推土機距離（Earth Mover’s Distance）
?對于離散概率分布，推土機距離又稱為
W
a
s
s
e
r
s
t
e
i
n
\mathrm{Wasserstein}
Wasserstein距離，如果將不同的概率分布看成不同的沙土堆，則推土機距離就是將一個沙土堆轉換成另一個沙土堆所需的最小總作業量，假定有兩個離散的概率分布
x
～
P
r
x\sim P_r
x～Pr?和
y
～
P
θ
y\sim P_\theta
y～Pθ?，其中每個概率分布都有
l
l
l種可能結果，如下圖所示給出的兩個概率分布特例
計算推土機距離是一個優化問題，從一個沙土堆到另一個沙土堆無數種方案進沙土傳輸遷移，所以需要找到一個最佳的傳輸方案
γ
(
x
,
y
)
\gamma(x,y)
γ(x,y)，根據上圖實體，則需要如下約束條件
{
∑
x
γ
(
x
,
y
)
=
P
θ
(
y
)
∑
y
γ
(
x
,
y
)
=
P
r
(
x
)
\left\{\begin{aligned}\sum\limits_{x}\gamma(x,y)=P_\theta (y)\\\sum\limits_{y}\gamma(x,y)=P_r(x)\end{aligned}\right.
??????????x∑?γ(x,y)=Pθ?(y)y∑?γ(x,y)=Pr?(x)?
γ
(
x
,
y
)
∈
Π
(
P
r
,
P
θ
)
\gamma(x,y)\in \Pi(P_r,P_\theta)
γ(x,y)∈Π(Pr?,Pθ?)為聯合概率分布，并且
Π
(
P
r
,
P
θ
)
\Pi(P_r,P_\theta)
Π(Pr?,Pθ?)的邊緣分布為
P
r
,
P
θ
P_r,P_\theta
Pr?,Pθ?，此時推土機距離為每一個
γ
(
x
,
y
)
\gamma(x,y)
γ(x,y)乘以
x
x
x到
y
y
y的歐式距離之和的最小值，具體公式為
E
M
D
(
P
r
,
P
θ
)
=
inf
?
γ
∈
Π
∑
x
,
y
∥
x
?
y
∥
γ
(
x
,
y
)
=
inf
?
γ
∈
Π
E
(
x
,
y
)
～
γ
∥
x
?
y
∥
\mathrm{EMD}(P_r,P_\theta)=\inf\limits_{\gamma\in \Pi}\sum\limits_{x,y}\|x-y\|\gamma(x,y)=\inf\limits_{\gamma\in \Pi}\mathbb{E}_{(x,y)\sim\gamma}\|x-y\|
EMD(Pr?,Pθ?)=γ∈Πinf?x,y∑?∥x?y∥γ(x,y)=γ∈Πinf?E(x,y)～γ?∥x?y∥進一步令
Γ
=
γ
(
x
,
y
)
\Gamma=\gamma(x,y)
Γ=γ(x,y)，
D
=
∥
x
,
y
∥
D=\|x,y\|
D=∥x,y∥，其中
Γ
,
D
∈
R
l
×
l
\Gamma,D\in \mathbb{R}^{l\times l}
Γ,D∈Rl×l，則上式可以化簡為
E
M
D
(
P
r
,
P
θ
)
=
inf
?
γ
∈
Π
?
D
,
γ
?
F
\mathrm{EMD}(P_r,P_\theta)=\inf\limits_{\gamma\in \Pi}\langle D,\gamma \rangle_{F}
EMD(Pr?,Pθ?)=γ∈Πinf??D,γ?F?其中
?
,
?
\langle , \rangle
?,?表示斐波那契內積，即對應元素相乘再相加，矩陣
Γ
\Gamma
Γ和
D
D
D的熱力示意圖如下所示
線性規劃求解
?求解推土機距離中的最優傳輸方案可以利用線性規劃標準型來求解，給定一個向量
x
∈
R
n
x\in \mathbb{R}^n
x∈Rn，線性目標標準型的優化形式如下所示
min
?
x
z
=
c
?
x
s
.
t
.
