作者：i_dovelemon

日期：2020-04-25

主題：Perlin Noise, Curl Noise, Finite Difference Method

引言

最近在研究流體效果相關的模擬，經過一番調查，發現很多的演算法都基于一定的物理原理進行模擬，計算量相對來說都比較高昂，最終尋找到一個基于噪音實作的，可在視覺上模擬流體效果的方法：Curl Noise，題圖就是通過 Curl Noise 模擬的流體向量場控制的百萬粒子的效果，

背景知識

在講解什么是 Curl Noise 之前，我們需要了解一些相關背景知識，

向量場（Vector Field）

一個2D 或者 3D 的向量場，表示的是賦予空間中任意點一個 2D 或者 3D 向量的函式，公式表示如下所示：

$\vec{F}\left(x,y \right)=P\left(x,y\right)\vec{i}+Q\left(x,y\right)\vec{j}$

$\vec{F}\left(x,y,z \right)=P\left(x,y,z\right)\vec{i}+Q\left(x,y,z\right)\vec{j}+R\left(x,y,z\right)\vec{k}$

其中，$P$，$Q$，$R$ 各表示一個標量函式，即它們的回傳值是一個標量；$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 各表示一個基向量，（參考文獻[1]）

上面數學的解釋大家可能不熟悉，但是很多人或多或少的都看過向量場的圖片形式，如下所示：

散度和旋度（Curl and Divergence）

首先，我們來定義一個 $\nabla$ 操作，如下所示：

$\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$

其中$\partial$表示的是偏導數符號，不熟悉的讀者可以去復習下微積分或者參考文獻[2]，有了這個運算子之后，我們定義旋度為：

$curl\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

其中$\times$為叉積運算子（參考文獻[3]），

有了旋度之后，我們再來定義散度，同樣的，公式如下所示：

$div\vec{F}=\nabla\cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

特別的，散度和旋度之間有如下的一個關系：

$div(curl\vec{F})=0$

以上內容，參考文獻[4]，

根據上面的公式，我們可以知道，對于一個向量場的旋度場，它的散度為 0，即它是一個無源場（Divergence-Free），而一個散度為 0 的向量場，表示這個場是不可壓縮的流體，這對日常所見的流體來說是一個很重要的視覺性質，所以據此我們可以使用一個場的旋度場來模擬流體效果，

Curl Noise

所謂 Curl Noise，即是對一個隨機向量場，進行 Curl 操作之后得到的新場，因為滿足散度為 0 的特性，所以這個場看上去就具有流體的視覺特性，如果用這個場作為速度去控制粒子，即可得到開頭視頻中流動的效果，

2D Curl Noise

前面我們說過，需要一個隨機的向量場，這里我們使用 Perlin Noise 來進行模擬，關于 Perlin Noise 網上一堆資料，這里就不再贅述，

我們假設 Perlin Noise 的函式為：

$N(x,y)$

它的回傳值是一個標量值，然后據此建立一個新的向量場：

$\vec{F}(x,y) = (N(x,y), N(x,y))$

然后對這個新的向量場進行 Curl 操作，即可得到旋度場，

前面只說過 3D 情況下的 Curl 操作是怎么樣的，這里給出 2D 版本的 Curl 操作：

$curl\vec{F}(x, y) = (\frac{\partial N(x,y)}{\partial y}, -\frac{\partial N(x,y)}{\partial x})$

這里就只剩下了最后一個問題，那就是形如 $\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$ 這樣的偏導數，該怎么計算，我們這里使用一個名為有限差分的方法(Finite Difference Method)來近似求解，

Finite Difference Method

根據文獻[2]中對于偏導數的描述，我們知道 $\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$ 只是一種表達方式，它的精確表示方法為：

$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}= N_x(x,y) = \lim_{h\to0}{\frac{N(x + h,y)-N(x,y)}{h}}$

而后面極限的表達方式則給了我們近似計算這個偏導數的方法，只要給定一個較小的 $h$ 值，就能夠近似的得到偏導數的結果，而這種計算方法即為：有限差分方法(Finite Difference Method)，

除了上面的極限表示方法之外，還有另外一種極限表示方法，如下所示：

$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}= N_x(x,y) = \lim_{h\to0}{\frac{N(x,y)-N(x-h,y)}{h}}$

這兩種差分方法分別稱之為前向差分(Forward Difference)和逆向差分(Backward Difference)方法，我這里主要使用逆向差分方法，

有了計算偏導數的方法之后，我們就可以實際帶到 2D Curl 操作的公式進行計算，如下是計算 2D Curl Noise 的偽代碼：

vec2 computeCurl(float x, float y)
{
    float h = 0.0001f;
    float n, n1, n2, a, b;

    n = N(x, y);
    n1 = N(x, y - h);
    n2 = N(x - h, y);
    a = (n - n1) / h;
    b = (n - n2) / h;

    return vec2(a, -b);
}

知道怎么計算 2D Curl Noise 之后，我們用計算出來的 Curl Noise 作為速度場去控制粒子進行運動，如下是 2D Curl Noise 控制粒子運動的效果：

3D Curl Noise

有了前面 2D Curl Noise 的實作，如法炮制的實作 3D Curl Noise 的推導，

3D Perlin Noise 函式定義為：

$N(x,y,z)$

以此構造出來的 3D 向量場為：

$\vec{F}(x,y,z)=(N(x,y,z),N(x,y,z)N(x,y,z))$

對這個場進行 Curl 操作，得到：

$curl\vec{F}=(\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial z},\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial z}-\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial x},\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial x}-\frac{\partial N(x,y,z)}{\partial y})$

據此，給出計算 3D Curl Noise 的偽代碼：

vec3 computeCurl(float x, float y)
{
    vec3 curl;
    float h = 0.0001f;
    float n, n1, a, b;

    n = N(x, y, z);

    n1 = N(x, y - h, z);
    a = (n - n1) / h;

    n1 = N(x, y, z - h);
    b = (n - n1) / h;
    curl.x = a - b;

    n1 = N(x, y, z - h);
    a = (n - n1) / h;

    n1 = N(x - h, y, z);
    b = (n - n1) / h;
    curl.y = a - b;

    n1 = N(x - h, y, z);
    a = (n - n1) / h;

    n1 = N(x, y - h, z);
    b = (n - n1) / h;
    curl.z = a - b;

    return curl;
}

以下是根據得到的 3D Curl Noise，并一次控制粒子進行運動的效果：

結論

Curl Noise 在游戲中有大量的運用，Unity 的粒子系統的 Noise Module 就內置了 Curl Noise 的實作，作為游戲開發的人員，很有必要了解下這個技術的原理，便于在實際開發中靈活運用，本文的主要原理來自于參考文獻[5]，感興趣的可以深入去了解，

源代碼已上傳 Github：https://github.com/idovelemon/UnityProj/tree/master/CurlNoise ，

參考文獻

[1] Section 5-1 : Vector Field

[2] Section 2-2：Partial Derivatives

[3] Section 5-4：Cross Product

[4] Section 6-1：Curl And Divergence

[5] Curl-Noise for Procedural Fluid Flow

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/5188.html

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