統計學習：邏輯回歸與交叉熵損失（Pytorch實作）-有解無憂

1. Logistic 分布和對率回歸

監督學習的模型可以是概率模型或非概率模型，由條件概率分布\(P(Y|\bm{X})\)或決策函式(decision function)\(Y=f(\bm{X})\)表示，隨具體學習方法而定，對具體的輸入\(\bm{x}\)進行相應的輸出預測并得到某個結果時，寫作\(P(y|\bm{x})\)或\(y=f(\bm{x})\)，

我們這里的 Logistic 分類模型是概率模型，模型\(P(Y|\bm{X})\)表示給定隨機向量\(\bm{X}\)下，分類標簽\(Y\)的條件概率分布，這里我們只討論二分類問題，后面我們介紹多層感知機的時候會介紹多分類問題，道理是一樣的，

先介紹 Logistic 分布，

Logistic 的分布函式為：

\[F(x) = P(X<=x) = \frac{1}{1+e^{-(x-u)/\gamma}} \]

該分布函式的影像為：

該函式以點\((u,1/2)\)中心對稱，在中心附近增長速度較快，在兩端增長速度較慢，

我們后面對于未歸一化的數\(z\)，采用\(\text{sigmoid}\)函式

\[σ(z) = \frac{1}{1 + \text{exp}(?z)} \]

將其“壓”在(0, 1)之間，這樣就可以使\(z\)歸一化，一般我們使歸一化后的值表示置信度(belief)，可以理解成概率，但是與概率有著細微的差別，更體現 “屬于××類的把握”的意思，

對于二分類，標簽\(Y=0\)或\(Y=1\)，我們將\(P(Y=0|\bm{X}=\bm{x})\)和\(P(Y=1|\bm{X}=\bm{x})\)表示如下，也就定義了二項邏輯回歸模型：

\[\begin{aligned} P(Y=1|\bm{X}=\bm{x}) &= \sigma(\bm{w}^T\bm{x}+b) \\ &= \frac{1}{1+\text{exp}(-(\bm{w}^T\bm{x}+b))} \end{aligned}\space (1) \\ \begin{aligned} P(Y=0|\bm{X}=\bm{x}) &= 1-\sigma(\bm{w}^T\bm{x}+b) \\ &= \frac{1}{1+\text{exp}(\bm{w}^T\bm{x}+b)} \end{aligned} \qquad (2) \]

現在考察 Logistic 回歸模型的特點，一個事件的幾率(odds)是指該事件發生的概率與不發生的概率的比值，如果事件發生的概率是\(p\)，那么該事件的幾率是\(p/(1-p)\)，該事件的對數幾率(log odds，簡稱對率)或 logit 函式是

\[\text{logit}(p) = \text{log}\space p/(1-p) \]

對 Logistic 回歸而言，由式子\((1)\)和式子\((2)\)得到:

\[\text{log}\frac{P(Y = 1|\bm{X}=\bm{x})}{1 ? P(Y = 1|\bm{X}=\bm{x})} = \bm{w}^T\bm{x} + b \]

這玩意在統計學里面稱之為“對率回歸”，其實就是“Logistic regression 名稱”的由來，這里的 Logistic 和“邏輯”沒有任何關系，和對率才是有關系的，可以看出，輸出\(Y=1\)的對數幾率是由輸入\(\bm{x}\)的線性函式表示的模型，即 Logistic 回歸模型，

2. Logistic 回歸模型的引數估計

我們在《統計推斷：極大似然估計、貝葉斯估計與方差偏差分解》)中說過，從概率模型的視角來看，機器模型學習的程序就是概率分布引數估計的程序，這里就是估計條件概率分布\(P(Y|\bm{X})\)的引數\(\bm{θ}\)，對于給定的訓練資料集\(T=\{\{\bm{x}_1, y_1\},\{\bm{x}_2, y_2\}, \dots, \{\bm{x}_N, y_N\}\}\)，其中，\(\bm{x}_i∈\mathbb{R}^n\)，\(y_i∈\{0, 1\}\)，可以應用極大似然估計法估計模型引數，從而得到Logistic回歸模型，

我們設\(P(Y=1|x)=π(\bm{x})\)，\(P(Y=0|\bm{x})=1-π(\bm{x})\)，很顯然\(P(Y|\bm{x})\)服從一個伯努利分布，不過這個伯努利分布很復雜，它的引數\(p\)是一個函式\(π(\bm{x})\)，我們這里采用一個抽象的觀念，將函式\(π(\bm{x})\)看做一個整體，這樣\(P(Y|\bm{x})\)服從二項分布，可以方便我們理解，我們的引數\(\bm{θ}=(w, b)\)，不過我們還是采用之前的技巧，將權值向量和輸入向量加以擴充，直接記做\(\bm{θ}=\bm{w}\)，