{
A
x
=
b
x
≥
0
\begin{array}{rl}\min\limits_{x}&z=c^{\top}x\\\mathrm{s.t.}&\left\{\begin{aligned}Ax&=b\\x&\ge 0\end{aligned}\right.\end{array}
xmin?s.t.?z=c?x{Axx?=b≥0??其中
c
∈
R
n
c\in\mathbb{R}^n
c∈Rn，
A
=
∈
R
m
×
n
A=\in \mathbb{R}^{m\times n}
A=∈Rm×n，
b
∈
R
m
b\in \mathbb{R}^m
b∈Rm，根據以上實體將推土機距離轉化為線性規劃標準型，首先將矩陣
Γ
\Gamma
Γ和
D
D
D進行向量化，則有
x
=
v
e
c
(
Γ
)
∈
R
n
c
=
v
e
c
(
D
)
∈
R
n
\begin{aligned}x&=\mathrm{vec}(\Gamma)\in\mathbb{R}^{n}\\c&=\mathrm{vec}(D)\in\mathbb{R}^{n}\end{aligned}
xc?=vec(Γ)∈Rn=vec(D)∈Rn?并且有
n
=
l
2
n=l^2
n=l2，將目標分布進行拼接則有
b
=
[
P
r
P
θ
]
b=\left[\begin{array}{c}P_r\\P_\theta\end{array}\right]
b=[Pr?Pθ??]其中
m
=
2
l
m=2l
m=2l，方程組
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b的具體形式如下所示
{
γ
(
x
1
,
y
1
)
+
γ
(
x
1
,
y
2
)
+
γ
(
x
1
,
y
3
)
+
γ
(
x
1
,
y
4
)
+
γ
(
x
1
,
y
5
)
+
γ
(
x
1
,
y
6
)
+
γ
(
x
1
,
y
7
)
+
γ
(
x
1
,
y
8
)
+
γ
(
x
1
,
y
9
)
+
γ
(
x
1
,
y
10
)
=
P
r
(
x
1
)
γ
(
x
2
,
y
1
)
+
γ
(
x
2
,
y
2
)
+
γ
(
x
2
,
y
3
)
+
γ
(
x
2
,
y
4
)
+
γ
(
x
2
,
y
5
)
+
γ
(
x
2
,
y
6
)
+
γ
(
x
2
,
y
7
)
+
γ
(
x
2
,
y
8
)
+
γ
(
x
2
,
y
9
)
+
γ
(
x
2
,
y
10
)
=
P
r
(
x
2
)
γ
(
x
3
,
y
1
)
+
γ
(
x
3
,
y
2
)
+
γ
(
x
3
,
y
3
)
+
γ
(
x
3
,
y
4
)
+
γ
(
x
3
,
y
5
)
+
γ
(
x
3
,
y
6
)
+
γ
(
x
3
,
y
7
)
+
γ
(
x
3
,
y
8
)
+
γ
(
x
3
,
y
9
)
+
γ
(
x
3
,
y
10
)
=
P
r
(
x
3
)
γ
(
x
4
,
y
1
)
+
γ
(
x
4
,
y
2
)
+
γ
(
x
4
,
y
3
)
+
γ
(
x
4
,
y
4
)
+
γ
(
x
4
,
y
5
)
+
γ
(
x
4
,
y
6
)
+
γ
(
x
4
,
y
7
)
+
γ
(
x
4
,
y
8
)
+
γ
(
x
4
,
y
9
)
+
γ
(
x
4
,
y
10
)
=
P
r
(
x
4
)
γ
(
x
5
,
y
1
)
+
γ
(
x
5
,
y
2
)
+
γ
(
x
5
,
y
3
)
+
γ
(
x
5
,
y
4
)
+
γ
(
x
5
,
y
5
)
+
γ
(
x
5
,
y
6
)
+
γ
(
x
5
,
y
7
)
+
γ
(
x
5
,
y
8
)
+
γ
(
x
5
,
y
9
)
+
γ
(
x
5
,
y
10
)
=
P
r
(
x
5
)
γ
(
x
6
,
y
1
)
+
γ
(
x
6
,
y
2
)
+
γ
(
x
6
,
y
3
)
+
γ
(
x
6
,
y
4
)
+
γ
(
x
6
,
y
5
)
+
γ
(
x
6
,
y
6
)
+
γ
(
x
6
,
y
7
)
+
γ
(
x
6
,
y
8
)
+
γ
(
x
6
,
y
9
)
+
γ
(
x
6
,
y
10
)
=
P
r
(
x
6
)
γ
(
x
7
,
y
1
)
+
γ
(
x
7
,
y
2
)
+
γ
(
x
7
,
y
3
)
+
γ
(
x
7
,
y
4
)
+
γ
(
x
7
,
y
5
)
+
γ
(
x
7
,
y
6
)
+
γ
(
x
7
,
y
7
)
+
γ
(
x
7
,
y
8
)
+
γ
(
x
7
,
y
9
)
+
γ
(
x
7
,
y
10
)
=
P
r
(
x
7
)
γ
(
x
8
,
y
1
)
+
γ
(
x
8
,
y
2
)
+
γ
(
x
8
,
y
3
)
+
γ
(
x
8
,
y
4
)
+
γ
(
x
8
,
y
5
)
+
γ
(
x
8
,
y
6
)
+
γ
(
x
8
,
y
7
)
+
γ
(
x
8
,
y
8
)
+
γ
(
x
8
,
y
9
)
+
γ
(
x
8
,
y
10
)
=
P
r
(
x
8
)
γ
(
x
9
,
y
1
)
+
γ
(
x
9
,
y
2
)
+
γ
(
x
9
,
y
3
)
+
γ
(
x
9
,
y
4
)
+
γ
(
x
9
,
y
5
)
+
γ
(
x
9
,
y
6
)
+
γ
(
x
9
,
y
7
)
+
γ
(
x
9
,
y
8
)
+
γ
(
x
9
,
y
9
)
+
γ
(
x
9
,
y
10
)
=
P
r
(
x
9
)
γ
(
x
10
,
y
1
)
+
γ
(
x
10
,
y
2
)
+
γ
(
x
10
,
y
3
)
+
γ
(
x
10
,
y
4
)
+
γ
(
x
10
,
y
5
)
+
γ
(
x
10
,
y
6
)
+
γ
(
x
10
,
y
7
)
+
γ
(
x
10
,
y
8
)
+
?
