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「學習筆記」矩陣乘法與矩陣快速冪

2022-08-06 09:58:14 其他

「學習筆記」矩陣乘法與矩陣快速冪

點擊查看目錄

目錄
  • 「學習筆記」矩陣乘法與矩陣快速冪
    • 矩陣乘
      • 演算法
      • 代碼
    • 矩陣快速冪
      • 演算法
      • 用處
      • 代碼（模板題）
    • 練習題
      • 斐波那契數列
        • 思路
        • 代碼
      • [SCOI2009] 迷路
        • 思路
        • 代碼
      • 佳佳的 Fibonacci
        • 思路
        • 代碼
      • 選拔隊員（不知道教練從哪里找的）
        • 題意
        • 思路
        • 代碼
      • Tr A
        • 思路
        • 代碼

為什么說文章里多次出現「沖一個矩陣快速冪就行了」：一看斯該喝的 \(Au\) 記就看到了這句話，并對這句話留下了深刻的印象，

釣評論：有人敢幫我@斯該喝嗎，

矩陣乘

演算法

矩陣 \(A\) 規模為 \(n\times m\)，矩陣 \(B\) 規模為 \(m\times q\)，設 \(C=A\times B\)，則：

\[C_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A_{i,k}*B_{k,j} \]

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=110,inf=1ll<<40;
ll n,m,p;
class Matrix{
public:
	ll mat[N][N];
	inline ll* operator[](ll x){return mat[x];}
	inline Matrix operator*(Matrix ma)const{
		Matrix mt;
		_for(i,1,n){
			_for(j,1,p){
				mt[i][j]=0;
				_for(k,1,m)mt[i][j]+=mat[i][k]*ma[k][j];
			}
		}
		return mt;
	}
}a,b;
inline void print(Matrix ma){
	_for(i,1,n){
		_for(j,1,p)printf("%lld ",ma[i][j]);
		puts("");
	}
	return;
}
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline void In(){
		n=rnt(),m=rnt();
		_for(i,1,n)_for(j,1,m)a[i][j]=rnt();
		p=rnt();
		_for(i,1,m)_for(j,1,p)b[i][j]=rnt();
		print(a*b);
		return;
	}
}

矩陣快速冪

演算法

沒啥好說的吧（

多載一下運算子然后沖一個矩陣快速冪就行了，

用處

  • 優化遞推式，例：斐波那契數列

代碼（模板題）

點擊查看代碼 
const ll N=110,P=1e9+7,inf=1ll<<40;
ll n,k;
class Mat{
public:
	ll a[N][N];
	inline ll* operator[](ll x){return a[x];}
	inline void one(){_for(i,1,n)a[i][i]=1;}
	inline Mat operator*(Mat ma){
		Mat mt;
		_for(i,1,n){
			_for(j,1,n){
				mt[i][j]=0;
				_for(k,1,n)mt[i][j]=(mt[i][j]+a[i][k]*ma[k][j]%P)%P;
			}
		}
		return mt;
	}
}a;
inline void printf(Mat ma){
	_for(i,1,n){
		_for(j,1,n)printf("%lld ",ma[i][j]);
		puts("");
	}
	return;
}
inline Mat fpow(Mat ma,ll b){
	Mat ans;ans.one();
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*ma;
		ma=ma*ma,b>>=1;
	}
	return ans;
}
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline void In(){
		n=rnt(),k=rnt();
		_for(i,1,n)_for(j,1,n)a[i][j]=rnt();
		printf(fpow(a,k));
		return;
	}
}

練習題

斐波那契數列

思路

眾所周知斐波那契數列的遞推式是 \(Fib_n=Fib_{n-1}+Fib_{n-2}\)，\(\Theta(n)\) 本可以解決，但本題 \(n<2^{63}\)，顯然需要 \(\log_2n\) 演算法，考慮優化，

我們設 \(F(n)\) 表示矩陣 \(\left[Fib_n,Fib_{n-1}\right]\)，如果我們要把它變成 \(F(n+1)=\left[Fib_{n+1},Fib_n\right]\)，則需要把 \(F(n)_{1,1}\) 挪到 \(F(n+1)_{1,2}\) ，把 \(F(n)_{1,1}+F(n)_{1,2}\) 挪到 \(F(n+1)_{1,1}\)，

