1.如何理解卷積？

筆記來源：【小影片】徹底理解卷積【超形象】卷的由來，小元老師

1.1 角度一（概率統計）

概率中的卷積提供了一種得到隨機變數之和的概率密度函式方式，卷積是一種運算，概率中用 ? \ast ?來表示

以兩個隨機變數為例
兩個相互獨立的隨機變數 X X X和隨機變數 Y Y Y的概率密度函式通過卷積得到隨機變數之和 X + Y X+Y X+Y的概率密度函式

假設第一行為某人數學考試的可能得分、第二行為某人英語考試的可能得分【假設滿分20】
獲得每個分數的概率為 1 / 20 1/20 1/20，此人兩科總分為35分的概率是多少？

S ( 35 ) = f ( 15 ) g ( 35 ? 15 ) + f ( 16 ) g ( 35 ? 16 ) + f ( 17 ) g ( 35 ? 17 ) + f ( 18 ) g ( 35 ? 18 ) + f ( 19 ) g ( 35 ? 19 ) + f ( 20 ) g ( 35 ? 20 ) S ( 35 ) = f ( 15 ) g ( 20 ) + f ( 16 ) g ( 19 ) + f ( 17 ) g ( 18 ) + f ( 18 ) g ( 19 ) + f ( 19 ) g ( 16 ) + f ( 20 ) g ( 15 ) S ( 35 ) = 1 20 ? 1 20 + 1 20 ? 1 20 + 1 20 ? 1 20 + 1 20 ? 1 20 + 1 20 ? 1 20 + 1 20 ? 1 20 = 6 20 S(35)=f(15)g(35-15)+f(16)g(35-16)+f(17)g(35-17)+f(18)g(35-18)+f(19)g(35-19)+f(20)g(35-20)\\ ~\\ S(35)=f(15)g(20)+f(16)g(19)+f(17)g(18)+f(18)g(19)+f(19)g(16)+f(20)g(15)\\ ~\\ S(35)=\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}=\frac{6}{20}\\ S(35)=f(15)g(35?15)+f(16)g(35?16)+f(17)g(35?17)+f(18)g(35?18)+f(19)g(35?19)+f(20)g(35?20) S(35)=f(15)g(20)+f(16)g(19)+f(17)g(18)+f(18)g(19)+f(19)g(16)+f(20)g(15) S(35)=201??201?+201??201?+201??201?+201??201?+201??201?+201??201?=206?

S ( z ) = ∑ n f ( x n ) g ( y n ) z = x n + y n 、 y n = z ? x n S ( z ) = ∑ n f ( x n ) g ( z ? x n ) S(z)=\sum_{n}f(x_n)g(y_n)\\ ~\\ z=x_n+y_n、y_n=z-x_n\\ ~\\ S(z)=\sum_{n}f(x_n)g(z-x_n) S(z)=n∑?f(xn?)g(yn?) z=xn?+yn?、yn?=z?xn? S(z)=n∑?f(xn?)g(z?xn?)
為方便上下兩行能夠很好的對應起來，我們將上面一行進行翻轉

如果將上面的兩行資料放置到坐標軸上，下圖中的斜線為兩個變數的和的所有情況

1.2 角度二（信號處理）

參考自：最容易理解的對卷積(convolution)的解釋

在打巴掌程序中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度與之前每次打你都有關！但是各次的貢獻是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻越小，所以這就是說，某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數之后的疊加而形成某一點的輸出，然后再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函式，這就是卷積
f(a)就是第a個巴掌，g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度，乘起來再疊加就是卷積，卷積之后的函式就是你臉上的包，其大小隨時間變化的函式

截圖來源：【小影片】徹底理解卷積【超形象】卷的由來，小元老師

【注：本人未學過信號與系統，只是簡單套用，概念套用不一定正確】

我們設輸入信號的函式為 f ( t ) f(t) f(t)，信號衰減系數的函式為 g ( z ? t ) g(z-t) g(z?t)
則第9s時信號有多少？【0-9s期間不斷有信號輸入，期間也有信號衰減】
s ( 9 ) = ∫ 0 9 f ( t ) g ( 9 ? t ) d t s(9)=\int_0^9f(t)g(9-t)dt s(9)=∫09?f(t)g(9?t)dt