AVL樹的概念

二叉搜索樹雖可以縮短查找的效率，但如果資料有序或接近有序二叉搜索樹將退化為單支樹，查找元素相當于在順序表中搜索元素，效率低下，因此，兩位俄羅斯的數學家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年發明了一種解決上述問題的方法：當向二叉搜索樹中插入新結點后，如果能保證每個結點的左右子樹高度之差的絕對值不超過1(需要對樹中的結點進行調整)，即可降低樹的高度，從而減少平均搜索長度，

一棵AVL樹或者是空樹，或者是具有以下性質的二叉搜索樹：

1. 它的左右子樹都是AVL樹
2. 左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對值不超過1(-1/0/1)
3. 平衡因子的計算是右子樹的高度減去左子樹的高度的差值結果
   

如果一棵二叉搜索樹是高度平衡的，它就是AVL樹，如果它有n個結點，其高度可保持在O(log N) ，搜索時間復雜度O( log N)，

AVL樹節點的定義

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode 
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left; //左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right; //右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父親結點
	 
	pair<K, V> _Kv; //鍵值
	int _bf; //平衡因子

	//建構式
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& Kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_Kv(Kv)
		,_bf(0)
	{ }

};

AVL樹的定義

template<class K, class V>
class AVLTree 
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	AVLTree() 
		:_root(nullptr)
	{}

private:
	Node* _root;
};

AVL樹的插入

AVL樹就是在二叉搜索樹的基礎上引入了平衡因子，因此AVL樹也可以看成是二叉搜索樹，那么AVL樹的插入

程序可以分為兩步：

按照二叉搜索樹的方式插入新節點

與根結點比較如果比根大就往右子樹插入，如果比根小就往左子樹插入，直到走到合適的位置就插入，由于這里是三叉鏈所以需要處理結點之間的關聯關系

bool Insert(const pair<K, V> &kv) 
	{
		if (!_root) _root = new Node(kv); //初始根節點

		Node* cur = _root;
		Node* parent = _root;
		while (cur) 
		{
			K key = cur->_Kv.first;
			if (key > kv.first) //比根結點的key值小，
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if(key < kv.first)//比根結點的key值大，
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else 
			{
				return false;  //插入失敗
			}
		}
		
		//開始插入
		cur = new Node(kv);
		Node* newNode = cur;
		if (parent->_Kv.first > newNode->_Kv.first) //新插入的結點key值比根節點小就插入到左子樹
		{
			parent->_left = newNode;
			newNode->_parent = parent;
		}
		else		//新插入的結點key值比根節點大就插入到右子樹
		{
			parent->_right = newNode;
			newNode->_parent = parent;
		}
	}

調整節點的平衡因子

當左右子樹的高度發生了變化，那么就需要對父親及祖先路徑上的所有結點的平衡因子進行調整

//更新祖先路徑的所以結點的平衡因子
		/* 
			總結五種情況：
				1、新增結點出現在父結點的左邊，平衡因子減減
				2、新增結點出現在父結點的右邊，平衡因子加加
				3、父親的平衡因子為0就不再調整
				4、父親結點的平衡因子為1或者-1繼續調整
				5、父親結點的平衡因子為2或者-2那就旋轉
				
		*/
	while (parent) 
	{
		if (parent->_left == cur) parent->_bf--;   //1、
		if (parent->_right == cur) parent++;	   //2、
		if (parent->_bf == 0) break; 			  //3、
		if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//4、 
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //5、
		{
			//旋轉
			if (parent->_bf == -2) 
			{
				if (cur->_bf == -1) RotateR(parent); //左邊高，右單旋
				else RotateLR(parent); //左右雙旋
			}
			else //右 parent->_bf == 2
			{
				if (cur->_bf == 1) RotateL(parent);//右邊高左單旋轉
				else RotateRL(parent); //右左雙旋
			}

			break;
		}
	}

AVL樹的四種旋轉

旋轉的原則是遵循搜索樹的規則，盡量讓兩邊平衡

如果在一棵原本是平衡的AVL樹中插入一個新節點，可能造成不平衡，此時必須調整樹的結構，使之平衡化，根據節點插入位置的不同，AVL樹的旋轉分為四種：

右單旋

新節點插入較高左子樹的左側—左左：右單旋

不管是哪種單旋都得考慮兩種情況：
1、區域旋轉，如果parent并不是樹的_root結點，那么就需要調整subL和根結點的關系
2、獨立旋轉，parent就是樹的_root結點，那么subL就是旋轉后的根節點了