嘗試用矩陣優化這個東西，

我們可以發現：

\[\begin{aligned} F(n+1)&=\left[\begin{matrix}Fib_n+1&Fib_n\end{matrix}\right]\\ &=\left[\begin{matrix}Fib_n*1+Fib_{n-1}*1&Fib_n*1+Fib_{n-1}*0\end{matrix}\right]\\ &=\left[\begin{matrix}F(n)_{1,1}*1+F(n)_{1,2}*1&F(n)_{1,1}*1+F(n)_{1,2}*0\end{matrix}\right]\\ \end{aligned} \]

那么設 \(M=\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]\)，則:

\[\begin{aligned} F(n+1)&=\left[\begin{matrix}F(n)_{1,1}\times M_{1,1}+F(n)_{1,2}\times M_{2,1}&F(n)_{1,1}\times M_{1,2}+F(n)_{1,2}\times M_{2,2}\end{matrix}\right]\\ &=F(n)\times M \end{aligned} \]

然后沖一個矩陣快速冪就行了，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=5,inf=1ll<<40;
ll n,m;
class Mat{
public:
	ll a[N][N];
	inline ll* operator[](ll x){return a[x];}
	friend Mat Mul(Mat m1,Mat m2){
		Mat an;
		_for(i,1,2){
			_for(j,1,2){
				an[i][j]=0;
				_for(k,1,2)an[i][j]=(an[i][j]+m1[i][k]*m2[k][j]%m)%m;
			}
		}
		return an;
	}
};
inline Mat fpow(ll b){
	Mat ans;ans[1][1]=ans[1][2]=1,ans[2][1]=ans[2][2]=0;
	Mat ma;ma[1][1]=ma[1][2]=ma[2][1]=1,ma[2][2]=0;
	while(b>0){
		if(b&1)ans=Mul(ans,ma);
		ma=Mul(ma,ma),b>>=1;
	}
	return ans;
}
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline void In(){
		n=rnt(),m=rnt();
		Mat ans=fpow(n-2);
		printf("%lld\n",ans[1][1]);
		return;
	}
}

[SCOI2009] 迷路

思路

設 \(f_{i,j}\) 表示 \(j\) 時刻到點 \(i\) 的方案數，轉移方程：

\[f_{i,j}=\sum_{(i,k)\in\mathbb{E}}f_{k,j-w_{i,k}} \]

不是很可做，那我們先考慮邊權只有 \(0\) 和 \(1\)的情況，可以發現轉移方程能直接這樣寫：

\[f_{i,j}=\sum_{1\le j\le n}w_{i,k}\times f_{k,j-1} \]

發現又是個矩陣乘法，直接沖一個矩陣快速冪就行了，

但是本題邊權不只有 \(0\) 和 \(1\)，不能直接沖，

那么我們對一個點進行拆點，如下圖：

image

拆成

image

看起來有點復雜，但懂了之后好理解的，

拆完之后直接沖一個矩陣快速冪就行了，

開做發現沖一個矩陣快速冪就行了，

然而有一個邊權不一定為一的限制，所以暴力把點拆進一個矩陣，就可以只用矩陣快速冪來做這道題了，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=110,P=2009,inf=1ll<<40;
ll n,m,t,g[N][N];
class Mat{
public:
	ll a[N][N];
	inline ll* operator[](ll x){return a[x];}
	inline void one(){_for(i,1,m)a[i][i]=1;return;}
	inline Mat operator*(Mat ma){
		Mat ans;
		_for(i,1,m){
			_for(j,1,m){
				ans[i][j]=0;
				_for(k,1,m)ans[i][j]=(ans[i][j]+a[i][k]*ma[k][j]%P)%P;
			}
		}
		return ans;
	}
}tu;
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline ll rsnt(){
		char c=getchar();
		while(!isdigit(c))c=getchar();
		return (c^48);
	}
	inline Mat fpow(Mat ma,ll b){
		Mat ans;ans.one();
		while(b){
			if(b&1)ans=ans*ma;
			ma=ma*ma,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	inline void Zhuan(){
		_for(i,1,n){
			_for(j,1,9){
				ll k=10*(i-1)+j;
				tu[k][k+1]=1;
			}
			_for(j,1,n){
				ll k1=10*(i-1);
				ll k2=10*(j-1);
				if(g[i][j])tu[k1+g[i][j]][k2+1]=1;
			}
		}
		return;
	}
	inline void In(){
		n=rnt(),t=rnt();
		_for(i,1,n)_for(j,1,n)g[i][j]=rsnt();
		m=10*n,Zhuan();
		Mat ans=fpow(tu,t);
		printf("%lld\n",ans[1][m-9]);
		return;
	}
}

