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「學習筆記」高斯消元

2022-08-04 08:48:18 其他

「學習筆記」高斯消元

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目錄
  • 「學習筆記」高斯消元
    • 演算法
      • 思路
      • 代碼
      • 例題:[SDOI2006]線性方程組
        • 思路
        • 代碼
    • 練習題
      • [JSOI2008]球形空間產生器
        • 思路
        • 代碼
      • [USACO10HOL]Driving Out the Piggies G
        • 思路
        • 代碼

注意：本文內的高斯消元均是「高斯-約旦消元法（\(\text{Gauss-Jordan Elimination}\)）」，

演算法

思路

我們舉個例子：

\[\begin{cases} x_2+x_3&=3\\ x_1+2x_3&=9\\ 2x_1+x_2+x_3&=13 \end{cases} \]

我們把它的所有系數化為矩陣 \(A\)：

\[\left[\begin{matrix} 0&1&1\\ 1&0&2\\ 2&1&1\\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 3 \\ 9 \\ 13 \end{matrix} \right] \]

然后開始推：

  1. 首先遍歷第 \(i\) 列的第 \(i\) 行至 \(n\) 行（因為前 \(i-1\) 行已經形成陣型了，不能破壞），找出這一列最大的系數，并將那一行交換至第 \(i\) 行，（當前 \(i=1\)）

\[\left[\begin{matrix} 2&1&1\\ 1&0&2\\ 0&1&1\\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 13 \\ 9 \\ 3 \\ \end{matrix} \right] \]

  1. 然后判斷解，即判斷 \(A_{i,i}\) 是否為零，若為零則無唯一解，否則有唯一解，（這個例子顯然有唯一解）

  2. 系數化為一，即將 \(A_{i,j}(i<j\le n+1)\) 除以 \(A_{i,i}\)，再將 \(A_{i,i}\) 除以自己得 \(1\)，

\[\left[\begin{matrix} 1&0.5&0.5\\ 1&0&2\\ 0&1&1\\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 6.5 \\ 9 \\ 3 \\ \end{matrix} \right] \]

  1. 然后用加減消元法消掉一部分元：

\[\left[\begin{matrix} 1&0.5&0.5\\ 0&-0.5&1.5\\ 0&1&1\\ \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 6.5 \\ 2.5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right] \]

  1. 重復上述步驟：

\[\left[\begin{matrix} 1&0.5&0.5\\ 0&-0.5&1.5\\ 0&1&1\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 6.5 \\ 2.5 \\ 3 \\ \end{matrix}\right] \Longrightarrow \left[\begin{matrix} 1&0.5&0.5\\ 0&1&1\\ 0&-0.5&1.5\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 6.5 \\ 3 \\ 2.5 \\ \end{matrix}\right] \Longrightarrow \left[\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&2\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\right] \Longrightarrow \left[\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 2 \\ \end{matrix}\right] \Longrightarrow \left[\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 2 \\ \end{matrix}\right] \]

所有操作步驟完成，最后得到解：

\[\begin{cases} x_1=5\\ x_2=1\\ x_3=2\\ \end{cases} \]

時間復雜度 \(\Theta(n^3)\)，

注意：輸入不要用快讀，雖然有的題輸入只有整數，但很多題都不是！

代碼

點擊查看代碼 
inline void Gauss(){
	_for(i,1,n){
		ll mx=i;
		_for(j,i+1,n)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))mx=j;
		_for(j,1,n+1)swap(a[i][j],a[mx][j]);
		if(fabs(a[i][i])<eps){puts("No Solution");return;}
		_for(j,i+1,n+1)a[i][j]/=a[i][i];
		a[i][i]=1;
		_for(j,1,n){
			if(i==j)continue;
			_for(k,i+1,n+1)a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
		}
	}
	_for(i,1,n)printf("%.2lf\n",a[i][n+1]);
}

例題:[SDOI2006]線性方程組

思路

本題主要難點在于如何區分無解和無限組解，

舉個例子：

\[A= \left[\begin{matrix} 1&0&1\\ 0&2&1\\ 1&2&2\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 1&0&1\\ 0&2&1\\ 1&2&2\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 7 \\ \end{matrix}\right], C= \left[\begin{matrix} 1&0&1\\ 0&2&1\\ 1&1&2\\ \end{matrix}\middle|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ \end{matrix}\right] \]

