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HENAU 冬令營 數學專題

2022-01-17 21:21:16 其他

題目鏈接:傳送門
題目密碼:202201150000
資料連接:
快速冪
逆元
容斥原理
擴展歐幾里得
博弈論之取石子游戲的學習
題目內容:

這里是參考

小組題解

  • 數學問題
    • A - A^B Mod C
    • B - 逆元
    • C - 判決素數個數
    • D - 矩陣乘法
    • H - 互質數的個數(一)
    • I - Sumdiv
    • J - The Lottery
    • K - 組合數問題
    • L - 同余方程
  • 博弈題目
    • E - Bash游戲
    • F - 取石子游戲
    • G - Matches Game

數學問題

A - A^B Mod C

思路:這個題目首先能想到暴力,但是資料太大,所以不現實,因此用快速冪來解決,具體看上述鏈接
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=100100;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
//ll a,b,c;
ll pmod(ll a,ll b,ll c){
    ll ans=1;
    while(b){

        if(b&1)ans=(ans*a)%c;
        b>>=1;
        a=a*a%c;
        //cout<<a<<endl;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll a,b,c;
    cin>>a>>b>>c;
    cout<<pmod(a,b,c);
    return 0;
}

B - 逆元

思路:本身是直接進行求解逆元的,但是超時,就看了看網上的題解,鏈接如下:題解
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e9;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
//ll a,b,c;
ll n;
map<ll,ll> in;

bool isprime(ll x)
{
    for(ll i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
            return false;
    }
    return true;
}

int main(){
    cin>>n;
    if(!isprime(n)){
        cout<<"AKCniubi"<<endl;
    }
    else{
        cout<<n*(n-1)/2;
    }
    return 0;
}

C - 判決素數個數

思路:知道如何判別一個數是否時素數即可,這里用的素數篩,另外x和y的誰大誰小不確定
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
//ll a,b,c;
ll n;
ll pri[maxn+10],v[maxn+10];
ll m;
void prime(){
    v[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(v[i]==0){
            v[i]=i;
            m++;
            pri[m]=i;
            //cout<<i<<endl;
        }
        for(int j=1;j<=m&&(i*pri[j]<=maxn);j++){
            v[i*pri[j]]=pri[j];
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
        //cout<<i<<endl;
    }
}
int main(){
    prime();
    ll x,y;
    scanf("%lld%lld",&x,&y);
    if(x>y){
        ll t=x;
        x=y;
        y=t;
    }
    ll ans=0;
    for(int i=x;i<=y;i++){
        if(v[i]==i&&i!=1){
            ans++;
            //cout<<i<<" ";
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

D - 矩陣乘法

思路:了解下矩陣乘法就會了
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
ll n,m,k;
ll a[110][110],b[110][110],d[110][110];
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=k;j++){
            cin>>b[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=k;j++){
            for(int h=1;h<=m;h++){
                d[i][j]+=a[i][h]*b[h][j];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=k;j++){
            cout<<d[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}

H - 互質數的個數(一)

思路:首先時了解互質的概念,其次是利用歐拉函式求結果
推導程序:
歐拉公式:phi(x) = (p1-1)/p1*(p2-1)/p2…(pn-1)/pn * x
推導程序如下:
x=p1^k1 p2k2*……pnkn ,對于某個數m=a^b(a為質數),與m不互質的數只有a的倍數,即m/a,即a ^ (b-1),所以與m互質的個數為m-m/a=a ^ b-a^(b-1);
類似地,
phi(x)=[p1^ k1-p1^(k1-1)] * [p2^ k2-p2^ (k2-1)]……
[pn ^ kn-pn^(kn-1)]
=[p1^(k1-1) * (p1-1)] * [p2^(k2-1)
(p2-1)]……* [pn^(kn-1)*(pn-1)]
=[p1^ (k1-1) * p2^ (k2-1)……pn^(kn-1)][(p1-1) * (p2-1) * …… * (pn-1)]
=x * [(p1-1) * (p2-1)… * (pn-1)]/[(p1-1) * (p2-1) * …… *(pn-1)]
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
ll t;
ll solve(ll n){
        ll ans=n;
        for(ll i=2;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                ans=ans/i*(i-1);
                for(;n%i==0;n/=i);
            }
        }
        if(n!=1){
            ans=ans/n*(n-1);
        }
        return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld",&t);
    ll n;
    while(t--){
        scanf("%lld",&n);

