數論：研究整數
算識訓本定理
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若整數 n > 1，則 n 可以寫為一系列的質數之積
\[n=p_1\cdot{p_2}\cdot{p_3}\ldots \]上述可以拓展為分解質因數，并且又因為可能存在 \(p_i = p_j\)，所以可推匯出一下公式
\[n=p_1^{\alpha_1}\cdot{p_2^{\alpha_2}}\cdot{p_3^{\alpha_3}}\ldots \]分解質因數 + 合并同類項 → 上述公式
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當且僅當 \(a|n\)，得到以下公式
\[a=p_1^{\beta_1}\cdot{p_1^{\beta_2}}\cdot{p_1^{\beta_3}}\ldots \]注：其中 \(\beta_i\leq\alpha_i\)
整除
- \(若b|a(a\neq0)，則|b|\leq|a|\)
- \(若b|a且a|b，則|b|\leq|a|\)
- \(若b|a且a|c，則b|c\)
- \(若b|a，則bc|ac\)
- \(若b|a且b|c，則b|(ma+nc)\)
gcd與lcm
gcd：最大公約數 \((a,b)\)
lcm：最小公倍數 \([a,b]\)
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\((a,b)\cdot{[a,b]}=a\cdot b\)
\([a,b]=a\cdot{b/(a,b)}\) -
裴蜀定理：
\((a,b)=1，則\exist{ma+nb=1}\)
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勒讓德定理
\(n=p_1^{\alpha_1}\cdot{p_2^{\alpha_2}}\cdot{p_3^{\alpha_3}}\ldots\)
\(\alpha_i=\lfloor{\frac{n}{p_1}}\rfloor+\lfloor{\frac{n}{p_2}}\rfloor+\lfloor{\frac{n}{p_3}}\rfloor\ldots\)
同余理論
a，b 除以 m 所得余數相同，則稱 a，b 模 m 同余，記作\(a\equiv{b}\pmod{m}\)
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\(a\equiv{b}\pmod{m},b\equiv{c}\pmod{m}\Rightarrow{a}\equiv{c}\pmod{m}\)
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\(a_1\equiv{b_1}\pmod{m},a_2\equiv{b_2}\pmod{m}\Rightarrow{a_1}\pm{b_1}\equiv{a_2}\pm{b_2}\pmod{m}或 a_1\cdot{b_1}\equiv{a_2}\cdot{b_2}\pmod{m}\)
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\(a\equiv{b}\pmod{m}\Rightarrow{n}\cdot{a}\equiv{n}\cdot{b}\pmod{m}\)
完全平方數
若\(a=n^2\)，則稱 a 是完全平方數
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平方數個位數字有且僅有：0，1，4，5，6，9
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\((2k)^2=4的倍數\)
\((2k+1)^2=4k^2+4k+1=4的倍數+1\)
\(=4k(k+1)+1=8的倍數+1\) -
\(n^2\equiv{0}\pmod{4}或n^2\equiv{1}\pmod{4}\)
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\(n^{4p+q}\equiv{n^q}\pmod{10}\)
\(9^k的個位數\)：9，1，9，1，9，1 ...
\(7^k的個位數\)：7，9，3，1，7，9 ...
\(8^k的個位數\)：8，4，2，6，8，4 ...
由上述可知，個位數4輪一個回圈
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