這樣，對于\(N\)個樣本，定義似然函式：

\[L(\bm{w}|\bm{x}_1,\bm{x}_2,...,\bm{x}_N) = \Pi_{i=1}^N[\pi(\bm{x}_i)]^{y_i}[1-\pi(\bm{x}_i)]^{1-y_i} \]

因為函式比較復雜，我們采用數值優化進行求解，然而這個函式是非凸的，如果直接用數值迭代演算法作用于次函式，可能陷入區域最優解不能保證到收斂到全域最優解，我們為了將其變為負對數似然函式（想一想為什么要取負號），也就是一個凸函式，方便用梯度下降法、牛頓法進行求解：

\[-L(\bm{w}|\bm{x}_1,\bm{x}_2,...,\bm{x}_N) = - \sum_{i=1}^N[y_i\text{log}\space \pi(\bm{x}_i)+(1-y_i)\text{log}(1-\pi(\bm{x}_i))] \]

配湊 \(1/N\)轉換為關于資料經驗分布期望的無偏估計，即\(\mathbb{E}_{\bm{x}\sim \hat{p}_{data}}\text{log}\space p_{model}(\bm{x}_i| \bm{\theta})\)而不改變目標函式的優化方向，

\[- \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N[y_i\text{log}\space \pi(\bm{x}_i)+(1-y_i)\text{log}(1-\pi(\bm{x}_i))] \]

上面這個式子，就是我們在深度學習里面常用的交叉熵損失函式(cross entropy loss function)的特殊情況，（交叉熵損失函式一般是多分類，這里是二分類），后面我們會學習，在深度學習領域中，我們用\(f(\cdot)\)表示神經網路對輸入\(\bm{x}\)加以的映射（這里沒有激活函式，是線性的映射），\(f(\bm{x})\)就是輸出的條件概率分布\(P(Y|\bm{X}=\bm{x})\)，設類別總數為\(K\)，\(\bm{x}_i\)為第\(i\)個樣本的特征向量(特征維度為\(D\))，\(f(\bm{x}_i)\)輸出維度也為\(K\)，\(f(\bm{x}_i)_k\)表示\(P(y_k | \bm{x}_i)\)，因為是多分類，\(P(y_k | \bm{x}_i)\)的計算方法就不能通過\(\text{sigmoid}\)函式來得到了，取而代之是更通用的\(\text{softmax}\)函式，我們給定輸入樣本\(\bm{x}\)，設\(z_k=\sum_{j=1}^Dw_{zj}x_{j}\)，其中\(\textbf{W} ∈\mathbb{R}^{K\times D}\)神經網路的權重矩陣\(D\)為特征向量維度，\(K\)為類別總數，則我們有：

\[f(\bm{x})_k = \text{softmax}(\bm{z})_k=\frac{\text{exp}(z_k)}{\sum_k\text{exp}(z_k)} \]

我們規定第\(i\)個樣本的標簽\(\bm{y}_i\)為\(K\)維one-hot向量，則交叉熵函式表述如下：

\[- \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{k=1}^K y_{ik}\text{log}f(\bm{x}_i)_k \]

因為\(\bm{y}_i\)為 one-hot 向量，只有一個維度為 1，設這個維度為\(c\)（即表示類別\(c\)），則交叉熵函式可以化簡為：

\[- \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \text{log}f(\bm{x}_i)_c \]

很明顯，如果\(f(\bm{x}_i)_c\)越大，表示神經網路預測\(\bm{x}_i\)樣本類別為第\(c\)類的概率越大，這也是目標函式優化的方向——即對于類別為\(c\)的樣本\(\bm{x}_i\)，優化器盡量使樣本\(\bm{x}_i\)被預測為第\(c\)類的概率更大，

如下為使用梯度下降法求解二分類邏輯回歸問題：

import numpy as np
import random
import torch
# batch_size表示單批次用于引數估計的樣本個數
# y_pred大小為(batch_size, 1)
# y大小為(batch_size, )，為類別型變數
def cross_entropy(y_pred, y):
    # 這里y是創建新的物件，這里將y變為(batch_size. 1)形式
    y = y.reshape(-1, 1)
    return -(y*torch.log(y_pred) + (1-y)*torch.log(1-y_pred)).sum()/y_pred.shape[0]

# 前向函式
def logistic_f(X, w): 
    z = torch.matmul(X, w).reshape(-1, 1)
    return 1/(1+torch.exp(-z))

# 之前實作的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, w, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    # 初始化計算圖引數，注意：這里是創建新物件，非引數參考
    w = torch.tensor(w, requires_grad=True)
    X = torch.tensor(X)
    y = torch.tensor(y)
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, w)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            w -= eta*w.grad
        w.grad.zero_()  
    w_star = w.detach().numpy()
    return w_star 