        printf("%lld\n",solve(n));
    }
    return 0;
}

I - Sumdiv

思路:
約數和公式:
對于已經分解的整數A=(p1 ^ k1) * (p2 ^ k2) * (p3 ^ k3)… * (pn^kn)
有A的所有因子之和為
S = (1+p1+p1 ^ 2+p1 ^ 3+…p1^k1) * (1+p2+p2 ^ 2+p2 ^ 3+….p2^k2) * (1+p3+ p3 ^ 3+…+ p3^k3) * … * (1+pn+pn ^ 2+pn ^ 3+…pn^kn)
等比數列計算:直接用二分遞回求:舉例來說,1+a+a ^ 2+a ^ 3+a ^ 4=(1+a) * (1+a2)+a2;(1+a)=1
(1+a),根據奇偶二分下去,只要只有一個數為止,
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=9901;
ll n,m;
struct node{
    ll x,y;
}p[maxn];
ll pmod(ll x,ll y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1){
            res=res*x%mod;
        }
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
ll update(ll pn,ll pm){
    //cout<<pm<<endl;
    if(pm==0){
        return 1;
    }
    if(pm&1){
        return update(pn,pm/2)*(1+pmod(pn,pm/2+1))%mod;
    }else{
        return (update(pn,pm/2-1)*(1+pmod(pn,pm/2+1))+pmod(pn,pm/2))%mod;
    }
}
int main(){
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF){
        ll k=0;
        for(int i=2;i*i<=n;){
            if(n%i==0){
                k++;
                p[k].x=i;
                p[k].y=0;
                while(n%i==0){
                    p[k].y++;
                    n/=i;
                }
            }
            if(i==2){
                i++;
            }else{
                i+=2;
            }
        }
        if(n!=1){
            k++;
            p[k].x=n;
            p[k].y=1;
        }
        ll ans=1;
        //cout<<ans<<endl;
        for(int i=1;i<=k;i++){
            ans=(ans*update(p[i].x,p[i].y*m)%mod)%mod;
            //cout<<ans<<endl;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

J - The Lottery

思路:用二進制進行列舉所有情況,采用容斥原理去重,其中進行反面考慮,a的倍數有n/a個;既是a,也是b的倍數,即lcm(a,b)的倍數有n/lcm(a,b)個,是a,b,c的倍數,即lcm(a,b,c)的倍數有n/lcm(a,b,c)個,
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=9901;
ll t,k,n,m;
ll a[maxn];
ll gcd(ll a,ll b){
    return b ? gcd (b,a%b) : a;
}
ll lcm(ll a,ll b){
    ll t=gcd(a,b);
    return a/t*b;
}
int main(){
    while(cin>>n>>m){
        for(int i=0;i<m;i++){
            cin>>a[i];
        }
        ll sum=0;
        for(int i=1;i<(1<<m);i++){//列舉所有的情況
            ll cnt=0;
            ll ans=1;
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(i&(1<<j)){
                    ans=lcm(ans,a[j]);
                    if(ans>n){
                        break;
                    }
                    cnt++;
                }
            }
            if(cnt&1){
                sum+=n/ans;
            }else{
                sum-=n/ans;
            }
        }
        cout<<n-sum<<endl;
    }
    return 0;
}

K - 組合數問題

思路:首先進行預處理,防止超時,理解組合數的運算,即C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m),然后簡單的動態規劃
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=9901;
ll t,k;
ll n,m;
ll a[2010][2010],num[2010][2010];
void init(){
    a[1][1]=1%k;
    if(a[1][1]==0)num[1][1]=1;
    for(int i=2;i<2001;i++){
        a[i][1]=i%k;
        if(a[i][1]==0)num[i][1]=1;
        for(int j=2;j<=i;j++){
            a[i][j]=(a[i-1][j-1]+a[i-1][j])%k;
            if(a[i][j]==0){
                num[i][j]=num[i][j-1]+1;
            }else{
                num[i][j]=num[i][j-1];
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>t>>k;
    init();
    while(t--){
        cin>>n>>m;
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ll t=i;
            if(m<i){
                t=m;
            }
            ans+=num[i][t];
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