  • 在 \(A\) 中，第三行的前 \(3\) 項是前兩行相加的結果，第 \(4\) 項也是，所以有用的行只有兩個（這個數量稱為秩），有一個數是不確定的，所以有不唯一解，

  • 在 \(B\) 中，第三行的前 \(3\) 項是前兩行相加的結果，但第 \(4\) 項不是，會出現 \(0=2\) 的情況，所以無解，

  • 在 \(C\) 中，它的秩是 \(3\)，所以有唯一解：

\[\begin{cases} x_1=-1\\ x_2=0\\ x_3=3\\ \end{cases} \]

歸納一下：

  • 若秩不等于未知數的數量且消元后出現 \(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}=0\) 且 \(a_{i,n+1}\neq0\) 的情況，則無解，

  • 若秩不等于未知數的數量且消元后出現 \(\sum_{j=1}^{n+1}a_{i,j}=0\) 的情況，則有無陣列解，

  • 否則有唯一解，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=110,inf=1ll<<40;
const double eps=1e-9;
ll n,l=1;db a[N][N];
namespace SOLVE{
	inline void Gauss(){
		_for(i,1,n){
			ll mx=l;
			_for(j,l+1,n)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))mx=j;
			if(fabs(a[mx][i])<eps)continue;
			swap(a[mx],a[l]);
			_for(j,i+1,n+1)a[l][j]/=a[l][i];
			a[l][i]=1;
			_for(j,1,n){
				if(j==l)continue;
				_for(k,i+1,n+1)a[j][k]-=a[l][k]*a[j][i];
			}
			++l;
		}
	}
	inline void Jie(){
		if(l<=n){
			_for(i,l,n)if(fabs(a[i][n+1])>eps){puts("-1");return;}
			puts("0");return;
		}
		_for(i,1,n){
			printf("x%lld=%.2lf\n",i,a[i][n+1]);
		}
	}
	inline void In(){
		scanf("%lld",&n);
		_for(i,1,n)_for(j,1,n+1)scanf("%lf",&a[i][j]);
		Gauss();
		Jie();
		return;
	}
}

練習題

[JSOI2008]球形空間產生器

思路

設球心為 \(p(p_1,p_2,\cdots,p_n)\)，可列式子：

\[\begin{aligned} r=&(a_{1,1}-p_1)^2+(a_{1,2}-p_2)^2+\cdots+(a_{1,n}-p_n)^2\\ =&(a_{2,1}-p_1)^2+(a_{2,2}-p_2)^2+\cdots+(a_{2,n}-p_n)^2\\ =&\cdots\\ =&(a_{n+1,1}-p_1)^2+(a_{n+1,2}-p_2)^2+\cdots+(a_{n+1,n}-p_n)^2\\ \end{aligned} \]

拆一下得：

\[\begin{aligned} r=&(a_{1,1}^2-2a_{1,1}p_1+p_1^2)+(a_{1,2}^2-2a_{1,2}p_2+p_2^2)+\cdots+(a_{1,n}^2-2a_{1,n}p_n+p_n^2)\\ =&(a_{2,1}^2-2a_{2,1}p_1+p_1^2)+(a_{2,2}^2-2a_{2,2}p_2+p_2^2)+\cdots+(a_{2,n}^2-2a_{2,n}p_n+p_n^2)\\ =&\cdots\\ =&(a_{n+1,1}^2-2a_{n+1,1}p_1+p_1^2)+(a_{n+1,2}^2-2a_{n+1,2}p_2+p_2^2)+\cdots+(a_{n+1,n}^2-2a_{n+1,n}p_n+p_n^2)\\ \end{aligned} \]

化簡得：

\[\begin{aligned} r=&\sum_{i=1}^{n}a_{1,i}^2-\sum_{i=1}^{n}2a_{1,i}p_i\\ =&\sum_{i=1}^{n}a_{2,i}^2-\sum_{i=1}^{n}2a_{2,i}p_i\\ =&\cdots\\ =&\sum_{i=1}^{n}a_{n+1,i}^2-\sum_{i=1}^{n}2a_{n+1,i}p_i\\ \end{aligned} \]

即：

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}^2=&r+\sum_{i=1}^{n}2a_{1,i}p_i\\ \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}^2=&r+\sum_{i=1}^{n}2a_{2,i}p_i\\ \cdots=&r+\cdots\\ \sum_{i=1}^{n}a_{n+1,i}^2=&r+\sum_{i=1}^{n}2a_{n+1,i}p_i\\ \end{aligned} \]