+
γ
(
x
10
,
y
10
)
=
P
r
(
x
10
)
γ
(
x
1
,
y
1
)
+
γ
(
x
2
,
y
1
)
+
γ
(
x
3
,
y
1
)
+
γ
(
x
4
,
y
1
)
+
γ
(
x
5
,
y
1
)
+
γ
(
x
6
,
y
1
)
+
γ
(
x
7
,
y
1
)
+
γ
(
x
8
,
y
1
)
+
γ
(
x
9
,
y
1
)
+
γ
(
x
10
,
y
1
)
=
P
θ
(
y
1
)
γ
(
x
1
,
y
2
)
+
γ
(
x
2
,
y
2
)
+
γ
(
x
3
,
y
2
)
+
γ
(
x
4
,
y
2
)
+
γ
(
x
5
,
y
2
)
+
γ
(
x
6
,
y
2
)
+
γ
(
x
7
,
y
2
)
+
γ
(
x
8
,
y
2
)
+
γ
(
x
9
,
y
2
)
+
γ
(
x
10
,
y
2
)
=
P
θ
(
y
2
)
γ
(
x
1
,
y
3
)
+
γ
(
x
2
,
y
3
)
+
γ
(
x
3
,
y
3
)
+
γ
(
x
4
,
y
3
)
+
γ
(
x
5
,
y
3
)
+
γ
(
x
6
,
y
3
)
+
γ
(
x
7
,
y
3
)
+
γ
(
x
8
,
y
3
)
+
γ
(
x
9
,
y
3
)
+
γ
(
x
10
,
y
3
)
=
P
θ
(
y
3
)
γ
(
x
1
,
y
4
)
+
γ
(
x
2
,
y
4
)
+
γ
(
x
3
,
y
4
)
+
γ
(
x
4
,
y
4
)
+
γ
(
x
5
,
y
4
)
+
γ
(
x
6
,
y
4
)
+
γ
(
x
7
,
y
4
)
+
γ
(
x
8
,
y
4
)
+
γ
(
x
9
,
y
4
)
+
γ
(
x
10
,
y
4
)
=
P
θ
(
y
4
)
γ
(
x
1
,
y
5
)
+
γ
(
x
2
,
y
5
)
+
γ
(
x
3
,
y
5
)
+
γ
(
x
4
,
y
5
)
+
γ
(
x
5
,
y
5
)
+
γ
(
x
6
,
y
5
)
+
γ
(
x
7
,
y
5
)
+
γ
(
x
8
,
y
5
)
+
γ
(
x
9
,
y
5
)
+
γ
(
x
10
,
y
5
)
=
P
θ
(
y
5
)
γ
(
x
1
,
y
6
)
+
γ
(
x
2
,
y
6
)
+
γ
(
x
3
,
y
6
)
+
γ
(
x
4
,
y
6
)
+
γ
(
x
5
,
y
6
)
+
γ
(
x
6
,
y
6
)
+
γ
(
x
7
,
y
6
)
+
γ
(
x
8
,
y
6
)
+
γ
(
x
9
,
y
6
)
+
γ
(
x
10
,
y
6
)
=
P
θ
(
y
6
)
γ
(
x
1
,
y
7
)
+
γ
(
x
2
,
y
7
)
+
γ
(
x
3
,
y
7
)
+
γ
(
x
4
,
y
7
)
+
γ
(
x
5
,
y
7
)
+
γ
(
x
6
,
y
7
)
+
γ
(
x
7
,
y
7
)
+
γ
(
x
8
,
y
7
)
+
γ
(
x
9
,
y
7
)
+
γ
(
x
10
,
y
7
)
=
P
θ
(
y
7
)
γ
(
x
1
,
y
8
)
+
γ
(
x
2
,
y
8
)
+
γ
(
x
3
,
y
8
)
+
γ
(
x
4
,
y
8
)
+
γ
(
x
5
,
y
8
)
+
γ
(
x
6
,
y
8
)
+
γ
(
x
7
,
y
8
)
+
γ
(
x
8
,
y
8
)
+
γ
(
x
9
,
y
8
)
+
γ
(
x
10
,
y
8
)
=
P
θ
(
y
8
)
γ
(
x
1
,
y
9
)
+
γ
(
x
2
,
y
9
)
+
γ
(
x
3
,
y
9
)
+
γ
(
x
4
,
y
9
)
+
γ
(
x
5
,
y
9
)
+
γ
(
x
6
,
y
9
)
+
γ
(
x
7
,
y
9
)
+
γ
(
x
8
,
y
9
)
+
γ
(
x
9
,
y
9
)
+
γ
(
x
10
,
y
9
)
=
P
θ
(
y
9
)
γ
(
x
1
,
y
10
)
+
γ
(
x
2
,
y
10
)
+
γ
(
x
3
,
y
10
)
+
γ
(
x
4
,
y
10
)
+
γ
(
x
5
,
y
10
)
+
γ
(
x
6
,
y
10
)
+
γ
(
x
7
,
y
10
)
+
γ
(
x
8
,
y
10
)
+
?
