AT的特征值
矩陣A的特征值和AT的特征值是一樣的，
求解特征值的方法是det(A-λI) = 0，根據行列式的性質，矩陣的行列式等于矩陣轉置的行列式，因此：
因此λ也是AT的特征值，
馬爾可夫矩陣
矩陣A有2個特點：A中的所有元素都是非負的；A中的每一列之和都等于1，形如A的矩陣稱為馬爾可夫矩陣，馬爾可夫矩陣主要應用在概率領域，將一個馬爾可夫矩陣進行方冪運算仍然得到馬爾可夫矩陣，
當處理一個微分方程時，特征值0意味著得到了一個穩態，當進行矩陣的方冪運算時，穩態的條件包括：
- λ1=1是特征值之一，
- 其他特征值的絕對值比1小，|λi|<1
給定一個向量u0和一個能夠對角化的矩陣A，如果uk+1=Auk，那么：
當λ1=1，其他特征值的絕對值比1小時，則uk在k增大的程序中趨近于C1x1，即給出了一個穩態，x1是A的特征向量，它的每個分量都是大于或等于0的值，
為什么一定有λ=1的特征值
馬爾可夫矩陣的每一列之和為1，這個性質保證了矩陣有一個λ=1的特征值，
回顧前面的章節，我們通過下式來計算A的特征值：
如果λ=1時是一個特征值，那么A-λI一定是一個奇異矩陣：
A減去單位向量相當于把A的每一列之和減去1，此時所有行向量相加得到0向量，這意味著一個行向量可以用另外兩個行向量表示，因此行向量是線性相關的，A-I是奇異矩陣，一定會有det(A-I)=0，
人口的流動
對于方程uk+1=Auk，A是馬爾可夫矩陣，我們用人口的流動解釋馬爾可夫矩陣，
u的分量分別表示兩個城市人口，A中的每一列代表人口的去留比例，第一列的0.9表示留在uA的人口占uA總人口的90%，剩余10%流入uB；第二列的0.2表示從uB流入uA的人口占uB的20%，剩余80%留在uB，每一列的加和為1保證了總人口不變，如果有一個初始值：
表示在t=0時刻，uA的總人口是0，是個待開辟的新城市，uB有1000人，經過一次遷徙，在t=1時刻：
這次遷徙主要是從uB遷入uA，有200人進入uA，剩余800人留在uB，
我們希望獲得長時間遷徙后的人口分布，這需要知道A的特征值和特征向量，A是馬爾可夫矩陣，因此一個特征值是λ1=1，通過矩陣的跡可知另一個特征值是λ2=0.9+0.8-1=0.7，由此可以求得兩個特征向量：
由于兩個特征值符合方冪運算時達到穩態的條件，所以uk在k增大的程序中趨近于C1x1，即最后經過多年的遷徙，兩個城市的人口趨近于定值：
綜合示例
一個顆粒可以在A和B之中來回跳動，跳動的概率如下圖所示：
如果顆粒在A，下一次跳到B的概率是0.4，仍然留在A的概率是0.6；如果在B，下一次跳到A的概率是0.2，仍然留在B的概率是0.8，
如果顆粒最初在A，那么它一步之后，n步之后，無窮步后留在A或移動到B的概率是多少？
首先構建模型，將上圖構造成馬爾可夫矩陣：
第一串列示顆粒停留在A的概率是60%，從A跳到B的概率是40%；第二串列示從B跳到A的概率是20%，停留在B的概率是80%，
顆粒最初在A位置，因此初始條件是：
第一次移動后，停留在A的概率是60%，移動到B的概率是40%：
第n次移動后：
un的兩個分量分別表示第n次移動后停留在A的概率和移動到B的概率，
無窮步后，留在A的概率是33.33%，
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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