前言

在上一篇中，我們以正交投影的方式學習了如何繪制三角形，但在生活中我們眼睛看到的現象用正交投影無法解釋，比如如果是正交投影，我們看到的鐵道兩個鐵軌在視角上并不會交于一點，也就是兩個鐵軌的間距并不會隨著離我們的位置越遠，而變小，實際上這正是透視投影，因此，對于渲染攝像機理解為我們的眼睛，用透視投影來表示；而正交投影則主要用于主要用于二維渲染以及建筑工程軟體

如下右邊是正交投影，左邊是透視投影

2d變換

? 開始之前，需要提醒一下，以下向量表示都是列向量

縮放 沿主軸縮放

反射 2維中圍繞直線翻轉物件

錯切(剪切) 不均勻地拉伸坐標空間，思路是將一個坐標的倍數添加到另一個坐標上

旋轉 二維中圍繞一點旋轉

平移 前面這幾種變化都是線性變換，因為它們是原點不會改變的變換，對于平移來說，他的原點改變了，因此無法用線性變換（矩陣）來表示平移

可以看到這樣對于平移我們需要在線性變換的基礎上，在后面跟上個加法表示位移，但這樣表示并不方便，懶是人類進步的階梯！因此我們需要想辦法將其用一個矩陣來表示，方法是引入齊次坐標w,也就是說多加一個坐標
注解：我們如何理解齊次坐標的含義呢？想象一下，我們有一臺攝影機將畫面投射到一個螢屏上，我們移動攝像機，離螢屏越近，w越小，畫面肯定會被壓縮，這樣這些畫面上的物體的坐標是不是縮小了，離螢屏越遠，w放大，畫面被放大，畫面上的物體的坐標肯定是放大了，

如何理解point添加的是1，vector是0呢？因為向量只描述方向和大小，與位置毫無關聯，所以對于向量來說，平移是毫無意義的，因此為0，又或者點減點表示一個向量，點加上點表示中點

變為齊次坐標后來表示平移的矩陣

仿射變換 線性變化 + 平移，縮放旋轉平移組合在一起，值得注意的是，矩陣乘法并沒有交換律，因此需要按照順序，從右到左

3d變換

齊次坐標 同樣是多加一個數

縮放

平移

旋轉 圍繞一個主軸旋轉，根據左右坐標系，分別伸出左手或右手，大拇指方向指向旋轉軸的正方向，四指彎曲方向為旋轉方向

仿射變換

值得注意的是，旋轉矩陣、反射矩陣都有正交變換,且矩陣乘以其逆矩陣是單位矩陣，正交矩陣乘以轉置矩陣是單位矩陣，因此我們若要求這些矩陣的逆矩陣，只需求其轉置矩陣，這有什么用呢？逆矩陣運算量大，而轉置十分簡單，避免了昂貴的計算成本

坐標空間與空間變換

? 我們已經學會如何用矩陣對頂點進行變換，現在我們將他應用在渲染中，所謂渲染的藝術，就是將一個3d場景轉變為2d圖形，這一變化如何實作呢？接下來我們將進一步探討各個坐標空間

? 首先我們來看渲染需要經過哪些坐標系統：

1. 區域空間
2. 世界空間
3. 觀察空間
4. 裁剪空間
5. 螢屏空間

從區域空間轉變到世界空間被稱為Model矩陣,；從世界空間轉變到觀察空間稱為View矩陣；從觀察空間轉變到裁剪空間稱為projection矩陣；這就是我們常說的MVP矩陣

區域空間、世界空間 試想一下，許多人做一個大專案，我們并不可能直接在整個專案中直接進行創作，否則很有可能一不小心破防場景中的其他物體，而是將其拆分成一個個子專案，待大功告成后，才會將它們合并在一個整體的大專案中，因此我們定義，區域坐標系是一種以目標物體的中心為原點，且坐標軸與該物體對齊的簡單便用的坐標系，只要在區域空間中定義3D模型的各頂點，我們就可以將其變換至全域場景（世界空間）中；而世界空間則是一個宏觀的特殊坐標系，其代表了我們關心的最大坐標系，我們合并的一個整體的專案就在世界空間中

區域空間的優點：

• 易于使用，物體的中心通常位于區域空間的原點，且關于主軸對稱
• 物體可以橫跨多個場景且重復使用
• 我們很可能需要在一個場景中繪制同一個但位置、方向、大小不同的物體，如果每次創建物體實體時都要復制其頂點和索引，那將消耗大量資源，因此，通常的做法是存盤一個幾何體，按照世界矩陣來指定物體在世界空間中的位置、方向、大小

