機器人導論（第四版）學習筆記——第四章

4.1 引言

本章研究已知工具坐標系相對于固定坐標系的期望位置和姿態，如何計算一系列滿足期望要求的關節角？即操作臂你運動學問題，

4.2 解的存在性

求解操作臂運動學方程是一個非線性問題，即已知 N 0 T ^0_NT N0?T，求 θ 1 , θ 2 . . . θ n \theta_1, \theta_2...\theta_n θ1?,θ2?...θn?，
例：對于PUMA 560機器人而言，就是已知 N 0 T ^0_NT N0?T，求 θ 1 , θ 2 , . . . θ 6 \theta_1, \theta_2, ...\theta_6 θ1?,θ2?,...θ6?
對于有6個自由度的操作臂，有12個方程（變換矩陣的前3行，前4列組成的行列式每個單元的數值計算即為一個方程），其中6個是未知的，
6 0 T ^0_6T 60?T的旋轉矩陣分量生成9個方程，但只有3個獨立；
6 0 T ^0_6T 60?T的位置分量生成3個方程，
上述共合計6個方程，但此6個非線性超越方程，很難求解，必須考慮解的存在性、多解問題以及求解方法，
解的存在性
作業空間：操作臂末端執行器所能達到的范圍
靈巧作業空間：操作臂的末端執行器能夠從各個方向達到的空間區域
可達作業空間：操作臂至少從一個方向可以到達的空間
靈巧作業空間是可達作業空間的子集，
作業空間計算時要注意腕部坐標系{W}與工具坐標系{T}的區別，一般用戶關心的是工具坐標系{T}，而我們研究的是與工具無關的腕部坐標系{W}，
多解問題
解的選擇標準是變化的，比較合理的選擇是取最近解，即每個關節的運動量最小，當然，有時每個關節的權重需要有所不同，即加權，
PUMA560到達一個確定目標有8個不同解，
解法
非線性方程組沒有通用解法
如果關節變數能夠通過一種演算法確定，這種演算法可以求出與已知位置和姿態相對應全部關節變數，那么操作臂就是可解的，
多解時，我們要求能夠求出所有解，因此不考慮數值迭代的程式（只能求出部分解），
求解方法分為兩大類：封閉解和數值解，求解速度而言，封閉解快于數值解，
數值解法本身是一門學科，本書不做討論，
封閉解又可分為兩大類：代數法和幾何法，
所有包含轉動關節和移動關節的串聯型6自由度機構均可解，但這種解一般是數值解，對6自由度操作臂而言，只有特殊情況下才有決議解，
存在決議解的特性：存在n個正交關節軸或者有多個 α i \alpha_i αi?為0或者 ± 9 0 ° \pm90^\circ ±90°
有6個旋轉關節的操作臂存在封閉解的充分條件是相鄰的三個關節軸相交于同一點，如PUMA 560機器人4、5、6軸交于同一點，

4.3 當n<6時操作臂子空間的描述

n自由度操作臂的可達作業空間可以看作n自由度子空間的子集，
確定n自由度操作臂子空間的方法是給出腕部坐標系或工具坐標系的運算式，它是含n個變數的函式，如果將這n個變數看作自由變數，那所有可能取值就構成了這個子空間，
有n自由度的目標點進行定義，通常采取n個引數來確定這個目標點，如果給定6個自由度的目標點，n<6的操作臂是無法到達這個目標點的，這種情況下，可尋找一個操作臂子空間內的可達目標點來代替原目標點，并和原目標點盡可能接近，
對少于6自由度的操作臂來說，確定一般目標點時，求解方法：

1. 已知一般目標坐標系 G S T ^S_GT GS?T，計算一個修正坐標系 G ′ S T ^S_{G'}T G′S?T，使 G ′ S T ^S_{G'}T G′S?T在操作臂子空間內，并和 G S T ^S_GT GS?T盡可能靠近（預先確定靠近標準），
2. 將 G ′ S T ^S_{G'}T G′S?T作為期望目標，計算逆運動學來求關節角，

4.4 代數解法和幾何解法

**代數解法：**利用數學性質
**幾何解法：**利用幾何關系

4.5 簡化成多項式的代數解法

令 u = tan ? θ 2 u=\tan\frac\theta 2 u=tan2θ?，則 cos ? θ = 1 ? u 2 1 + u 2 \cos\theta=\frac{1-u^2}{1+u^2} cosθ=1+u21?u2?， sin ? θ = 2 u 1 + u 2 \sin\theta=\frac{2u}{1+u^2} sinθ=1+u22u?，如此則把超越方程轉化成了關于u的多項式，

4.6 三軸相交的Pieper解法

略

4.7 操作臂逆運動學實體

PUMA 560機器人，Motoman L-3機器人

4.8 標準坐標系

與前文的定義完全相同，操作臂運動的目標是從起始位置以光滑的方式運動，直到{T}={G}，

4.9 操作臂求解

SOLVE函式可進行笛卡爾變換，也稱為逆運動學函式，
已知 S T T ^T_ST ST?T，先計算 W S T = S B T T S T T W T ? 1 ^S_WT=^B_ST^S_TT^W_TT^{-1} WS?T=SB?TTS?TTW?T?1，然后將 S S T ^S_ST SS?T作為輸入，求出 θ 1 , θ 2 . . . θ n \theta_1, \theta_2...\theta_n θ1?,θ2?...θn?，

4.10 重復精度和精度

示教點：操作臂運動實際要到達的點
重復精度：操作臂回傳示教點的精度
計算點：目標位置和姿態是笛卡爾坐標來確定的，必須計算逆運動學問題來求關節角
精度：操作臂到達計算點的精度
精度小于等于重復精度
對操作臂運動學引數作辨識，標定技術可以提高精度，

4.11 計算問題