏映射：就是把頂點從裁剪空間投影到螢屏空間中，來生成對應的2D坐標，在unity中，從裁剪空間到螢屏空間的轉換一般是底層幫我們完成的，我們頂點著色器只需要把頂點轉換到裁剪空間即可，最后由此通過齊次除法和映射到螢屏，——分為兩個步驟：首先進行標準齊次除法，也被稱為透視除法，就是用齊次坐標系的w分量去除以x，y，z分量；經過齊次除法后，透視投影和正交投影的視椎體都變換到一個相同的立方體內，接下來可以根據變換后的x和y坐標來映射輸出視窗的對應像素坐標，

unity中C#相關API

Transform.forward, Transform.right, Transform.up：當前物體的物體坐標系的z軸，x軸，y軸在世界坐標系上的指向，
Transform.TransformPoint(Vector3 position) :將一個坐標點從區域坐標系轉換到全域坐標系，
Transform.InverseTransformPoint(Vector3 position)：將坐標點從全域坐標系轉換到區域坐標系，
Transform.TransformDirection(Vector3 direction):將一個方向從區域坐標系轉換到全域坐標系，
Transform.InverseTransformDirection(Vector3 direction)：將一個方向從全域坐標系轉換到區域坐標系，
Transform.TransformVector(Vector3 vector):將一個向量從區域坐標系轉換到全域坐標系，
Transform.InverseTransformVector(Vector3 vector):將一個向量從全域坐標系轉換到區域坐標系，
Camera.ScreenToWorldPoint(Vector3 position): 將螢屏坐標轉換為全域坐標，
Camera.WorldToScreenPoint(Vector3 position):將全域坐標轉換為螢屏坐標，
Camera.ScreenToViewportPoint(Vector3 position)：將螢屏坐標轉換為視口坐標，
Camera.ViewportToScreenPoint(Vector3 position)：將視口坐標轉換為螢屏坐標，
Camera.WorldToViewportPoint(Vector3 position)：將全域坐標轉換為視口坐標，
Camera.ViewportToWorldPoint(Vector3 position)：將視口坐標轉換為全域坐標，

向量

認識向量

在數學中，向量（也稱為矢量），是指具有大小和方向的量；書寫向量時，水平書寫的向量叫做行向量
[ 1 2 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} [1?2?3?]
垂直書寫的向量叫做列向量，
[ 1 2 3 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} ???123????
向量的大小就是向量的長度，也叫做模，向量的方向描述了空間中向量的指向；向量中的數表達了向量在每個維度上的有向位移，
點中的數表示了一個位置，它沒有大小、方向的概念；點只有位置，適量只有方向和大小，任何一個點都可以表示成一個從原點出發的矢量，

向量運算

特殊向量

零向量：大小為0，沒有方向的向量，并且它不可以被歸一化，
負向量：向量變負,將得到一個和原向量方向相反、大小相等的向量，
單位向量：也叫做標準化向量，就是大小為1的向量；對任意的非零向量，我們都可以計算出它的單位向量，即將其歸一化(normalization)，單位向量的表示
a ^ = a ∣ a ∣ \widehat{\bf{a}} =\frac{\bf{a}}{\begin{vmatrix} \bf{a} \end{vmatrix}} a =∣∣?a?∣∣?a?
在Unity中，可以使用Vector3.Normalize來歸一化向量，使用Vector3.normalized來獲得歸一化后的單位向量；Vector3.Normalize改變當前向量，Vector3.normalized當前向量是不改變的并且回傳一個新的規范化的向量，

向量的長度

即向量的大小，或者向量的模，
向量的大小就是向量各分量平方和的平方根
在Unity中，可以通過Vector3.magnitude計算向量的長度，Vector3.sqrMagnitude則回傳向量長度的平方；Vector3.Distance(A,B)可以計算2個點A,B之間的距離，即回傳向量AB或向量BA的長度，

