關于高斯模糊，我在我早期的博客里也有兩篇文章予以描述：
SSE影像演算法優化系列二：高斯模糊演算法的全面優化程序分享（一），
SSE影像演算法優化系列二：高斯模糊演算法的全面優化程序分享（二），
一個是遞回的IIR濾波器，一個Deriche濾波器，他們的速度都已經是頂級的了，而且都能夠使用SIMD指令優化，其中有講到《Recursive implementation of the Gaussian filter》這個方法在半徑較大的時候會出現一定的瑕疵，核心原因是大半徑會導致其中的某些系數特別小，因此造成浮點精度的丟失，因此，要保證效果就必須在計算程序中使用double資料型別，而使用了double，普通的sse指令集的增速效果就不是很明顯了，因此，為了速度可能需要使用AVX或者更高的AVX512，
那么這兩個都是從離散角度來說比較精確的演算法，因為有了SIMD指令，使得他們在PC上即使有了大量的浮點計算，計算的速度也比較不錯，在一些特殊的情況或者特殊的硬體中，還是存在浮點計算非常慢的情況（比如FPGA），因此，還是有不上資料和文章提出了一些近似的演算法來減少計算量，在celerychen分享的文章快速高斯濾鏡演算法中，除了上述兩個演算法外，還提到了均值濾波逼近高斯濾波以及 擴展二項式濾波逼近高斯濾波兩個方法，
一、Binomial Filter 二項式濾波濾波器
多年前我也看過這個文章，那個時候也沒有怎么在意，最近在研究halcon的一些濾波器時，偶爾翻到其binomial_filter函式的說明時，突然看到其有如下的一些描述：
The binomial filter is a very good approximation of a Gaussian filter that can be implemented extremely efficiently using only integer operations. Hence, binomial_filter is very fast.
他說這個binomial filter只有整形的計算，因此速度非常快，
是不是這樣的呢，于是我在網路上搜索這方面的資料，大部分都指向 extended binomial filter for Fast gaussian Blur這篇文章，可以參考道客巴巴里的這篇文章：https://www.doc88.com/p-1896883955048.html
這個文章寫得很詳細，有著非常豐富的數學推導和公式，還有很多漂亮的曲線，比如下面這個描述了不同的半徑r和不同的n階畢竟的精度，當n=3或者n=4時，也已經相當的準確了，特別是半徑比價大時（模糊程度），
這個文章的末尾提供了相關的參考代碼，但是那個參考代碼有點凌亂，而且不知道是啥語言，好像是可以為PS寫插件的腳本一樣，不過大概還是能猜到是什么意思，
celerychen在他的文章說里面幾個重要的初始引數不知道如何確定，主要可能是指的scaleFactor，這個其實因該他做界面預覽時的一些縮放值，我們做演算法時，他就是1，
另外，那個文章是比較早的了，作者提供的那個網站里有提供最新的一批代碼，詳細見：Efficient Gaussian Blur Algorithm
這個文章中提供的一個重要的計算公式即為：
其中
為用戶輸入的標準差，n為離散的階數，r為計算得到半徑，由上式我們可以推到出：
r = sqrtf(12.0 * Sigma * Sigma / n + 1)
注意，這里得到的r應該是浮點數，但是浮點數，我們無法進行均值模糊，所以一般需要四舍五入取整，當然，如果要求精度的，那就要去上下兩個半徑值分別做處理后，在對結果進行插值，
這個公式在 均值濾波逼近高斯濾波 的文章里也有提到，
我們從Efficient Gaussian Blur Algorithm 這個網站的相關鏈接里可以有如下描述：
- gauss2.ffp: The program for the first degree approximation is a great improvement to the box blur. It is as easy to understand and has only slight approximation error.
- gauss3.ffp: The program for the second degree approximation is accurate enough for most applications.