發現就是個方程，但是這個 \(r\) 混在里面很難受，那么我們把它當成一個系數為 \(1\) 的未知數，則原式可以化成如下增廣矩陣：

\[\left[ \begin{matrix} 2a_{1,1}&2a_{1,2}&\cdots&2a_{1,n}&1\\\\ 2a_{2,1}&2a_{2,2}&\cdots&2a_{2,n}&1\\\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&1\\\\ 2a_{n+1,1}&2a_{n+1,2}&\cdots&2a_{n+1,n}&1 \end{matrix} \middle| \begin{matrix} \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}^2\\\\ \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}^2\\\\ \cdots\\\\ \sum_{i=1}^{n}a_{n+1,i}^2\\ \end{matrix} \right] \]

就可以直接高斯消元了，

Latex 當算草紙真好用，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=20,inf=1ll<<40;
const double eps=1e-6;
ll n;ldb a[N][N];
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline void Gauss(){
		_for(i,1,n){
			ll mx=i;
			_for(j,i+1,n)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))mx=j;
			swap(a[mx],a[i]);
			_for(j,i+1,n+1)a[i][j]/=a[i][i];
			a[i][i]=1.0;
			_for(j,1,n){
				if(i==j)continue;
				for_(k,n+1,i)a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
			}
		}
	}
	inline void In(){
		scanf("%lld",&n),++n;
		_for(i,1,n){
			_for(j,1,n-1){
				scanf("%Lf",&a[i][j]);
				a[i][n+1]+=a[i][j]*a[i][j];
				a[i][j]*=2.0;
			}
			a[i][n]=1;
		}
		Gauss();
		_for(i,1,n-1)printf("%.3Lf ",a[i][n+1]);
		return;
	}
}

[USACO10HOL]Driving Out the Piggies G

思路

好題，還對高斯消元能出什么題沒什么認知就 重繪了我對高斯消元能出什么題的認知，

我們設到節點 \(i\) 的期望步數為 \(x_i\)，節點 \(i\) 在圖上的出度為 \(d_i\)，

那么顯然：

\[x_i=[i=1]+\sum_{(i,j)\in\mathbb{E}}x_j\times(1-\frac{p}{q})\times d_j \]

顯然 \(x_i\times\frac{p}{q}\) 為實際爆炸的概率，那么考慮如何求 \(x_i\)，我們進行一個移項：

\[x_i-\sum_{(i,j)\in\mathbb{E}}x_j\times(1-\frac{p}{q})\times d_j=[i=1] \]

直接沖一個高斯消元即可，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=310,inf=1ll<<40;
const double eps=1e-13;
ll n,m,tu[N][N];ldb p,q,d[N],a[N][N];
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline void Pre(){
		a[1][n+1]=1;
		_for(i,1,n){
			_for(j,1,n){
				if(i==j)a[i][j]=1.0;
				else if(tu[i][j])a[i][j]=-(1.0-p/q)/d[j];
			}
		}
	}
	inline void Gauss(){
		_for(i,1,n){
			ll mx=i;
			_for(j,i+1,n)if(a[mx][i]<a[j][i])mx=j;
			swap(a[mx],a[i]);
			_for(j,i+1,n+1)a[i][j]/=a[i][i];
			a[i][i]=1;
			_for(j,1,n){
				if(i==j)continue;
				for_(k,n+1,i)a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i];
			}
		}
	}
	inline void In(){
		scanf("%lld%lld%Lf%Lf",&n,&m,&p,&q);
		_for(i,1,m){
			ll x=rnt(),y=rnt();
			d[x]+=1.0,d[y]+=1.0;
			tu[x][y]=tu[y][x]=1;
		}
		Pre(),Gauss();
		_for(i,1,n)printf("%.9Lf\n",a[i][n+1]*p/q);
		return;
	}
}

\[\Huge{\mathfrak{The\ End}} \]

本文來自博客園，作者：Keven-He，轉載請注明原文鏈接：https://www.cnblogs.com/Keven-He/p/GaussElimination.html

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/500769.html

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    uj5u.com 2023-04-20 07:42:17 more
  • 在MacOS下使用Unity3D開發游戲

    第一次發博客，先發一下我的游戲開發環境吧。 去年2月份買了一臺MacBookPro2021 M1pro(以下簡稱mbp)，這一年來一直在用mbp開發游戲。我大致分享一下我的開發工具以及使用體驗。 1、Unity 官網鏈接： https://unity.cn/releases 我一般使用的Apple ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:40:19 more

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