向量與標量的乘/除法

向量與標量的乘法，即將向量的每個分量分別與標量相乘，
向量與非零標量的除法，即乘以該標量的倒數，

向量的加/減法

只有在兩個向量的維度相同時，才可以相加或相減，
向量的加法和減法，即將向量的各個分量相加或相減，
向量的加法滿足交換律和結合律，向量的減法僅滿足結合律，
幾何意義：對于加法，我們可以把矢量a的頭連接到矢量b的尾，然后畫一條從a的尾到b的頭的矢量，來得到a和b相加后的矢量，減法類似
公式： a ? + b ? = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) a ? ? b ? = ( a x ? b x , a y ? b y , a z ? b z ) \vec{a} + \vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z) \\ \vec{a} - \vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z) a +b =(ax?+bx?,ay?+by?,az?+bz?)a ?b =(ax??bx?,ay??by?,az??bz?)

向量的點積

也叫做向量的內積，表示如下：其中點不可以省略
a ? ? b ? \vec{a} \cdot \vec{b} a ?b
兩種計算公式如下：
a ? ? b ? = ∣ a ? ∣ ∣ b ? ∣ cos ? θ a ? ? b ? = ( a x b x + a y b y + a z b z ) \vec{a} \cdot \vec{b}=\rvert \vec{a} \rvert \rvert \vec{b} \rvert \cos \theta \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z) a ?b =∣a ∣∣b ∣cosθa ?b =(ax?bx?+ay?by?+az?bz?)
點積滿足交換律，
向量點積的結果是一個標量
幾何意義：
- 點乘結果描述了兩個向量的“相似”程度，點乘結果越大，兩向量越相近
- 投影：向量b在向量a上的投影的長度可以表示為
  ∣ b ? → a ? ∣ = ∣ b ? ∣ cos ? θ = a ? ? b ? ∣ a ? ∣ \begin{vmatrix} \vec{b} \to \vec{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec{b} \end{vmatrix} \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\begin{vmatrix} \vec{a} \end{vmatrix}} ∣∣∣?b →a ?∣∣∣?=∣∣∣?b ?∣∣∣?cosθ=∣∣?a ?∣∣?a ?b ?
重要性質：
- 點積可結合標量乘法
  ( k a ? ) ? b ? = a ? ? ( k b ? ) = k ( a ? ? b ? ) (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b})=k ( \vec{a} \cdot \vec{b}) (ka )?b =a ?(kb )=k(a ?b )
- 點積可結合矢量加減法
  a ? ? ( b ? + c ? ) = a ? ? b ? + a ? ? c ? \vec{a} \cdot ( \vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c} a ?(b +c )=a ?b +a ?c
- 一個矢量和本身進行點積的結果是該矢量的模的平方

向量的叉積

也叫做向量的外積，表示如下：其中叉不可以省略
a ? × b ? \vec{a} \times \vec{b} a ×b
計算公式如下：
[ x 1 y 1 z 1 ] × [ x 2 y 2 z 2 ] = [ y 1 z 2 ? z 1 y 2 z 1 x 2 ? x 1 z 2 x 1 y 2 ? y 1 x 2 ] \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2}\\ z_{1}x_{2}-x_{1}z_{2}\\ x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2} \end{bmatrix} ???x1?y1?z1?????×???x2?y2?z2?????=???y1?z2??z1?y2?z1?x2??x1?z2?x1?y2??y1?x2?????
三重積： a ? ? b ? × c ? = a ? ? ( b ? × c ? ) \vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}=\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) a ?b ×c =a ?(b ×c )
點積不滿足交換律，也不滿足結合律，
向量叉積的結果仍是一個向量
幾何意義：
- 叉乘得到的向量垂直于原來的兩個向量
- 叉乘的長度等于向量的大小與向量夾角sin值的積
  ∣ a ? × b ? ∣ = ∣ a ? ∣ ∣ b ? ∣ sin ? θ \begin{vmatrix} \vec{a} \times \vec{b} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{a} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \vec{b} \end{vmatrix} \sin \theta ∣∣∣?a ×b ?∣∣∣?=∣∣?a ?∣∣?∣∣∣?b ?∣∣∣?sinθ
- 叉乘的長度也等于以a和b為兩邊的平行四邊形的面積

矩陣

認識矩陣

在數學中，矩陣是一個按照長方陣排列的復數或實數的集合，
在一個m×n的矩陣A中，有m×n個數，這些數稱為矩陣A的元素，數 a_ij 位于矩陣的第i行，第j列，稱為矩陣A的(i,j)元素，
矩陣中元素的下標是從1開始的，
[ a 11 a 12 a 13 ? a 1 j a 21 a 22 a 23 ? a 2 j ? ? ? ? ? a i 1 a i 2 a i 3 ? a i j ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots &a_{ij} \\ \end{bmatrix} ??????a11?a21??ai1??a12?a22??ai2??a13?a23??ai3???????a1j?a2j??aij????????