- gauss4.ffp: The third degree approximation has nearly no difference to the Gaussian blur for 8-bit images apart of rounding errors
我想說的是gauss2.ffp其實是Third degree approximation對應的代碼（n = 3）,gauss3.ffp和gauss4.ffp都是Fourth degree approximation對應的代碼(n=4)，但是他們里面的疊加順序寫法又有所不同（里面的變數sum, deri1, deri2, diff疊加的順序），那么真正的Second degree approximation文章里沒有給鏈接，但是可以用在鏈接 http://members.chello.at/easyfilter/gauss1.ffp 里打開，感覺像是作者故意隱藏了一樣，
另外還要注意在論文里的sum, deri1, deri2, diff和鏈接里的順序也不太一樣，
為了方便大家測驗，我從鏈接里整理了一個可以運行的代碼，很丑陋，但是確實效果和速度都還不錯，
int IM_BinomialFilter4_PureC_Gray_Raw(unsigned char *Src, unsigned char *Dest, int Width, int Height, int Stride, int Sigma)
{
int Channel = Stride / Width;
if ((Src =https://www.cnblogs.com/Imageshop/archive/2022/08/10/= NULL) || (Dest == NULL) || (Dest == NULL)) return IM_STATUS_NULLREFRENCE;
if ((Width <= 0) || (Height <= 0)) return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER;
if (Channel != 1) return IM_STATUS_NOTSUPPORTED;
int Status = IM_STATUS_OK;
Sigma = IM_Min(Sigma, 256); // 如果全部用整形的資料，半徑不能大于30， Sum和Deri用浮點半徑可以取得較大
int Radius = (int)(sqrtf(3.0 * Sigma * Sigma + 1) + 0.4999999f);
int Weight = Radius * Radius * Radius * Radius;
float InvWeight = 1.0f / Weight;
unsigned char *Buffer = (unsigned char *)malloc((IM_Max(Width, Height) + 4 * Radius) * sizeof(unsigned char));
unsigned char *Temp = (unsigned char *)malloc(Height * Stride * sizeof(unsigned char));
int *RowOffset = (int *)malloc((Width + 4 * Radius) * sizeof(int));
int *ColOffset = (int *)malloc((Height + 4 * Radius) * sizeof(int));
if ((Buffer == NULL) || (Temp == NULL) || (RowOffset == NULL) || (ColOffset == NULL))
{
Status = IM_STATUS_OUTOFMEMORY;
goto FreeMemory;
}
// 注意起點位置是偏移了一個1個像素的
for (int X = 0; X < Width + 4 * Radius; X++)
RowOffset[X] = IM_GetMirrorPos(Width, X - 2 * Radius + 1);
for (int Y = 0; Y < Height + 4 * Radius; Y++)
ColOffset[Y] = IM_GetMirrorPos(Height, Y - 2 * Radius + 1);
for (int Y = 0; Y < Height; Y++) // horizontal blur...
{
unsigned char *LinePS = Src + Y * Stride;
unsigned char *LinePD = Temp + Y * Stride;
for (int X = 0; X < 2 * Radius - 1; X++)
Buffer[X] = LinePS[RowOffset[X]];
memcpy(Buffer + 2 * Radius - 1, LinePS, Width);
for (int X = 2 * Radius - 1 + Width; X < Width + 4 * Radius; X++)
Buffer[X] = LinePS[RowOffset[X]];
float Sum = 0, Deri1 = 0;
int Deri2 = 0, Diff = 0;
for (int X = -4 * Radius; X < 0; X++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff; // accumulate pixel blur
Diff += Buffer[X + 4 * Radius];
if (X + 3 * Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[X + 3 * Radius]; // -4,
if (X + 2 * Radius >= 0) Diff += 6 * Buffer[X + 2 * Radius]; // +6,
if (X + Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[X + 1 * Radius]; // -4, (+1)}
}