佳佳的 Fibonacci

思路

題目背景有時候不是白給的，

這道題中，聯系題目背景可以發現原式可以化簡為：

\[\begin{aligned} T(n)&=(F_1+F_2+\cdots+F_n)+(F_2+F_3\cdots+F_n)+(F_3+F_4+\cdots+F_n)+\cdots+(F_{n-1}+F_n)+F_n\\ &=(S(n)-S(0))+(S(n)-S(1))+(S(n)-S(3))+\cdots+(S(n)-S(n-2))+(S(n)-S(n-1))\\ &=\sum_{i=1}^{n}S(n)-S(i-1) \end{aligned} \]

通過題目背景可知：

可這（指 \(S(n)\)）對佳佳來說還是小菜一碟，

那么我們就去算 \(S(n)\)，好像有點斷章取義，

\[\begin{aligned} S(n)&=\sum_{i=1}^{n}F_i\\ &=\sum_{i=1}^{n}F_{i-1}+F_{i-2}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}F_{i}+\sum_{i=-1}^{n-2}F_{i}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}F_{i}+\sum_{i=0}^{n-2}F_{i}+F_{-1}\\ &=S(n-1)+S(n-2)+1 \end{aligned} \]

同時，\(S(n)=S(n-1)+F_n\)，所以 \(S(n)=F_{n+2}-1\)，

為啥 $F_{-1}=1$ 啊？

\[\begin{aligned} \because &F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\\ \therefore &F_1=F_0+F_{-1}\\ &1=0+F_{-1}\\ \therefore &F_{-1}=1\\ &同理可得：\\ &F_{-2}=-1,F_{-3}=2,F_{-4}=-3,F_{-5}=5,\cdots,F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n \end{aligned} \]

然后往原式子里帶：

\[\begin{aligned} T(n)&=\sum_{i=1}^{n}S(n)-S(i-1)\\ &=\sum_{i=1}^{n}(F_{n+2}-1)-(F_{i+1}-1)\\ &=nF_{n+2}-\sum_{i=2}^{n+1}F_{i}\\ &=nF_{n+2}-(S(n+1)-1)\\ &=nF_{n+2}-F_{n+3}+2 \end{aligned} \]

然后沖一個矩陣快速冪就行了，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=110,inf=1ll<<40;
ll n,m;
class Mat{
public:
	ll a[N][N];
	inline ll* operator[](ll x){return a[x];}
	inline void one(){a[1][1]=a[1][2]=1;}
	inline Mat operator*(Mat ma){
		Mat ans;
		_for(i,1,2){
			_for(j,1,2){
				ans[i][j]=0;
				_for(k,1,2)ans[i][j]=(ans[i][j]+a[i][k]*ma[k][j]%m)%m;
			}
		}
		return ans;
	}
};
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline Mat fpow(Mat ma,ll b){
		Mat ans;ans.one();
		while(b){
			if(b&1)ans=ans*ma;
			ma=ma*ma,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	inline void In(){
		n=rnt(),m=rnt();
		Mat mat;mat[1][1]=mat[1][2]=mat[2][1]=1;
		Mat ans=fpow(mat,n+1);
		printf("%lld\n",(n*ans[1][2]%m-ans[1][1]+m+2)%m);
		return;
	}
}