L - 同余方程

思路:ax≡1(modb) 可以通過變化得到ax+kb=gcd(a,b),因為一定有解,這個就是擴展歐幾里得原理的結果
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=9901;
ll a,b,x=0,y=0;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
    }else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        ll t;
        t=x,x=y,y=t-a/b*y;
    }
}
int main(){
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b,x,y);
    cout<<(x%b+b)%b;
    return 0;
}

博弈題目

E - Bash游戲

思路:
1.n<=k,A必贏 ,n=k+1,B必贏
2.k+1<n<=(2k+1)時A只需拿n-(k+1)(必定小于等于K)個,A必贏
3.n=2
(k+1)時,無論A拿多少個,假設x個,此時n-x>=k+2,B只需拿(n-x-(k+1))個即可,B必贏
4.以此類推
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
ll n,k;
//B n==k+1
//A n<=k
int main(){
    ll t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>k;
        if(n%(k+1)){
            cout<<"A"<<endl;
        }else{
            cout<<"B"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

F - 取石子游戲

思路:屬于威佐夫博奕(Wythoff Game)
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
ll n,k;
//A 1 1
//B 2 1;
double x = (sqrt(5.0) + 1)/2.0;
int main(){
    ll a,b;
    while(cin>>a>>b){
        ll t=abs(b-a);
        if(a>b){
            ll k=a;
            a=b;
            b=a;
        }
        if((int)(t*x)==a){
            cout<<"0"<<endl;
        }else{
            cout<<"1"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

G - Matches Game

思路:當異或和為奇數時,先手先拿,拿完后,后手無論怎么拿,先手一定拿和后手一樣的,一定可以拿到最后,當異或和為偶數時,無論先手怎么拿,后手只需拿一樣的,一定可以拿到最后
代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef pair<ll,ll> P;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f3f;
const int maxm=5e4+5;
const int mod=1000000007;
ll n;
int main(){
    while(cin>>n){
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ll x;
            cin>>x;
            ans=ans^x;
        }
        //cout<<ans<<endl;
        if(ans){
            cout<<"Yes"<<endl;
        }else{
            cout<<"No"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

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    uj5u.com 2020-09-10 02:00:47 more
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    uj5u.com 2020-09-10 02:00:53 more
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  • 【CTF】CTFHub 技能樹 彩蛋 writeup

    ?碎碎念 CTFHub:https://www.ctfhub.com/ 筆者入門CTF時時剛開始刷的是bugku的舊平臺,后來才有了CTFHub。 感覺不論是網頁UI設計,還是題目質量,賽事跟蹤,工具軟體都做得很不錯。 而且因為獨到的金幣制度的確讓人有一種想去刷題賺金幣的感覺。 個人還是非常喜歡這個 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:05 more
  • 02windows基礎操作

    我學到了一下幾點 Windows系統目錄結構與滲透的作用 常見Windows的服務詳解 Windows埠詳解 常用的Windows注冊表詳解 hacker DOS命令詳解(net user / type /md /rd/ dir /cd /net use copy、批處理 等) 利用dos命令制作 ......

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  • 03.Linux基礎操作

    我學到了以下幾點 01Linux系統介紹02系統安裝,密碼啊破解03Linux常用命令04LAMP 01LINUX windows: win03 8 12 16 19 配置不繁瑣 Linux:redhat,centos(紅帽社區版),Ubuntu server,suse unix:金融機構,證券,銀 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:30 more
  • 05HTML

    01HTML介紹 02頭部標簽講解03基礎標簽講解04表單標簽講解 HTML前段語言 js1.了解代碼2.根據代碼 懂得挖掘漏洞 (POST注入/XSS漏洞上傳)3.黑帽seo 白帽seo 客戶網站被黑帽植入劫持代碼如何處理4.熟悉html表單 <html><head><title>TDK標題,描述 ......

