FFT
首先要說明一個誤區，很多人認為FFT只是用來處理多項式乘的，其實FFT是用來實作多項式的系數表示法和點值表示法的快速轉換的，所以FFT的用處遠不止多項式乘，
FFT的前置知識：點值表示法，復數運算，三角函式，
多項式的系數表示法和點值表示法
系數表示法
\[A(x)=\sum_{i=0}^n a_i*x^i \]點值表示法
不妨將A視為關于x的函式，點值表示法就是在A的影像上取n個點，則該多項式可以被這n個點唯一確定，
\[a_i=A(x_i)\\ A(x)=\{(x_1,a_1),(x_2,a_2),\dots,(x_n,a_n)\} \]點值表示法有什么好處呢？
我們知道系數表示法下兩多項式相乘是\(O(n^2)\)，但在點值表示法下奇跡出現了：
\[A(x)=\{(x_1,a_1),(x_2,a_2),\dots,(x_n,a_n)\} \\ B(x)=\{(x_1,b_1),(x_2,b_2),\dots,(x_n,b_n)\} \\ A(x)*B(x)=\{(x_1,a_1*b_1),(x_2,a_2*b_2),\dots,(x_n,a_n*b_n)\} \]顯然這個是可以O(n)實作的，雖然但是，我們幾乎不會在計算中用到點值表示法，但這也給了我們一個解決多項式乘的思路，系數轉點值，相乘，點值轉系數，
又很顯然，我們可以隨便取n個數往函式里帶，可惜這樣又使復雜度回到了\(O(n^2)\)，
于是FFT出現了，FFT使我們可以用\(O(n\log n)\)的復雜度將系數轉換成一組特殊的點值，并再把點值轉回系數，
復數的計算
簡單的理解，復數就是實數加虛數，多少都知道點虛數吧，沒錯，知道點就夠了，
\[i=\sqrt{-1}\\ z_1=a+bi\\ z_2=c+di\\ z_1+z_2=a+c+(b+d)i\\ z_1-z_2=a-c+(b-d)i\\ z_1*z_2=ac-bd+(da+bc)i \]單位根
百度一下
記住以下性質（感興趣可以自己推推，就是基礎的三角函式）
\[\omega_n^k=cosk\frac{2\pi}{n}+sink\frac{2\pi}{n} \\ \omega_n^0=\omega_n^n=1\\ \omega_{2n}^{2k}=\omega_n^k \]好了，現在你已經掌握了所有FFT的前置知識了，自己來推推FFT吧，
正式開始FFT
將\(\omega_n^0,\dots,\omega_n^{n-1}\)這n個數帶入得到點值表示，于是：
\[A(x)=a_0+a_1*x+a_2*{x^2}+a_3*{x^3}+a_4*{x^4}+a_5*{x^5}+ \dots+a_{n-2}*x^{n-2}+a_{n-1}*x^{n-1}\\ A(x)=(a_0+a_2*{x^2}+a_4*{x^4}+\dots+a_{n-2}*x^{n-2})+(a_1*x+a_3*{x^3}+a_5*{x^5}+ \dots+a_{n-1}*x^{n-1})\\ A_1(x)=a_0+a_2*{x}+a_4*{x^2}+\dots+a_{n-2}*x^{\frac{n}{2}-1}\\ A_2(x)=a_1+a_3*{x}+a_5*{x^2}+ \dots+a_{n-1}*x^{\frac{n}{2}-1}\\ A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2)\\ \]我們將\(ωkn(k<n2)ωnk(k<n2)\)代入得
\[A(\omega_n^k)=A_1(\omega_n^{2k})+\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\\ A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_1(\omega_n^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}(\omega_n^{2k+n})=A_1(\omega_n^{2k}*\omega_n^n)-\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k}*\omega_n^n)=A_1(\omega_n^{2k})-\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k}) \]摘自attak的blog
觀察這兩個式子
\[A(\omega_n^k)=A_1(\omega_n^{2k})+\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\\\ A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_1(\omega_n^{2k})-\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\\ \]顯然（怎么又是顯然）只要求出\(A_1(\omega_n^{2k})\)和\(\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\)就可以得出\(A(\omega_n^k)\)和\(A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})\)，而\(A_1(\omega_n^{2k})\)和\(\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\)又可以進一步遞回，正是這一點性質使FFT的復雜度達到了優秀的\(O(n\log n)\)
IFFT
前面提到了，系數轉點值，相乘，點值轉系數，所以我們還需要能在\(O(n\log n)\)復雜度下完成點值轉系數，這就是IFFT，快速傅利葉逆變換，