選拔隊員（不知道教練從哪里找的）

題意

選出若干個男生和若干多個女生（即男女生的數目隨便定）安排到機房內的 \(N\) 個位置上去，要求任意兩位女生不能相鄰（即任意兩個女生之間必須有至少一個男生），求方案數 \(\bmod{M}\)，

思路

直接用排列推是不行的，嘗試寫個 \(\text{dp}\)，

設 \(f_{i,0}\) 表示有 \(n\) 個人坐了上去，最后一個人是男； \(f_{i,1}\) 表示有 \(n\) 個人坐了上去，最后一個人是女，

初始狀態為 \(f_{i,0}=f_{i,1}=1\)，顯然有遞推式：

\[\begin{aligned} f_{i,0}&=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}\\ f_{i,1}&=f_{i-1,0} \end{aligned} \]

用矩陣優化：

\[\left[\begin{matrix} f_{n,0}&f_{n,1} \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix} 1&1\\ 1&0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} f_{n+1,0}&f_{n+1,1} \end{matrix}\right] \]

誒這玩意兒不就是斐波那契數列嗎？！

然后沖一個矩陣快速冪就行了，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=110,inf=1ll<<40;
ll T,m,n;
class Mat{
public:
	ll a[5][5];
	inline ll* operator[](ll x){return a[x];}
	inline Mat operator*(Mat ma){
		Mat ans;
		_for(i,1,2){
			_for(j,1,2){
				ans[i][j]=0;
				_for(k,1,2)ans[i][j]=(ans[i][j]+a[i][k]*ma[k][j]%m)%m;
			}
		}
		return ans;
	}
};
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline Mat fpow(ll b){
		Mat ans;ans[1][1]=ans[1][2]=1,ans[2][1]=ans[2][2]=0;
		Mat ma;ma[1][1]=ma[1][2]=ma[2][1]=1,ma[2][2]=0;
		while(b){
			if(b&1)ans=ans*ma;
			ma=ma*ma,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	inline void In(){
		n=rnt();
		printf("%lld\n",fpow(n)[1][1]%m);
		return;
	}
}

Tr A

思路

不能理解這道題出的為什么這么靠后，

沖一個矩陣快速冪就行了，

代碼

點擊查看代碼 
const ll N=20,P=9973,inf=1ll<<40;
ll T,n,k;
class Mat{
public:
	ll a[N][N];
	inline ll* operator[](ll x){return a[x];}
	inline void one(){_for(i,1,n)a[i][i]=1;return;}
	inline void zero(){memset(a,0,sizeof(a));return;}
	inline Mat operator*(Mat ma){
		Mat ans;ans.zero();
		_for(i,1,n){
			_for(j,1,n){
				ans[i][j]=0;
				_for(k,1,n)ans[i][j]=(ans[i][j]+a[i][k]*ma[k][j]%P)%P;
			}
		}
		return ans;
	}
}a;
namespace SOLVE{
	inline ll rnt(){
		ll x=0,w=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		return x*w;
	}
	inline Mat fpow(Mat ma,ll b){
		Mat ans;ans.zero();ans.one();
		while(b){
			if(b&1)ans=ans*ma;
			ma=ma*ma,b>>=1;
		}
		return ans;
	}
	inline ll GetAnswer(Mat ma){
		ll num=0;
		_for(i,1,n)num=(num+ma[i][i]);
		return num%P;
	}
	inline void In(){
		n=rnt(),k=rnt();
		a.zero();
		_for(i,1,n)_for(j,1,n)a[i][j]=rnt();
		Mat ans=fpow(a,k);
		printf("%lld\n",GetAnswer(ans));
		return;
	}
}

本文來自博客園，作者：Keven-He，轉載請注明原文鏈接：https://www.cnblogs.com/Keven-He/p/Matrix.html

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/501088.html

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    uj5u.com 2020-09-10 02:04:36 more
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  • 2023年最新微信小程式抓包教程

    01 開門見山 隔一個月發一篇文章，不過分。 首先回顧一下《微信系結手機號資料庫被脫庫事件》，我也是第一時間得知了這個訊息，然后跟蹤了整件事情的經過。下面是這起事件的相關截圖以及近日流出的一萬條資料樣本： 個人認為這件事也沒什么，還不如關注一下之前45億快遞資料查詢渠道疑似在近日復活的訊息。 訊息是 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:48:24 more
  • web3 產品介紹：metamask 錢包 使用最多的瀏覽器插件錢包