for (int X = 0; X < Width; X++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff;
Diff += Buffer[X] - 4 * Buffer[X + Radius] + 6 * Buffer[X + 2 * Radius] - 4 * Buffer[X + 3 * Radius] + Buffer[X + 4 * Radius]; //{+1, -4, +6, -4, +1}
LinePD[X] = (int)(Sum * InvWeight + 0.499999f);
//LinePD[X] = (Sum + Weight / 2) / Weight;
}
}
for (int X = 0; X < Width; X++) // Vertical Blur
{
unsigned char *LinePS = Temp + X;
unsigned char *LinePD = Dest + X;
for (int Y = 0; Y < 2 * Radius - 1; Y++)
Buffer[Y] = LinePS[ColOffset[Y] * Stride];
for (int Y = 0; Y < Height; Y++)
{
Buffer[Y + 2 * Radius - 1] = LinePS[Y * Stride];
}
for (int Y = 2 * Radius - 1 + Height; Y < Height + 4 * Radius; Y++)
Buffer[Y] = LinePS[ColOffset[Y] * Stride];
float Sum = 0, Deri1 = 0;
int Deri2 = 0, Diff = 0;
for (int Y = -4 * Radius; Y < 0; Y++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff; // accumulate pixel blur
Diff += Buffer[Y + 4 * Radius];
if (Y + 3 * Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[Y + 3 * Radius]; // -4,
if (Y + 2 * Radius >= 0) Diff += 6 * Buffer[Y + 2 * Radius]; // +6,
if (Y + Radius >= 0) Diff -= 4 * Buffer[Y + 1 * Radius]; // -4, (+1)}
}
for (int Y = 0; Y < Height; Y++)
{
Sum += Deri1;
Deri1 += Deri2;
Deri2 += Diff;
Diff += Buffer[Y] - 4 * Buffer[Y + Radius] + 6 * Buffer[Y + 2 * Radius] - 4 * Buffer[Y + 3 * Radius] + Buffer[Y + 4 * Radius]; //{+1, -4, +6, -4, +1}
LinePD[0] = (int)(Sum * InvWeight + 0.499999f);
//LinePD[0] = (Sum + Weight / 2) / Weight;
LinePD += Stride;
}
}
FreeMemory:
if (Buffer != NULL) free(Buffer);
if (Temp != NULL) free(Temp);
if (RowOffset != NULL) free(RowOffset);
if (ColOffset != NULL) free(ColOffset);
return Status;
}
注意這個是翻譯自gauss3.ffp的代碼并做了適當的調整，我們看到程式還是使用了很多的浮點數的，否則當Sigma稍微大一點，結果就溢位了，當然，代碼里也給出了如果SIgma不大于30，則可以全部用整形實作，
我們處理了一副3000*2000的灰度圖，出乎意料的是，就這個很隨意的代碼能獲得82毫秒的成績，
優化：
乍一看起來，Vertical Blur那一部分的代碼訪問記憶體的方式很不友好，有著大量的跨行訪問記憶體的地方，確實原始的代碼是有這個問題，但是這種模糊都有這個特性，在 高斯模糊演算法的全面優化程序分享（一） 中我們探討過垂直方向處理演算法一般不宜直接寫，而應該用一個臨時的行快取進行處理，這里同樣可以用這個方法來處理，而且處理的代碼還能通用各種不同的通道，這里不多贅述，
Horizontal blur部分，看代碼知道是存在著嚴重的像素前后依賴的，這種特性非常不利于指令集優化，處理的方式呢，我在博客里也多次提到，把多行（比如四行）合并到一行后，進行處理，這樣合并的一行里就有連續4個像素的處理是毫無關系的，就可以借助于SSE之類的指令予以處理了，這部分方式可以參考我的博文： SSE影像演算法優化系列五：超高速指數模糊演算法的實作和優化（10000*10000在100ms左右實作），
經過一番折騰呢，這個演算法可以優化到13ms左右（4階），當然，這個代碼明顯有個特性，隨著Sigma的增大，程式里的邊緣部分的計算量也會增加，因此，演算法的耗時和引數有一定的關系，但是不是特別明顯，
如果是使用的2階演算法，則內部計算要更加的少，同樣的圖片大約在11ms左右可以處理完成，而原始的Deriche演算法嘛，耗時大概在18ms上下，
2階的有個比較好的特性，就是他的全部的計算程序里的累加量都在整形的有效范圍呢，因此確實可以用整形計算實作效果，
完成了這個演算法后，回頭在去看Halcon的binomial_filter ，感覺味道又變了，本來以為他的那個MaskWidth和MaskHeight就是對應的水平和垂直方向的Sigma的，結果測驗不是，他的結果在MaskWidth和MaskHeight很大時，模糊的程度也比較小，目前還搞不清楚是怎么回事，
不過有一點，Halcon的這個算子的速度那真叫一個牛逼，3000*2000的圖都只要幾豪秒（隨MaskWidth和MaskHegiht的增加耗時也在增加），
二、使用多次均值模糊模擬高斯模糊