可以將傅里葉變換和傅立葉逆變換的公式表示寫出來（我也不會推逆變換），
A(x) 表示多項式的系數表示法 B(x)表示多項式的點值表示法
\[FFT\ B(x)=\sum_{i=0}^{N-1} A(k)\omega_N^{ik}\\ IFFT\ A(x)=\frac 1 N \sum _{i=0} ^{N-1} B(k)\omega_n^{-ik}\\ \]IFFT就是在把FFT的\(\omega_n^{ik}改成\omega_n^{-ik}\),然后再乘個\(\frac 1 N\)
考慮\(\omega_n^k\)的幾何意義（高一三角函式）可以得到
\[\omega_n^{ik}=a+bi\\ \omega_n^{-ik}=a-bi \]所以IFFT只需要在FFT上做一點改動，
千萬別忘了最后乘個\(\frac 1 N\)
實作
個人認為這是所有演算法最難也最重要的部分，然而很多blog都是將這部分一筆帶過，所以我決定來詳細的講講，
遞回寫法
竟然是遞回，那必然有遞回極限，每次遞回多項式的項數剩下一半，只剩一項時\(A(x)=a_1\)與\(x\)無關，所以直接回傳就好了，
在求出了\(A_1(\omega_n^{2k})\)和\(\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\)后做兩次多項式加減可以得出\(A(\omega_n^k)\)和\(A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})\)
由于多次的遞回和陣列新建和賦值使遞回寫法的常數大的出奇，所以我們需要更好的寫法，
重難點來了！
遞推做法
首先觀察這張圖，
我們的遞回做法就是從上向下將原數列對半拆，再合并，
我們的合并順序就是從下到上合并，詳細的說先合并\(a_0和a_4,a_2和a_6,a1和a_5,a_3和a_7,然后a_0,a_4合并好的整體與a_2和a_6合并好的整體再合并\dots\)
觀察最上和最下層的數列的二進制表示，發現就是將二進制翻轉了，我們有這個神仙操作可以快速的翻轉二進制，
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1)); ///rev[i]保存i二進制翻轉后的數
于是我們可以\(O(n)\)得到最下層的數列，再依次往上推，即不用遞回也不用開大量陣列，讓代碼變得飛快！
void fft(cp *a,int n,int inv)
{
int bit=0;
while((1<<bit)<n)bit++;
for(int i=0;i<=n-1;i++)
{
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1)); ///翻轉二進制 3(2)=011 to 6(2)=011
if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
}
for(int mid=1;mid<n;mid*=2) ///mid表示當前合并的行中每一塊的長度的一半
{
cp ur(cos(pi/mid),inv*sin(pi/mid)); ///ur代表單位根
for(int i=0;i<n;i+=mid*2) ///i表示當前列舉到這一橫行的哪一塊的開頭下標
{
cp tmp(1,0);
for(int j=0;j<mid;j++,tmp*=ur) ///與遞回的寫法一樣，合并這一塊和后面一塊，
{
cp x=a[i+j],y=tmp*a[i+j+mid];
a[i+j]=x+y,a[i+j+mid]=x-y;
}
}
}
}
luogu FFT板子
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef complex<double> cp;
const int N=(1<<21)+10;
const double pi=acos(-1);
cp a[N],b[N];
int n,m,bit,lim,rev[N];
void fft(cp *a,int type)
{
for(int i=0;i<lim;i++)
if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<lim;mid*=2)
{
cp ur(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
for(int i=0;i<lim;i+=mid*2)
{
cp tmp(1,0);
for(int j=0;j<mid;j++,tmp*=ur)
{
cp x=a[i+j],y=tmp*a[i+j+mid];
a[i+j]=x+y,a[i+j+mid]=x-y;
}
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<=n;i++)
cin>>a[i];
for(int i=0;i<=m;i++)
cin>>b[i];
for(lim=1;lim<=n+m;lim<<=1)
bit++;
for(int i=0;i<lim;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
fft(a,1),fft(b,1);
for(int i=0;i<=lim;i++)
a[i]*=b[i];
fft(a,-1);
for(int i=0;i<=n+m;i++)
cout<<(int)(0.5+a[i].real()/lim)<<' ';
return 0;
}
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