矩陣和標量的乘法

矩陣和標量相乘，得到的仍然是一個相同維度的矩陣，矩陣和標量的乘法，即矩陣的每個元素和該標量相乘

矩陣和矩陣的加/減法

只有維度相同的矩陣，才可以相加相減
矩陣和矩陣的相加/相減即矩陣各相同位置的元素的相加相減

矩陣和矩陣的乘法

公式：一個r×n的矩陣A和一個n×c的矩陣B相乘，它們的結果AB將會是一個r×c大小的矩陣，這里第一個矩陣的列數必須和第二個矩陣的行數相同，他們相乘得到的矩陣的行數是第一個矩陣的行數，列數是第二個矩陣的列數，
演示：
矩陣乘法不滿足交換律，但是滿足結合律及以下關系： A B ≠ B A ( A B ) C = A ( B C ) A B = B T A \mathbf{AB}\neq \mathbf{BA} \\ \left ( \mathbf{AB} \right )\mathbf{C}= \mathbf{A}\left ( \mathbf{BC} \right ) \\ \mathbf{AB}= \mathbf{B^{T}A} AB?=BA(AB)C=A(BC)AB=BTA
矩陣的幾何意義
1. 方陣的的行能被解釋為坐標系的基向量；
2. 為了將向量從原坐標系變換到新坐標系，用它乘以一個矩陣；
3. 從原坐標系到這些基向量定義的新坐標系的變換是一種線性變換；線性變換保持直線和平行線，但角度、長度、面積和體積可能會被改變，
4. 零向量乘以任何矩陣仍然得到零向量，因此，方陣代表的線性變換的原點和原坐標系的原點一致，變換不包含原點，
5. 可以通過想象變換后的坐標系的基向量來想象矩陣，這些基向量在2D中構成“L”型，在3D中構成“三角架”型，

如何理解矩陣相乘的幾何意義或現實意義？

向量和矩陣相乘：行向量左乘矩陣時，結果是行向量；列向量右乘矩陣時，結果是列向量，其他相乘順序是不允許的，

特殊矩陣

方陣

行數和列數相等的矩陣被稱為方塊矩陣

對角矩陣

對角線元素：方陣中行號和列號相同的元素，其他元素為非對角線元素
如果一個矩陣除了對角元素外的所有元素都為0，那么這個矩陣就叫做對角矩陣

單位矩陣

對角線元素為1，其他元素為0，（乘法單位元）

轉置矩陣

一個r×c矩陣M,M的轉置記作 M T \bf M^T MT是一個c×r矩陣，它的列由M的行組成，即
M i j T = M j i M_{ij}^{T}=M_{ji} MijT?=Mji?
性質1：矩陣轉置的轉置等于原矩陣：
( M T ) T = M \left (\mathbf{M} ^{T}\right )^{T}=\mathbf{M} (MT)T=M
性質2：矩陣串接的轉置等于反向串接各個矩陣的轉置：
( A B ) T = B T A T \left ( \mathbf{AB} \right )^{T}=\mathbf{B}^{T}\mathbf{A}^{T} (AB)T=BTAT