+
γ
(
x
10
,
y
10
)
=
P
θ
(
y
10
)
\left\{\begin{aligned}\gamma(x_1,y_1)+\gamma(x_1,y_2)+\gamma(x_1,y_3)+\gamma(x_1,y_4)+\gamma(x_1,y_5)+\gamma(x_1,y_6)+\gamma(x_1,y_7)+\gamma(x_1,y_8)+\gamma(x_1,y_9)+\gamma(x_1,y_{10})&=P_r(x_1)\\\gamma(x_2,y_1)+\gamma(x_2,y_2)+\gamma(x_2,y_3)+\gamma(x_2,y_4)+\gamma(x_2,y_5)+\gamma(x_2,y_6)+\gamma(x_2,y_7)+\gamma(x_2,y_8)+\gamma(x_2,y_9)+\gamma(x_2,y_{10})&=P_r(x_2)\\ \gamma(x_3,y_1)+\gamma(x_3,y_2)+\gamma(x_3,y_3)+\gamma(x_3,y_4)+\gamma(x_3,y_5)+\gamma(x_3,y_6)+\gamma(x_3,y_7)+\gamma(x_3,y_8)+\gamma(x_3,y_9)+\gamma(x_3,y_{10})&=P_r(x_3)\\\gamma(x_4,y_1)+\gamma(x_4,y_2)+\gamma(x_4,y_3)+\gamma(x_4,y_4)+\gamma(x_4,y_5)+\gamma(x_4,y_6)+\gamma(x_4,y_7)+\gamma(x_4,y_8)+\gamma(x_4,y_9)+\gamma(x_4,y_{10})&=P_r(x_4)\\\gamma(x_5,y_1)+\gamma(x_5,y_2)+\gamma(x_5,y_3)+\gamma(x_5,y_4)+\gamma(x_5,y_5)+\gamma(x_5,y_6)+\gamma(x_5,y_7)+\gamma(x_5,y_8)+\gamma(x_5,y_9)+\gamma(x_5,y_{10})&=P_r(x_5)\\\gamma(x_6,y_1)+\gamma(x_6,y_2)+\gamma(x_6,y_3)+\gamma(x_6,y_4)+\gamma(x_6,y_5)+\gamma(x_6,y_6)+\gamma(x_6,y_7)+\gamma(x_6,y_8)+\gamma(x_6,y_9)+\gamma(x_6,y_{10})&=P_r(x_6)\\ \gamma(x_7,y_1)+\gamma(x_7,y_2)+\gamma(x_7,y_3)+\gamma(x_7,y_4)+\gamma(x_7,y_5)+\gamma(x_7,y_6)+\gamma(x_7,y_7)+\gamma(x_7,y_8)+\gamma(x_7,y_9)+\gamma(x_7,y_{10})&=P_r(x_7)\\\gamma(x_8,y_1)+\gamma(x_8,y_2)+\gamma(x_8,y_3)+\gamma(x_8,y_4)+\gamma(x_8,y_5)+\gamma(x_8,y_6)+\gamma(x_8,y_7)+\gamma(x_8,y_8)+\gamma(x_8,y_9)+\gamma(x_8,y_{10})&=P_r(x_8)\\\gamma(x_{9},y_1)+\gamma(x_{9},y_2)+\gamma(x_{9},y_3)+\gamma(x_{9},y_4)+\gamma(x_{9},y_5)+\gamma(x_{9},y_6)+\gamma(x_{9},y_7)+\gamma(x_{9},y_8)+\gamma(x_{9},y_9)+\gamma(x_{9},y_{10})&=P_r(x_{9})\\\gamma(x_{10},y_1)+\gamma(x_{10},y_2)+\gamma(x_{10},y_3)+\gamma(x_{10},y_4)+\gamma(x_{10},y_5)+\gamma(x_{10},y_6)+\gamma(x_{10},y_7)+\gamma(x_{10},y_8)+\cdots+\gamma(x_{10},y_{10})&=P_r(x_{10})\\\gamma(x_1,y_1)+\gamma(x_2,y_1)+\gamma(x_3,y_1)+\gamma(x_4,y_1)+\gamma(x_5,y_1)+\gamma(x_6,y_1)+\gamma(x_7,y_1)+\gamma(x_8,y_1)+\gamma(x_9,y_1)+\gamma(x_{10},y_{1})&=P_\theta(y_1)\\\gamma(x_1,y_2)+\gamma(x_2,y_2)+\gamma(x_3,y_2)+\gamma(x_4,y_2)+\gamma(x_5,y_2)+\gamma(x_6,y_2)+\gamma(x_7,y_2)+\gamma(x_8,y_2)+\gamma(x_9,y_2)+\gamma(x_{10},y_{2})&=P_\theta(y_2)\\\gamma(x_1,y_3)+\gamma(x_2,y_3)+\gamma(x_3,y_3)+\gamma(x_4,y_3)+\gamma(x_5,y_3)+\gamma(x_6,y_3)+\gamma(x_7,y_3)+\gamma(x_8,y_3)+\gamma(x_9,y_3)+\gamma(x_{10},y_{3})&=P_\theta(y_3)\\\gamma(x_1,y_4)+\gamma(x_2,y_4)+\gamma(x_3,y_4)+\gamma(x_4,y_4)+\gamma(x_5,y_4)+\gamma(x_6,y_4)+\gamma(x_7,y_4)+\gamma(x_8,y_4)+\gamma(x_9,y_4)+\gamma(x_{10},y_{4})&=P_\theta(y_4)\\\gamma(x_1,y_5)+\gamma(x_2,y_5)+\gamma(x_3,y_5)+\gamma(x_4,y_5)+\gamma(x_5,y_5)+\gamma(x_6,y_5)+\gamma(x_7,y_5)+\gamma(x_8,y_5)+\gamma(x_9,y_5)+\gamma(x_{10},y_{5})&=P_\theta(y_5)\\\gamma(x_1,y_6)+\gamma(x_2,y_6)+\gamma(x_3,y_6)+\gamma(x_4,y_6)+\gamma(x_5,y_6)+\gamma(x_6,y_6)+\gamma(x_7,y_6)+\gamma(x_8,y_6)+\gamma(x_9,y_6)+\gamma(x_{10},y_{6})&=P_\theta(y_6)\\\gamma(x_1,y_7)+\gamma(x_2,y_7)+\gamma(x_3,y_7)+\gamma(x_4,y_7)+\gamma(x_5,y_7)+\gamma(x_6,y_7)+\gamma(x_7,y_7)+\gamma(x_8,y_7)+\gamma(x_9,y_7)+\gamma(x_{10},y_{7})&=P_\theta(y_7)\\\gamma(x_1,y_8)+\gamma(x_2,y_8)+\gamma(x_3,y_8)+\gamma(x_4,y_8)+\gamma(x_5,y_8)+\gamma(x_6,y_8)+\gamma(x_7,y_8)+\gamma(x_8,y_8)+\gamma(x_9,y_8)+\gamma(x_{10},y_{8})&=P_\theta(y_8)\\\gamma(x_1,y_9)+\gamma(x_2,y_9)+\gamma(x_3,y_9)+\gamma(x_4,y_9)+\gamma(x_5,y_9)+\gamma(x_6,y_9)+\gamma(x_7,y_9)+\gamma(x_8,y_9)+\gamma(x_9,y_9)+\gamma(x_{10},y_{9})&=P_\theta(y_9)\\\gamma(x_1,y_{10})+\gamma(x_2,y_{10})+\gamma(x_3,y_{10})+\gamma(x_4,y_{10})+\gamma(x_5,y_{10})+\gamma(x_6,y_{10})+\gamma(x_7,y_{10})+\gamma(x_8,y_{10})+\cdots+\gamma(x_{10},y_{10})&=P_\theta(y_{10})\end{aligned}\right.