3、subLR有可能為null

//右單旋
void RotateR(Node* parent) 
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	parent->_left = subLR; 
	if (subLR) subLR->_parent = parent;  //防止subLR為nullptr

	subL->_right = parent;
	Node* parent_parent = parent->_p	arent; //指標備份
	parent->_parent = subL;
	if (_root == parent) //如果parent就是樹的根 
	{
		_root = subL;  //subL取代parent
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else  //如果parent并不是樹的根
	{
		if (parent_parent->_left == parent) parent->_left = subL;
		else parent_parent->_right = subL;

		subL->_parent = parent_parent; //subL去做parent_parent的孩子
	}
	//調節平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

左單旋

新節點插入較高右子樹的右側—右右：左單旋

跟右單旋幾乎是一樣的做法
1、區域旋轉，如果parent并不是樹的_root結點，那么就需要調整subL和根結點的關系
2、獨立旋轉，parent就是樹的_root結點，那么subL就是旋轉后的根節點了
3、subRL有可能為null

//左單旋
void RotateL(Node* parent) 
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	
	parent->_right = subRL;
	if (subRL) subRL->_parent = parent;
	
	subR->_left = parent;
	Node* parent_parent = parent->_parent;
	parent->_parent = subR;
	
	if (_root == parent) 
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else  
	{
		if (parent_parent->_left == parent) parent_parent->_left = subR;
		else parent_parent->_right = subR;

		subR->_parent = parent_parent;
	}
	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

左右雙旋

新節點插入較高左子樹的右側—左右：先左單旋再右單旋

1、新增結點在b或c都會影響左右子樹的高度，從而引發雙旋
h > 0情況一：

h > 0，情況二：

h == 0情況三：

//左右旋轉
	void RotateLR(Node* parent) 
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)  //h > 0，新增結點在b
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1) //h > 0，新增結點在c
		{
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if(bf == 0) //h = 0
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		
	}

右左雙旋

右左雙旋跟左右雙旋的情況基本是類似的，這里就不列舉多種情況了

新節點插入較高右子樹的左側—右左：先右單旋再左單旋

	//右左旋轉
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		if (bf == -1)  //h > 0，新增結點在b
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1) //h > 0，新增結點在c
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)//h = 0
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}

	}

查找

Node* Find(const K& key) 
{
	Node* cur = _root;
	while (cur) 
	{
		if (key > cur->_Kv.first) cur = cur->_right; //左子樹
		else if (key < cur->_Kv.first) cur = cur->_left; //右子樹
		else return cur;
	}
}

其他介面

判斷是不是平衡二叉樹

int height(Node* root) //求高度
{
	return !root ? 0 
		   : max(height(root->_left), 
			 height(root->_right)) + 1;
}

void _Inorder(Node* root)//中序遍歷 
{
	if (!root) return;
	_Inorder(root->_left);
	printf("%d : %d\n",root->_Kv.first, root->_Kv.second);
	_Inorder(root->_right);
}

//判斷是不是平衡二叉樹
bool IsAVLTree() 
{
	return _IsAVLTree(_root);
}

bool _IsAVLTree(Node* root)
{
	if (!root) return true;
	int left = height(root->_left);
	int right = height(root->_right);
	//檢查平衡因子	
	if (right - left != root->_bf)
	{
		printf("錯誤的平衡因子 %d :%d\n", root->_Kv.first, root->_Kv.second);
		return false;
	}
	return (abs(right - left) < 2)
		&& _IsAVLTree(root->_left)
		&& _IsAVLTree(root->_right);
}

解構式

//解構式
~AVLTree()
{
	Destroy(_root);
	_root = nullptr;
}

void Destroy(Node *root)//后序銷毀結點
{
	if (!root) return;
	Destroy(root->_left);
	Destroy(root->_right);
	delete root;
}

拷貝構造

Node* copy(Node* cp)
{
	if (!cp) return nullptr;

	Node* newnode = new Node(cp->_Kv);
	newnode->_left = copy(cp->_left);
	newnode->_right = copy(cp->_right);
	return newnode;
}

//拷貝構造
AVLTree(const AVLTree<K, V>& job)
{
	if(&job != this)
	_root = copy(job._root);
}

拷貝賦值

void operator=(AVLTree<K, V> tmp)
{
	if (&tmp != this)
	swap(tmp._root, this->_root);
}

多載operator[ ]

V& operator[](const K& key)
{
	return (Insert(make_pair(key, V())).first)->_Kv.second;
}

AVL樹的完整實作代碼博主已經放在 git.