逆矩陣

給定一個方陣M，它的逆矩陣表示:
M ? 1 \bf{M}^{-1} M?1
如果一個矩陣有相應的逆矩陣，則可以說這個矩陣是可逆的，或者說是非奇異的，如果一個矩陣沒有相應的逆矩陣，則可以說這個矩陣是不可逆的，或者說是奇異的，
性質1：只有方塊矩陣才可能有逆矩陣，因為一個矩陣A和它的逆矩陣B需要滿足條件：AB = I(I是單位矩陣)，
M M ? 1 = M ? 1 M = I \mathbf{M}\mathbf{M}^{-1}=\mathbf{M}^{-1}\mathbf{M}=\mathbf{I} MM?1=M?1M=I
性質2：逆矩陣的逆矩陣是原矩陣本身，
( M ? 1 ) ? 1 = M \left ( \mathbf{M}^{-1} \right )^{-1}=\mathbf{M} (M?1)?1=M
性質3：單位矩陣的逆矩陣是它本身
I ? 1 = I \mathbf{I}^{-1}=\mathbf{I} I?1=I
性質4：轉置矩陣的逆矩陣是逆矩陣的轉置
( M T ) ? 1 = ( M ? 1 ) T \left ( \mathbf{M}^{T} \right )^{-1}=\left ( \mathbf{M}^{-1} \right )^{T} (MT)?1=(M?1)T
性質5：矩陣串接相乘后的逆矩陣等于反向串接各個矩陣的逆矩陣（這個性質可以擴展到更多矩陣相乘）
( A B ) ? 1 = B ? 1 A ? 1 \left ( \mathbf{AB} \right )^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1} (AB)?1=B?1A?1
對于所有元素都為0的矩陣，沒有對應的逆矩陣，
?矩陣的逆的幾何解釋：如果向量v用矩陣M來進行變換，接著用M的逆進行變換，將會得到原向量，

正交矩陣

如果一個方陣M和它的轉置矩陣的乘積是單位矩陣的話，我們就說這個矩陣是正交的： M M T = M T M = I \mathbf{M}\mathbf{M}^{T}=\mathbf{M}^{T}\mathbf{M}=\mathbf{I} MMT=MTM=I
推理：如果一個矩陣是正交的，那么它的轉置矩陣和逆矩陣是一樣的，
幾何意義：若一個矩陣是正交矩陣，它必須滿足下列條件：
1. 矩陣的每一行都是單位向量
2. 矩陣的所有行互相垂直
線性代數中一組向量互相垂直，這組向量被認為是正交基；如果他們同時滿足都是單位向量，則稱他們是標準正交基