    Metamask錢包是一種基于區塊鏈技術的數字貨幣錢包，它允許用戶在安全、便捷的環境下管理自己的加密資產。Metamask錢包是以太坊生態系統中最流行的錢包之一，它具有易于使用、安全性高和功能強大等優點。 本文將詳細介紹Metamask錢包的功能和使用方法。 一、 Metamask錢包的功能 數字資 ......

    uj5u.com 2023-04-20 08:47:46 more
  • vulnhub_Earth

    前言 靶機地址->>>vulnhub_Earth 攻擊機ip：192.168.20.121 靶機ip：192.168.20.122 參考文章 https://www.cnblogs.com/Jing-X/archive/2022/04/03/16097695.html https://www.cnb ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:46:20 more
  • 從4k到42k，軟體測驗工程師的漲薪史，給我看哭了

    清明節一過，盲猜大家已經無心上班，在數著日子準備過五一，但一想到銀行卡里的余額……瞬間心情就不美麗了。最近，2023年高校畢業生就業調查顯示，本科畢業月平均起薪為5825元。調查一出，便有很多同學表示自己又被平均了。看著這一資料，不免讓人想到前不久中國青年報的一項調查：近六成大學生認為畢業10年內會 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:44:00 more
  • 最新版本 Stable Diffusion 開源 AI 繪畫工具之中文自動提詞篇

    🎈 標簽生成器 由于輸入正向提示詞 prompt 和反向提示詞 negative prompt 都是使用英文，所以對學習母語的我們非常不友好 使用網址：https://tinygeeker.github.io/p/ai-prompt-generator 這個網址是為了讓大家在使用 AI 繪畫的時候 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:36 more
  • 漫談前端自動化測驗演進之路及測驗工具分析

    隨著前端技術的不斷發展和應用程式的日益復雜，前端自動化測驗也在不斷演進。隨著 Web 應用程式變得越來越復雜，自動化測驗的需求也越來越高。如今，自動化測驗已經成為 Web 應用程式開發程序中不可或缺的一部分，它們可以幫助開發人員更快地發現和修復錯誤，提高應用程式的性能和可靠性。 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:16 more
  • CANN開發實踐：4個DVPP記憶體問題的典型案例解讀

    摘要：由于DVPP媒體資料處理功能對存放輸入、輸出資料的記憶體有更高的要求（例如，記憶體首地址128位元組對齊），因此需呼叫專用的記憶體申請介面，那么本期就分享幾個關于DVPP記憶體問題的典型案例，并給出原因分析及解決方法。 本文分享自華為云社區《FAQ_DVPP記憶體問題案例》，作者：昇騰CANN。 DVPP ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:43:03 more
  • msf學習

    msf學習 以kali自帶的msf為例 一、msf核心模塊與功能 msf模塊都放在/usr/share/metasploit-framework/modules目錄下 1、auxiliary 輔助模塊，輔助滲透（埠掃描、登錄密碼爆破、漏洞驗證等） 2、encoders 編碼器模塊，主要包含各種編碼 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:59 more
  • Halcon軟體安裝與界面簡介

    1. 下載Halcon17版本到到本地 2. 雙擊安裝包后 3. 步驟如下 1.2 Halcon軟體安裝 界面分為四大塊 1. Halcon的五個助手 1) 影像采集助手：與相機連接，設定相機引數，采集影像 2) 標定助手：九點標定或是其它的標定，生成標定檔案及內參外參，可以將像素單位轉換為長度單位 ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:42:17 more
  • 在MacOS下使用Unity3D開發游戲

    第一次發博客，先發一下我的游戲開發環境吧。 去年2月份買了一臺MacBookPro2021 M1pro(以下簡稱mbp)，這一年來一直在用mbp開發游戲。我大致分享一下我的開發工具以及使用體驗。 1、Unity 官網鏈接： https://unity.cn/releases 我一般使用的Apple ......

    uj5u.com 2023-04-20 07:40:19 more

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