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    01 開門見山 隔一個月發一篇文章,不過分。 首先回顧一下《微信系結手機號資料庫被脫庫事件》,我也是第一時間得知了這個訊息,然后跟蹤了整件事情的經過。下面是這起事件的相關截圖以及近日流出的一萬條資料樣本: 個人認為這件事也沒什么,還不如關注一下之前45億快遞資料查詢渠道疑似在近日復活的訊息。 訊息是 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:48:24 more
  • web3 產品介紹:metamask 錢包 使用最多的瀏覽器插件錢包

    Metamask錢包是一種基于區塊鏈技術的數字貨幣錢包,它允許用戶在安全、便捷的環境下管理自己的加密資產。Metamask錢包是以太坊生態系統中最流行的錢包之一,它具有易于使用、安全性高和功能強大等優點。 本文將詳細介紹Metamask錢包的功能和使用方法。 一、 Metamask錢包的功能 數字資 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:47:46 more
  • vulnhub_Earth

    前言 靶機地址->>>vulnhub_Earth 攻擊機ip:192.168.20.121 靶機ip:192.168.20.122 參考文章 https://www.cnblogs.com/Jing-X/archive/2022/04/03/16097695.html https://www.cnb ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:46:20 more
  • 從4k到42k,軟體測驗工程師的漲薪史,給我看哭了

    清明節一過,盲猜大家已經無心上班,在數著日子準備過五一,但一想到銀行卡里的余額……瞬間心情就不美麗了。最近,2023年高校畢業生就業調查顯示,本科畢業月平均起薪為5825元。調查一出,便有很多同學表示自己又被平均了。看著這一資料,不免讓人想到前不久中國青年報的一項調查:近六成大學生認為畢業10年內會 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:44:00 more
  • 最新版本 Stable Diffusion 開源 AI 繪畫工具之中文自動提詞篇

    🎈 標簽生成器 由于輸入正向提示詞 prompt 和反向提示詞 negative prompt 都是使用英文,所以對學習母語的我們非常不友好 使用網址:https://tinygeeker.github.io/p/ai-prompt-generator 這個網址是為了讓大家在使用 AI 繪畫的時候 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:36 more
  • 漫談前端自動化測驗演進之路及測驗工具分析

    隨著前端技術的不斷發展和應用程式的日益復雜,前端自動化測驗也在不斷演進。隨著 Web 應用程式變得越來越復雜,自動化測驗的需求也越來越高。如今,自動化測驗已經成為 Web 應用程式開發程序中不可或缺的一部分,它們可以幫助開發人員更快地發現和修復錯誤,提高應用程式的性能和可靠性。 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:16 more
  • CANN開發實踐:4個DVPP記憶體問題的典型案例解讀

    摘要:由于DVPP媒體資料處理功能對存放輸入、輸出資料的記憶體有更高的要求(例如,記憶體首地址128位元組對齊),因此需呼叫專用的記憶體申請介面,那么本期就分享幾個關于DVPP記憶體問題的典型案例,并給出原因分析及解決方法。 本文分享自華為云社區《FAQ_DVPP記憶體問題案例》,作者:昇騰CANN。 DVPP ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:03 more
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    msf學習 以kali自帶的msf為例 一、msf核心模塊與功能 msf模塊都放在/usr/share/metasploit-framework/modules目錄下 1、auxiliary 輔助模塊,輔助滲透(埠掃描、登錄密碼爆破、漏洞驗證等) 2、encoders 編碼器模塊,主要包含各種編碼 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:59 more
  • Halcon軟體安裝與界面簡介

    1. 下載Halcon17版本到到本地 2. 雙擊安裝包后 3. 步驟如下 1.2 Halcon軟體安裝 界面分為四大塊 1. Halcon的五個助手 1) 影像采集助手:與相機連接,設定相機引數,采集影像 2) 標定助手:九點標定或是其它的標定,生成標定檔案及內參外參,可以將像素單位轉換為長度單位 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:17 more
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    第一次發博客,先發一下我的游戲開發環境吧。 去年2月份買了一臺MacBookPro2021 M1pro(以下簡稱mbp),這一年來一直在用mbp開發游戲。我大致分享一下我的開發工具以及使用體驗。 1、Unity 官網鏈接: https://unity.cn/releases 我一般使用的Apple ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:40:19 more