矩陣的行列式

定義
- 在任意方陣中都存在一個標量，稱作該方陣的行列式；非方陣的行列式是未定義的，
  在書寫行列式時，兩邊用豎線將數字塊圍起來，省略方括號，
- 2D：幫助記憶法：將主對角線和反對角線上的元素各自相乘，然后用主對角線元素的積減去反對角線元素的積，
  ∣ M ∣ = ∣ m 11 m 12 m 21 m 22 ∣ = m 11 m 22 ? m 12 m 21 \left | M \right |=\begin{vmatrix} m_{11} &m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{vmatrix}=m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21} ∣M∣=∣∣∣∣?m11?m21??m12?m22??∣∣∣∣?=m11?m22??m12?m21?
- 3D：幫助記憶法：把矩陣M連寫兩遍，將主對角線上的元素和反對角線上的元素各自相乘，然后用主對角線上元素積的和減去反對角線上元素積的和，
  ∣ M ∣ = ∣ m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 ∣ = m 11 m 22 m 33 + m 12 m 23 m 31 + m 13 m 21 m 32 ? m 13 m 22 m 31 ? m 12 m 21 m 33 ? m 11 m 23 m 32 = m 11 ( m 22 m 33 ? m 23 m 32 ) + m 12 ( m 23 m 31 ? m 21 m 33 ) + m 13 ( m 21 m 32 ? m 22 m 31 ) \left | M \right |=\begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} &m_{13} \\ m_{21} & m_{22} &m_{23} \\ m_{31} & m_{32} &m_{33} \end{vmatrix}=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32}-m_{13}m_{22}m_{31}-m_{12}m_{21}m_{33}-m_{11}m_{23}m_{32}=m_{11}(m_{22}m_{33}-m_{23}m_{32})+m_{12}(m_{23}m_{31}-m_{21}m_{33})+m_{13}(m_{21}m_{32}-m_{22}m_{31}) ∣M∣=∣∣∣∣∣∣?m11?m21?m31??m12?m22?m32??m13?m23?m33??∣∣∣∣∣∣?=m11?m22?m33?+m12?m23?m31?+m13?m21?m32??m13?m22?m31??m12?m21?m33??m11?m23?m32?=m11?(m22?m33??m23?m32?)+m12?(m23?m31??m21?m33?)+m13?(m21?m32??m22?m31?)
行列式的一些性質：
- 任意行或列的非零積加到另一行或列上不會改變行列式的值
- 交換矩陣的任意兩行或兩列，行列式變負
- 如果矩陣的任意行或列全為零，那么它的行列式等于零
- 矩陣積的行列式等于矩陣行列式的積；這個性質可以擴展到多個矩陣情況.
  ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \left | AB \right |=\left| A \right|\left| B \right| ∣AB∣=∣A∣∣B∣
- 矩陣轉置的行列式等于原矩陣的行列式，
  ∣ M T ∣ = ∣ M ∣ \left | M^{T} \right |=\left | M \right | ∣∣?MT∣∣?=∣M∣
矩陣的行列式的幾何意義：
- 2D中，行列式等于以基向量為兩邊的平行四邊形的有符號面積；（有符號面積是指如果平行四邊形相對于遠來的方位“翻轉”，那么面積變負，）
- 3D中，行列式等于以變換后的基向量為三邊的平行六面體的有符號體積，3D中，如果變換使得平行六面體“由里向外”翻轉，則行列式變負，
- 行列式和矩陣變換導致的尺寸改變相關，其中行列式的絕對值和面積(2D)，體積(3D)的改變相關，行列式的符號說明了變換矩陣是否包含鏡像或投影，
- 矩陣的行列式還可以對矩陣所代表的變換分類：如果矩陣行列式為零，那么該矩陣包含投影；如果矩陣行列式為負，那么該矩陣包含鏡像，

變換

齊次坐標

齊次坐標就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示，是指一個用于投影幾何里的坐標系統，如同用于歐氏幾何里的笛卡兒坐標一般，

線性變換

定義：從代數上，是指可以保留矢量加和標量乘的變換，需要滿足下面的2個條件，
A ( α + β ) = A （ α ） + A （ β ） A ( k α ) = k A ( α ) A(α+β)=A（α）+A（β）\\[1ex] A (kα)=kA(α) A(α+β)=A（α）+A（β）A(kα)=kA(α)
從幾何的角度上去理解，需要滿足：
1. 變換前是直線的，變換后依然是直線，
2. 直線比例保持不變，
3. 變換前是原點的，變換后依然是原點，
旋轉和縮放都屬于線性變換
1. 旋轉
  2D旋轉
  R ( θ ) = [ p ′ q ′ ] = [ c o s θ s i n θ ? s i n θ c o s θ ] R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} R(θ)=[p′q′?]=[cosθ?sinθ?sinθcosθ?]
  3D旋轉
  繞X軸
  R ( θ ) = [ p ′ q ′ r ′ ] = [ 1 0 0 0 c o s θ s i n θ 0 ? s i n θ c o s θ ] R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'}\\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&cos\theta&sin\theta \\ 0&-sin\theta&cos\theta \end{bmatrix} R(θ)=???p′q′r′????=???100?0cosθ?sinθ?0sinθcosθ????
  繞Y軸
  R ( θ ) = [ p ′ q ′ r ′ ] = [ c o s θ 0 ? s i n θ 0 1 0 s i n θ 0 c o s θ ] R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'}\\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta&0&-sin\theta \\ 0&1&0 \\ sin\theta&0&cos\theta \end{bmatrix} R(θ)=???p′q′r′????=???cosθ0sinθ?010??sinθ0cosθ????
  繞Z軸
  R ( θ ) = [ p ′ q ′ r ′ ] = [ c o s θ s i n θ 0 ? s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'}\\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta&0 \\ -sin\theta&cos\theta&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} R(θ)=???p′q′r′????=???cosθ?sinθ0?sinθcosθ0?001????
  2.縮放（沿著每個坐標軸應用單獨的縮放因子k）
  2D縮放
  S ( k x , k y ) = [ p ′ q ′ ] = [ k x 0 0 k y ] S(k_{x},k_{y})=\begin{bmatrix} p^{'} \\ q^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k_{x} & 0\\ 0 & k_{y} \end{bmatrix} S(kx?,ky?)=[p′q′?]=[kx?0?0ky??]
  3D縮放
  S ( k x , k y , k y ) = [ p ′ q ′ r ′ ] = [ k x 0 0 0 k y 0 0 0 k z ] S(k_{x},k_{y},k_{y})=\begin{bmatrix} p^{'} \\ q^{'} \\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k_{x}&0&0 \\ 0&k_{y}&0 \\ 0&0&k_{z} \end{bmatrix} S(kx?,ky?,ky?)=???p′q′r′????=???kx?00?0ky?0?00kz?????