# 本模型按照二分類架構設計
def LR(X, y, n_iter=200, eta=0.001, loss_func=cross_entropy, optimizer=gradient_descent):
    # 初始化模型引數
    # 我們使W和b融合，X后面添加一維
    X = np.concatenate([X, np.ones([X.shape[0], 1])], axis=1)
    w = np.zeros(X.shape[1], dtype=np.float64)
    # 呼叫梯度下降法對函式進行優化
    # 這里采用單次迭代對所有樣本進行估計，后面我們會介紹小批量法減少時間復雜度
    w_star = optimizer(X, w, y, n_iter, eta, loss_func, logistic_f)
    return w_star

if __name__ == '__main__':
    # 資料矩陣，一共4個樣本，每個樣本特征維度為3
    X = np.array([
        [1, 5, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 1, 9],
        [10, 1, 12]
    ], dtype=np.float64)
    # 標簽向量，注意要從0開始編碼
    y = np.array([1, 1, 0, 0], dtype=np.int64)
    # 迭代次數
    n_iter = 200
    # 學習率
    eta = 0.001
    w = LR(X, y, n_iter, eta, cross_entropy, gradient_descent)
    # 學得的權重,最后一維是偏置b
    print(w)

最終學得的權重向量為（最后一維為偏置\(b\)）：

[-0.10717712  0.20524747 -0.06932763  0.01892475]

如下是多分類邏輯回歸問題，我們需要將\(\text{sigmoid}\)函式修改為\(\text{softmax}\)函式，損失函式修改為更為通用的交叉熵函式，根據輸出維度變化將權重向量修改為權重矩陣等，

import numpy as np
import random
import torch
# batch_size表示單批次用于引數估計的樣本個數
# n_feature為特征向量維度
# n_class為類別個數
# y_pred大小為(batch_size, n_class)
# y大小為(batch_size, )，為類別型變數
def cross_entropy(y_pred, y):
    # 這里y是創建新的物件，這里將y變為(batch_size. 1)形式
    y = y.reshape(-1, 1)
    return -torch.log(torch.gather(y_pred, 1, y)).sum()/ y_pred.shape[0]

# 前向函式，注意，這里的sigmoid改為多分類的softmax函式
def logistic_f(X, W): 
    z = torch.matmul(X, W)
    return torch.exp(z)/torch.exp(z).sum()

# 之前實作的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, W, y, n_iter, eta, loss_func, f):
    # 初始化計算圖引數，注意：這里是創建新物件，非引數參考
    W = torch.tensor(W, requires_grad=True)
    X = torch.tensor(X)
    y = torch.tensor(y)
    for i in range(1, n_iter+1):
        y_pred = f(X, W)
        loss_v = loss_func(y_pred, y)
        loss_v.backward() 
        with torch.no_grad(): 
            W -= eta*W.grad
        W.grad.zero_()  
    W_star = W.detach().numpy()
    return W_star 

# 本模型按照多分類架構設計
def LR(X, y, n_iter=200, eta=0.001, loss_func=cross_entropy, optimizer=gradient_descent, n_class=2):
    # 初始化模型引數
    # 我們使W和b融合，X后面添加一維
    X = np.concatenate([X, np.ones([X.shape[0], 1])], axis=1)
    W = np.zeros((X.shape[1], n_class), dtype=np.float64)
    # 呼叫梯度下降法對函式進行優化
    # 這里采用單次迭代對所有樣本進行估計，后面我們在深度學習專欄中會介紹小批量法
    W_star = optimizer(X, W, y, n_iter, eta, loss_func, logistic_f)
    return W_star

if __name__ == '__main__':
    X = np.array([
        [1, 5, 3],
        [4, 5, 6],
        [7, 1, 9],
        [10, 1, 12]
    ], dtype=np.float64)
    # 標簽向量，注意要從0開始編碼
    y = np.array([1, 2, 0, 0], dtype=np.int64)
    # 迭代次數
    n_iter = 200
    # 學習率
    eta = 0.001
    # 分類類別數
    n_class = 3
    W = LR(X, y, n_iter, eta, cross_entropy, gradient_descent, n_class)
    # 學得的權重矩陣，最后一行是偏置向量
    print(W)

最終學得的權重為（同樣，最后一行為偏置向量\(\bm{b}\)，因為是多分類，每一個類別維度\(k\)都會對應一個偏置\(b_k\))：

[[ 0.07124357 -0.10592994 -0.03893547]
 [-0.13648944  0.10387124  0.07448013]
 [ 0.04985565 -0.08291154 -0.04056595]
 [-0.01069396  0.0115092  -0.00081524]]

數學是符號的藝術，音樂是上界的語言，

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