3D小紅花的繪制原理

前言

??在上篇博客中使用了matplotlib繪制了3D小紅花，本篇博客主要介紹一下3D小紅花的繪制原理，

1. 極坐標系

??對于極坐標系中的一點 P P P，我們可以用極徑 r r r 和極角 θ \theta θ 來表示，記為點 P ( r , θ ) P(r, \theta) P(r,θ)，其相關知識在高中就已經介紹，這里不再贅述，
??使用matplotlib繪制極坐標系：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
    # 極徑
    r = np.arange(10)
    # 角度
    theta = 0.5 * np.pi * r

    fig = plt.figure()
    plt.polar(theta, r, c='r', marker='o', ms=3, ls='-', lw=1)
    # plt.savefig('img/polar1.png')
    plt.show()

??使用matplotlib繪制極坐標散點圖：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
	r = np.linspace(0, 10, num=10)
    theta = 2 * np.pi * r
    area = 3 * r ** 2

    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.scatter(theta, r, c=theta, s=area, cmap='hsv', alpha=0.75)
    # plt.savefig('img/polar2.png')
    plt.show()

??有關matplotlib極坐標的引數更多介紹，可參閱官網手冊，

2. 極坐標系花瓣

??繪制 r = s i n ( θ ) r=sin(\theta) r=sin(θ) 在極坐標系下的影像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1, 1, num=5), labels='')

    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=200)
    r = np.sin(theta)
    ax.plot(theta, r)
    # plt.savefig('img/polar3.png')
    plt.show()

??以 2 π 2\pi 2π 為一個周期，增加影像的旋轉周期：

r = np.sin(2 * theta)

??繼續增加影像的旋轉周期：

r = np.sin(3 * theta)
r = np.sin(4 * theta)

??然后我們可以通過調整極徑系數和角度系數來調整影像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1, 1, num=5), labels='')

    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=200)
    r1 = np.sin(4 * (theta + np.pi / 8))
    r2 = 0.5 * np.sin(5 * theta)
    r3 = 2 * np.sin(6 * (theta + np.pi / 12))

    ax.plot(theta, r1)
    ax.plot(theta, r2)
    ax.plot(theta, r3)
    # plt.savefig('img/polar4.png')
    plt.show()

3. 三維花瓣

??現在可以將花瓣放置在三維空間上了，根據花瓣的生成規律，其花瓣外邊緣線在一條旋轉內縮的曲線上，這條曲線的極徑 r r r 隨著角度的增大逐漸變小，其高度 h h h 逐漸變大，
??因此我們在 f ( x ) = e ? x f(x) = e^{-x} f(x)=e?x 的基礎之上定義了一個遞減函式，保證其值域在 ( 0 , π 2 ] (0, \frac {\pi} {2}] (0,2π?]，新的函式為： f ( θ ) = π 2 e ? θ f(\theta)=\frac {\pi} {2} e^{-\theta} f(θ)=2π?e?θ??其函式影像如下：
??這樣定義 r = s i n ( f ) , h = c o s ( f ) r=sin(f), h=cos(f) r=sin(f),h=cos(f) 就滿足前面對花瓣外邊緣曲線的假設了，即 r r r 遞減， h h h 遞增，
??現在將其放在三維空間中：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
    fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    # plt.axis('off')

    x = np.linspace(0, 1, num=30)
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
    theta = 30 * theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)

    # f is a decreasing function of theta
    f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

    r = x * np.sin(f)
    h = x * np.cos(f)

	# 極坐標轉笛卡爾坐標
    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.cool)

    # plt.savefig('img/polar5.png')
    plt.show()

??笛卡爾坐標系(Cartesian coordinate system)，即直角坐標系，

??然而，上述的表達仍然沒有得到花瓣的細節，因此我們需要在此基礎之上進行處理，以得到花瓣形狀，因此設計了一個花瓣函式：
f ( θ ) = 1 ? 1 ? ∣ s i n ( θ 2 ) ∣ 2 f(\theta) = 1 - \frac {1 - |sin(\frac {\theta} {2})|} {2} f(θ)=1?21?∣sin(2θ?)∣???其是一個以 2 π 2\pi 2π 為周期的周期函式，其值域為 [ 0.5 , 1.0 ] [0.5, 1.0] [0.5,1.0]，影像如下圖所示：

??再次繪制：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    # plt.axis('off')

    x = np.linspace(0, 1, num=30)
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
    theta = 30 * theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)

    # f is a decreasing function of theta
    f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

	# 通過改變函式周期來改變花瓣的形狀
	# 改變值域也可以改變花瓣形狀
	# u is a periodic function
    u = 1 - (1 - np.absolute(np.sin(3.3 * theta / 2))) / 2
    r = x * u * np.sin(f)
    h = x * u * np.cos(f)
	
	# 極坐標轉笛卡爾坐標
    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)

    # plt.savefig('img/polar6.png')
    plt.show()

4. 花瓣微調

??為了使花瓣更加真實，使花瓣的形態向下凹，因此需要對花瓣的形狀進行微調，這里添加一個修正項和一個噪聲擾動，修正函式影像為：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    # plt.axis('off')

    x = np.linspace(0, 1, num=30)
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
    theta = 30 * theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)

    # f is a decreasing function of theta
    f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

    noise = np.sin(theta) / 30
    # u is a periodic function
    u = 1 - (1 - np.absolute(np.sin(3.3 * theta / 2))) / 2 + noise

    # y is a correction function
    y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(f)
    r = u * (x * np.sin(f) + y * np.cos(f))
    h = u * (x * np.cos(f) - y * np.sin(f))

    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)

    # plt.savefig('img/polar7.png')
    plt.show()

??修正前后影像區別對比如下：

5. 結束語

??3D花的繪制主要原理是極坐標，通過正弦/余弦函式進行旋轉變形構造，引數略微變化就會出現不同的花朵，有趣！