仿射變換

定義：從幾何的角度去理解，需要滿足：
1. 變換前是直線的，變換后依然是直線，
2. 直線比例保持不變，
推理：平移、旋轉、縮放都屬于仿射變換，
1. 對點平移
  [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] = [ x + t x y + t y z + t z 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_{x}\\ 0 & 1 & 0 & t_{y}\\ 0 & 0 & 1 & t_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+t_{x}\\ y+t_{y}\\ z+t_{z}\\ 1 \end{bmatrix} ?????1000?0100?0010?tx?ty?tz?1???????????xyz1??????=?????x+tx?y+ty?z+tz?1??????
2. 性質
  1、平移變換不會對方向矢量產生任何影響，
  2、平移矩陣的逆矩陣就是反向平移得到的矩陣
3. 復合變換
  由于上面我們使用的是列矩陣，因此閱讀順序是從右向左，即先縮放，在旋轉，最后平移，順序很重要，
透視投影
1. 將3D空間投影到2D平面上，該平面稱作投影平面，使用的是正交投影，正交投影也稱作平行投影；透視投影的投影線不再是平行的，它們相交于一點，該點稱作投影中心，因為投影中心在投影平面前面，投影線到達平面之前已經相交，所以投影平面上的影像是翻轉的，，，當物體原理投影中心時，正交投影仍保持不變，但透視投影變小了，這種視覺現象稱作透視縮略，
2. 小孔成像：
  公式：(向z=d平面投影)
  p ′ = [ x ′ y ′ z ′ ] = [ d x / z d y / z d ] {p}'=\begin{bmatrix} {x}'\\ {y}'\\ {z}' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dx/z\\ dy/z\\ d \end{bmatrix} p′=???x′y′z′????=???dx/zdy/zd????
  使用矩陣進行透視投影
  [ x y z 1 ] [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 / d 0 0 0 0 ] = [ x y z z / d ] \begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1/d\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y & z & z/d \end{bmatrix} [x?y?z?1?]?????1000?0100?0010?001/d0??????=[x?y?z?z/d?]
unity相關API
1. 使用Matrix4x4.Translate創建一個平移矩陣，
2. 使用Matrix4x4.Rotate創建一個旋轉矩陣，
3. 使用Matrix4x4.Scale創建一個縮放矩陣，
4. 使用Matrix4x4.TRS創建一個移動、旋轉、縮放的復合矩陣，
5. 使用Matrix4x4.MultiplyPoint或者Matrix4x4.MultiplyPoint3x4來變換一個點，
6. 使用Matrix4x4.MultiplyVector來變換一個向量，

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unity3D數學基礎-坐標系、向量、矩陣

坐標系

左右手坐標系

各種坐標空間(坐標系)

部分空間種類

相互空間轉換

向量

認識向量

向量運算

特殊向量

向量的長度

向量與標量的乘/除法

向量的加/減法

向量的點積

向量的叉積

矩陣

認識矩陣

矩陣和標量的乘法

矩陣和矩陣的加/減法

矩陣和矩陣的乘法

特殊矩陣

方陣

對角矩陣

單位矩陣

轉置矩陣

逆矩陣

正交矩陣

矩陣的行列式

變換

齊次坐標

線性變換

仿射變換