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????γ(x1?,y1?)+γ(x1?,y2?)+γ(x1?,y3?)+γ(x1?,y4?)+γ(x1?,y5?)+γ(x1?,y6?)+γ(x1?,y7?)+γ(x1?,y8?)+γ(x1?,y9?)+γ(x1?,y10?)γ(x2?,y1?)+γ(x2?,y2?)+γ(x2?,y3?)+γ(x2?,y4?)+γ(x2?,y5?)+γ(x2?,y6?)+γ(x2?,y7?)+γ(x2?,y8?)+γ(x2?,y9?)+γ(x2?,y10?)γ(x3?,y1?)+γ(x3?,y2?)+γ(x3?,y3?)+γ(x3?,y4?)+γ(x3?,y5?)+γ(x3?,y6?)+γ(x3?,y7?)+γ(x3?,y8?)+γ(x3?,y9?)+γ(x3?,y10?)γ(x4?,y1?)+γ(x4?,y2?)+γ(x4?,y3?)+γ(x4?,y4?)+γ(x4?,y5?)+γ(x4?,y6?)+γ(x4?,y7?)+γ(x4?,y8?)+γ(x4?,y9?)+γ(x4?,y10?)γ(x5?,y1?)+γ(x5?,y2?)+γ(x5?,y3?)+γ(x5?,y4?)+γ(x5?,y5?)+γ(x5?,y6?)+γ(x5?,y7?)+γ(x5?,y8?)+γ(x5?,y9?)+γ(x5?,y10?)γ(x6?,y1?)+γ(x6?,y2?)+γ(x6?,y3?)+γ(x6?,y4?)+γ(x6?,y5?)+γ(x6?,y6?)+γ(x6?,y7?)+γ(x6?,y8?)+γ(x6?,y9?)+γ(x6?,y10?)γ(x7?,y1?)+γ(x7?,y2?)+γ(x7?,y3?)+γ(x7?,y4?)+γ(x7?,y5?)+γ(x7?,y6?)+γ(x7?,y7?)+γ(x7?,y8?)+γ(x7?,y9?)+γ(x7?,y10?)γ(x8?,y1?)+γ(x8?,y2?)+γ(x8?,y3?)+γ(x8?,y4?)+γ(x8?,y5?)+γ(x8?,y6?)+γ(x8?,y7?)+γ(x8?,y8?)+γ(x8?,y9?)+γ(x8?,y10?)γ(x9?,y1?)+γ(x9?,y2?)+γ(x9?,y3?)+γ(x9?,y4?)+γ(x9?,y5?)+γ(x9?,y6?)+γ(x9?,y7?)+γ(x9?,y8?)+γ(x9?,y9?)+γ(x9?,y10?)γ(x10?,y1?)+γ(x10?,y2?)+γ(x10?,y3?)+γ(x10?,y4?)+γ(x10?,y5?)+γ(x10?,y6?)+γ(x10?,y7?)+γ(x10?,y8?)+?+γ(x10?,y10?)γ(x1?,y1?)+γ(x2?,y1?)+γ(x3?,y1?)+γ(x4?,y1?)+γ(x5?,y1?)+γ(x6?,y1?)+γ(x7?,y1?)+γ(x8?,y1?)+γ(x9?,y1?)+γ(x10?,y1?)γ(x1?,y2?)+γ(x2?,y2?)+γ(x3?,y2?)+γ(x4?,y2?)+γ(x5?,y2?)+γ(x6?,y2?)+γ(x7?,y2?)+γ(x8?,y2?)+γ(x9?,y2?)+γ(x10?,y2?)γ(x1?,y3?)+γ(x2?,y3?)+γ(x3?,y3?)+γ(x4?,y3?)+γ(x5?,y3?)+γ(x6?,y3?)+γ(x7?,y3?)+γ(x8?,y3?)+γ(x9?,y3?)+γ(x10?,y3?)γ(x1?,y4?)+γ(x2?,y4?)+γ(x3?,y4?)+γ(x4?,y4?)+γ(x5?,y4?)+γ(x6?,y4?)+γ(x7?,y4?)+γ(x8?,y4?)+γ(x9?,y4?)+γ(x10?,y4?)γ(x1?,y5?)+γ(x2?,y5?)+γ(x3?,y5?)+γ(x4?,y5?)+γ(x5?,y5?)+γ(x6?,y5?)+γ(x7?,y5?)+γ(x8?,y5?)+γ(x9?,y5?)+γ(x10?,y5?)γ(x1?,y6?)+γ(x2?,y6?)+γ(x3?,y6?)+γ(x4?,y6?)+γ(x5?,y6?)+γ(x6?,y6?)+γ(x7?,y6?)+γ(x8?,y6?)+γ(x9?,y6?)+γ(x10?,y6?)γ(x1?,y7?)+γ(x2?,y7?)+γ(x3?,y7?)+γ(x4?,y7?)+γ(x5?,y7?)+γ(x6?,y7?)+γ(x7?,y7?)+γ(x8?,y7?)+γ(x9?,y7?)+γ(x10?,y7?)γ(x1?,y8?)+γ(x2?,y8?)+γ(x3?,y8?)+γ(x4?,y8?)+γ(x5?,y8?)+γ(x6?,y8?)+γ(x7?,y8?)+γ(x8?,y8?)+γ(x9?,y8?)+γ(x10?,y8?)γ(x1?,y9?)+γ(x2?,y9?)+γ(x3?,y9?)+γ(x4?,y9?)+γ(x5?,y9?)+γ(x6?,y9?)+γ(x7?,y9?)+γ(x8?,y9?)+γ(x9?,y9?)+γ(x10?,y9?)γ(x1?,y10?)+γ(x2?,y10?)+γ(x3?,y10?)+γ(x4?,y10?)+γ(x5?,y10?)+γ(x6?,y10?)+γ(x7?,y10?)+γ(x8?,y10?)+?+γ(x10?,y10?)?=Pr?(x1?)=Pr?(x2?)=Pr?(x3?)=Pr?(x4?)=Pr?(x5?)=Pr?(x6?)=Pr?(x7?)=Pr?(x8?)=Pr?(x9?)=Pr?(x10?)=Pθ?(y1?)=Pθ?(y2?)=Pθ?(y3?)=Pθ?(y4?)=Pθ?(y5?)=Pθ?(y6?)=Pθ?(y7?)=Pθ?(y8?)=Pθ?(y9?)=Pθ?(y10?)?其中矩陣
A
A
A是一個大的
0
0
0和
1
1
1的二值稀疏矩陣為
A
=
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0
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0
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0
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0
0
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0
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0
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0
0
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1
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0
0
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0
1