這個演算法的參考文獻的正式名字應該是Fast Almost-Gaussian Filtering，而不是celerychen文章里提的 Arbitrary Gaussian Filtering with 25 Addtions and 5 Multiplications per Pixel，那個文章里根本沒看到說25次加法和5次乘法，
這個文章的理論基礎其實也是這個公式：
英文的原文為：
他這里給出了用均值模糊模擬高斯模糊的半徑的計算方式，即上圖中公式5，當給定均方差，給定均值模擬的次數，就可以計算出m，
在https://blog.ivank.net/fastest-gaussian-blur.html這里作者給出了相關的簡易的示例代碼，稍作整理如下所示：
// https://github.com/amazingyyc/fasted_gauss_blur // https://www.cnblogs.com/amazingyyc/p/4530634.html // https://www.doc88.com/p-1896883955048.html // 使用 N 個 BoxBlur 擬合 Sigma的高斯函式 // 參考：Arbitrary Gaussian Filtering with 25 Addtions and 5 Multiplications per Pixel.pdf // Fast Almost - Gaussian Filtering.pdf void IM_GetBoxRadiusForGauss(float Sigma, int *Size, int N) { float IdealW = sqrt(12.0 * Sigma * Sigma / N + 1.0); // 論文公式1 int LowerW = floor(IdealW); // 向下取整 if (LowerW % 2 == 0) LowerW--; // the first odd integer that is less than IdealW int UpperW = LowerW + 2; // the other being being the first odd integer greater than IdealW int M = round((12.0 * Sigma * Sigma - N * LowerW * LowerW - 4 * N * LowerW - 3 * N) / (-4 * LowerW - 4)); // 論文公式2 for (int Y = 0; Y < N; Y++) // Apply an averaging filter of width LowerW M times. Size[Y] = (Y < M ? LowerW : UpperW); // Apply an averaging filter of width UpperW N - M times. } int IM_FastGaussBlur(unsigned char *Src, unsigned char *Dest, int Width, int Height, int Stride, int Radius) { int Channel = Stride / Width; if ((Src =https://www.cnblogs.com/Imageshop/archive/2022/08/10/= NULL) || (Dest == NULL) || (Dest == NULL)) return IM_STATUS_NULLREFRENCE; if ((Width <= 0) || (Height <= 0)) return IM_STATUS_INVALIDPARAMETER; if ((Channel != 1) && (Channel != 3) && (Channel != 4)) return IM_STATUS_NOTSUPPORTED; int Status = IM_STATUS_OK; unsigned char *Temp = (unsigned char *)malloc(Height * Stride * sizeof(unsigned char)); if (Temp == NULL) { Status = IM_STATUS_OUTOFMEMORY; goto FreeMemory; } int BoxRadius[3]; // 使用3次均值模糊代替高斯 IM_GetBoxRadiusForGauss(Radius, BoxRadius, 3); // 計算擬合的半徑 Status = IM_BoxBlur(Src, Dest, Width, Height, Stride, (BoxRadius[0] - 1) / 2); if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory; Status = IM_BoxBlur(Dest, Temp, Width, Height, Stride, (BoxRadius[1] - 1) / 2); if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory; Status = IM_BoxBlur(Temp, Dest, Width, Height, Stride, (BoxRadius[2] - 1) / 2); if (Status != IM_STATUS_OK) goto FreeMemory; FreeMemory: if (Temp != NULL) free(Temp); return Status; }
可以看到，就是簡單的3次均值模糊，因為均值模糊可以高度的向量化編程，擁有特別特別快的速度，因此，也能獲得非常優異的性能，
三、效果比較
對標準的高斯模糊，二階二項式、4階二項式以及均值模糊模擬進行測驗，發現他們在視覺上無特備明顯的差異，
原始影像 Deriche濾波器 2階多項式濾波器
4階多項式濾波器 三級均值模糊
可以通過我的DEMO里動態的看到這些濾波器的結果差異，感覺這些差異是在可接收的范圍內的，
可執行的DEMO下載地址為：https://files.cnblogs.com/files/Imageshop/SSE_Optimization_Demo.rar?t=1660121429
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