00 問題
00-1 描述
對給定高度為n的一個整數三角形，找出從頂部到底部的最小路徑和，每個整數只能向下移動到與之相鄰的整數，
找到一個一樣的力扣題：120. 三角形最小路徑和 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
示例1：
輸入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
輸出：11
解釋：如下面簡圖所示：
2
3 4
6 5 7
4 1 8 3
自頂向下的最小路徑和為 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11），
示例2：
輸入：triangle = [[-10]]
輸出：-10
00-2 提示：
1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 104
01 思路
想用動態規劃寫出來，重點在于狀態轉移方程，
將等腰三角形抽象為等腰直角三角形，如下
0 1 2 3
0 2
1 3 4
2 6 5 7
3 8 3 9 2
加上下標化的序列，我們就可以用二維陣列dp來考慮，dp是用來存盤到i，j位置后用到的最短路徑長度，比如dp[2] [2]=2+4+7=13
定義一個起點:
dp[0][0] = a[0][0];
三種情況：
-
三角形左路，在直角圖里就是第一列，滿足：
dp[i][0]=dp[i-1][0]; -
三角形右路，在直角圖里是對角線，滿足：
dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i][i] -
普通位置
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j];
這樣程式就很好寫了，就是往dp陣列里填數就行，最后篩出最后一行的最小值就行，
02 代碼
class Solution {
public:
int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
int len = triangle.size();
int dp[200][200]={0};
dp[0][0]=triangle[0][0];
for(int i=1;i<len;i++){
dp[i][0] = dp[i-1][0]+triangle[i][0];
}
for(int i=1;i<len;i++){
dp[i][i] = triangle[i][i]+dp[i-1][i-1];
}
for(int i=2;i<len;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
dp[i][j] = triangle[i][j]+min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]);
}
}
//填充dp
//下面篩選路徑最短
int ans = dp[len-1][0];
for(int j = 1;j < len;j++){
if(dp[len-1][j]<ans){
ans = dp[len-1][j];
}
}
return ans;
}
};
03 升級版--記錄路徑
03-1 思路
如果要記下路徑，需要再來一個二維陣列pre來記錄坐標為i,j的點的前一個節點，那么如何記錄呢？我們看一下：
-
(i,i)的前一個節點就是(i-1,i-1)；
-
(i,j)的前一個節點是(i-1,j)或者(i-1,j-1)；
-
(i,0)的前一個節點是(i-1,0)，
容易從這些情況總結出，上一節點一定為i-1,只需記錄j的值即可，故我們在pre二維陣列里記錄的就是當前節點的前一節點的j值，
記錄之后，我們還需要輸出這個最小路徑，怎么輸出呢？
我們在前一問題的基礎上得到最后行的最小值的列值后，將它回傳主控函式，并用它作為引數給路徑輸出函式Disppath，
輸出方法為：
-
對于當前節點，入堆疊，查它的pre陣列值，更新，繼續該操作，直到完成，
更新操作為：
path.push_back(a[i][k]);
k=pre[i][k]; -
逐個出堆疊，
03-2 代碼
//三角形最小路徑
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<string.h>
using namespace std;
#define MAXN 100
int a[MAXN][MAXN];//三角形
int n;//高度
int ans = 0;//應求的路徑長度
int dp[MAXN][MAXN];
int pre[MAXN][MAXN];//前驅結點
//根據狀態轉移方程，只記錄列號即可
int Search(){
int i,j;
dp[0][0] = a[0][0];
for(i=1;i<n;i++){
dp[i][0]=dp[i-1][0]+a[i][0];
pre[i][0]=i-1;
}
for(i=1;i<n;i++){
dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i][i];
pre[i][i]=i-1;
}
for(i=2;i<n;i++){
for(j=1;j<i;j++){
if(dp[i-1][j-1]<dp[i-1][j]){
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+a[i][j];
pre[i][j]=j-1;
}
else{
dp[i][j]=dp[i-1][j]+a[i][j];
pre[i][j]=j;
}
}
}
ans = dp[n-1][0];
int k=0;
for ( j = 1; j < n; j++)
{
if(ans>dp[n-1][j]){
ans = dp[n-