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1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
2
e
2
e
2
e
2
e
2
e
2
e
2
e
2
e
2
e
2
e
3
e
3
e
3
e
3
e
3
e
3
e
3
e
3
e
3
e
3
e
4
e
4
e
4
e
4
e
4
e
4
e
4
e
4
e
4
e
4
e
5
e
5
e
5
e
5
e
5
e
5
e
5
e
5
e
5
e
5
e
6
e
6
e
6
e
6
e
6
e
6
e
6
e
6
e
6
e
6
e
7
e
7
e
7
e
7
e
7
e
7
e
7
e
7
e
7
e
7
e
8
e
8
e
8
e
8
e
8
e
8
e
8
e
8
e
8
e
8
e
9
e
9
e
9
e
9
e
9
e
9
e
9
e
9
e
9
e
9
e
10
e
10
e
10
e
10
e
10
e
10
e
10
e
10
e
10
e
10
]
A=\left[\begin{array}{cccccccccc}\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{0}&\bf{1}\\{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1&{\bf{e}}_1\\{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2&{\bf{e}}_2\\{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3&{\bf{e}}_3\\{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4&{\bf{e}}_4\\{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5&{\bf{e}}_5\\{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6&{\bf{e}}_6\\{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7&{\bf{e}}_7\\{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8&{\bf{e}}_8\\{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9&{\bf{e}}_9\\{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}&{\bf{e}}_{10}\end{array}\right]
A=?????????????????????????????????????1000000000e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0100000000e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0010000000e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0001000000e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0000100000e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0000010000e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0000001000e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0000000100e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0000000010e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10??0000000001e1?e2?e3?e4?e5?e6?e7?e8?e9?e10???????????????????????????????????????其中向量
1
\bf{1}
1，
0
\bf{0}
0和
e
i
{\bf{e}}_i
ei?具體取值如下所示
1
=
[
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
]
∈
R
1
×
10
{\bf{1}}=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]\in \mathbb{R}^{1\times 10}
標籤：AI
- 標籤雲
-
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游戲逆向之驅動層與用戶層通訊
驅動層代碼： #pragma once #include <ntifs.h> #define add_code CTL_CODE(FILE_DEVICE_UNKNOWN,0x800,METHOD_BUFFERED,FILE_ANY_ACCESS) /* 更多游戲逆向視頻www.yxfzedu.com ......
uj5u.com 2020-09-10 02:00:56 more -
北斗電力時鐘（北斗授時服務器）讓網路資料更精準
北斗電力時鐘（北斗授時服務器）讓網路資料更精準 北斗電力時鐘（北斗授時服務器）讓網路資料更精準 京準電子科技官微——ahjzsz 近幾年，資訊技術的得了快速發展，互聯網在逐漸普及，其在人們生活和生產中都得到了廣泛應用，并且取得了不錯的應用效果。計算機網路資訊在電力系統中的應用，一方面使電力系統的運行 ......
uj5u.com 2020-09-10 02:01:03 more -
【CTF】CTFHub 技能樹 彩蛋 writeup
?碎碎念 CTFHub：https://www.ctfhub.com/ 筆者入門CTF時時剛開始刷的是bugku的舊平臺，后來才有了CTFHub。 感覺不論是網頁UI設計，還是題目質量，賽事跟蹤，工具軟體都做得很不錯。 而且因為獨到的金幣制度的確讓人有一種想去刷題賺金幣的感覺。 個人還是非常喜歡這個 ......
uj5u.com 2020-09-10 02:04:05 more -
02windows基礎操作
我學到了一下幾點 Windows系統目錄結構與滲透的作用 常見Windows的服務詳解 Windows埠詳解 常用的Windows注冊表詳解 hacker DOS命令詳解（net user / type /md /rd/ dir /cd /net use copy、批處理 等） 利用dos命令制作 ......
uj5u.com 2020-09-10 02:04:18 more -
03.Linux基礎操作
我學到了以下幾點 01Linux系統介紹02系統安裝，密碼啊破解03Linux常用命令04LAMP 01LINUX windows： win03 8 12 16 19 配置不繁瑣 Linux：redhat,centos(紅帽社區版)，Ubuntu server,suse unix:金融機構，證券，銀 ......
uj5u.com 2020-09-10 02:04:30 more
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2023年最新微信小程式抓包教程
01 開門見山 隔一個月發一篇文章，不過分。 首先回顧一下《微信系結手機號資料庫被脫庫事件》，我也是第一時間得知了這個訊息，然后跟蹤了整件事情的經過。下面是這起事件的相關截圖以及近日流出的一萬條資料樣本： 個人認為這件事也沒什么，還不如關注一下之前45億快遞資料查詢渠道疑似在近日復活的訊息。 訊息是 ......
uj5u.com 2023-04-20 08:48:24 more -
web3 產品介紹：metamask 錢包 使用最多的瀏覽器插件錢包
Metamask錢包是一種基于區塊鏈技術的數字貨幣錢包，它允許用戶在安全、便捷的環境下管理自己的加密資產。Metamask錢包是以太坊生態系統中最流行的錢包之一，它具有易于使用、安全性高和功能強大等優點。 本文將詳細介紹Metamask錢包的功能和使用方法。 一、 Metamask錢包的功能 數字資 ......
uj5u.com 2023-04-20 08:47:46 more -
vulnhub_Earth
前言 靶機地址->>>vulnhub_Earth 攻擊機ip：192.168.20.121 靶機ip：192.168.20.122 參考文章 https://www.cnblogs.com/Jing-X/archive/2022/04/03/16097695.html https://www.cnb ......
uj5u.com 2023-04-20 07:46:20 more -
從4k到42k，軟體測驗工程師的漲薪史，給我看哭了
清明節一過，盲猜大家已經無心上班，在數著日子準備過五一，但一想到銀行卡里的余額……瞬間心情就不美麗了。最近，2023年高校畢業生就業調查顯示，本科畢業月平均起薪為5825元。調查一出，便有很多同學表示自己又被平均了。看著這一資料，不免讓人想到前不久中國青年報的一項調查：近六成大學生認為畢業10年內會 ......
uj5u.com 2023-04-20 07:44:00 more -
最新版本 Stable Diffusion 開源 AI 繪畫工具之中文自動提詞篇
🎈 標簽生成器 由于輸入正向提示詞 prompt 和反向提示詞 negative prompt 都是使用英文，所以對學習母語的我們非常不友好 使用網址：https://tinygeeker.github.io/p/ai-prompt-generator 這個網址是為了讓大家在使用 AI 繪畫的時候 ......
uj5u.com 2023-04-20 07:43:36 more -
漫談前端自動化測驗演進之路及測驗工具分析
隨著前端技術的不斷發展和應用程式的日益復雜，前端自動化測驗也在不斷演進。隨著 Web 應用程式變得越來越復雜，自動化測驗的需求也越來越高。如今，自動化測驗已經成為 Web 應用程式開發程序中不可或缺的一部分，它們可以幫助開發人員更快地發現和修復錯誤，提高應用程式的性能和可靠性。 ......
uj5u.com 2023-04-20 07:43:16 more -
CANN開發實踐：4個DVPP記憶體問題的典型案例解讀
摘要：由于DVPP媒體資料處理功能對存放輸入、輸出資料的記憶體有更高的要求（例如，記憶體首地址128位元組對齊），因此需呼叫專用的記憶體申請介面，那么本期就分享幾個關于DVPP記憶體問題的典型案例，并給出原因分析及解決方法。 本文分享自華為云社區《FAQ_DVPP記憶體問題案例》，作者：昇騰CANN。 DVPP ......
uj5u.com 2023-04-20 07:43:03 more -
Halcon軟體安裝與界面簡介
1. 下載Halcon17版本到到本地 2. 雙擊安裝包后 3. 步驟如下 1.2 Halcon軟體安裝 界面分為四大塊 1. Halcon的五個助手 1) 影像采集助手：與相機連接，設定相機引數，采集影像 2) 標定助手：九點標定或是其它的標定，生成標定檔案及內參外參，可以將像素單位轉換為長度單位 ......
uj5u.com 2023-04-20 07:42:17 more -
在MacOS下使用Unity3D開發游戲
第一次發博客，先發一下我的游戲開發環境吧。 去年2月份買了一臺MacBookPro2021 M1pro(以下簡稱mbp)，這一年來一直在用mbp開發游戲。我大致分享一下我的開發工具以及使用體驗。 1、Unity 官網鏈接： https://unity.cn/releases 我一般使用的Apple ......
uj5u.com 2023-04-20 07:40:19 more
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