從區域空間變換到世界空間需要經歷平移縮放旋轉三個步驟

觀察空間 相當于給人拍照，擺好姿勢，攝像機調好位置和朝向，攝像機也就是觀察空間，而調整攝影機的程序，就是觀察矩陣，觀察空間又被稱作視圖空間、視覺空間

從我們描述的觀察空間可得出，觀察空間需要定義三個向量：

• 相機位置(Position) $$\vec{e}$$
• 觀察方向(Look-at / gaze direction) $$\vec{g}$$
• 世界空間中向上方向的向量（Up direction）$$\vec{t}$$

我們規定變換后的相機在原點，看向-z方向，t為y正半軸

View矩陣 從世界空間變化到觀察空間，它們大小是相同，我們只需變換位置和朝向，我們需要(平移)將相機位置移回世界坐標原點，（旋轉）觀察方向朝向-Z軸，向上方向為y軸正半軸，最后平移回去，這時會發現將相機坐標軸旋轉到世界坐標軸很復雜，但是從世界坐標軸旋轉到相機坐標軸很簡單，因此我們只需要求逆，又因為旋轉是正交矩陣，因此我們只需要求其轉置即可

但其實從相機坐標軸旋轉到世界坐標軸一步也可以完成,在這里我們需要先了解坐標變換：不同坐標系下的坐標轉換

我們先來看向量坐標變換

現有坐標系A，在這個坐標系中有一向量v(x,y),現在我們想要把向量v轉換到坐標系B中，我們設轉換后的向量為v' = (x', y')，如下圖中可得知,v = ux + vy，其中u和v分別是x軸和y軸的單位向量;我們再用坐標系B來表示v' = u\(b\)x + v\(b\)y,因此如果給定v = (x,y)，也知道u向量和v向量在坐標系b中的坐標u\(b\) = (u\(x\),u\(y\)),v\(b\) = (v\(x\),v\(y\))，我們就可以求出v'了.推理到三維道理一樣,v = (x,y,z)，v' = u\(b\)x + v\(b\)y + w\(b\)z,u、v、w為坐標系A中x、y、z軸正方向上的單位向量

點的坐標變換

點的坐標變換與向量稍有不同，這是因為位置是點的一個重要屬性，如下圖所示，我可以求得在坐標系A中p\(A\) = ux + uy + Q\(A\),其中u和v分別是x軸和y軸的單位向量,Q\(A\)為坐標系A的原點，而我們在坐標系中表示則是p\(B\) = Q\(B\) + u\(b\)x + v\(b\)y，其中QB是坐標系A的原點在坐標系B的坐標，u\(b\)是u在坐標系B中的坐標，v\(b\)是v在坐標系B中的坐標

因此從區域空間到世界空間得變換矩陣如下，這個矩陣對之前區域到世界同樣適用

而從世界空間到觀察空間如下，也就是求逆

裁剪空間 對著人拍照，按下快門，將三維的場景變成了2維圖片，同時攝影機螢屏外的部分不要，這一投影程序用到的就是透視投影矩陣，攝影機螢屏也就是裁剪空間，為什么叫裁剪空間呢？因為我們期望所有的坐標都能落在一個特定的范圍內，且任何在這個范圍之外的點都應該被裁剪，被裁剪的坐標就會被忽略，不納入計算，這部分最終也看不到，所以剩下的坐標就將變為螢屏上可見的片段，為了將頂點坐標從觀察空間變換到裁剪空間，我們需要定義一個投影矩陣，它指定了一個范圍內的坐標，如[-100, 100],接著投影矩陣便會將這個范圍內的坐標變換為標準化設備坐標[-1.0, 1.0]，這被稱為視口變化(因為將所有坐標都指定在[-1.0,1.0]內不是很直觀，所以我們指定自己的坐標集并將它變換回標準化設備坐標系)，因此投影就是將特定范圍內的坐標轉化到標準化設備坐標系的程序；我們前面交過齊次坐標的含義，因此可以得出透視是通過改變w的分量實作的.那么是怎樣實作的呢？一個物體離相機越遠，也就是z越大，那么向量會變小，沒錯是通過z來影響w的

? 正交投影的程序很簡單，坐標的相對位置都不會改變，我們只需要將物體變換到[-1.0,1.0]的范圍即可，程序就是平移至原點，縮放,最后平移回去，不過創建一個正射投影矩陣需要指定可見平截頭體的寬、高和長度

? 由于這里渲染器主要用透視投影，因此我們重點講解透視投影，下圖中左邊是透視投影，右邊是正交投影

? 開頭我們講過，透視投影類似人眼，看到的方式是近大遠小,隨后我們，除此以外它還包含一個組成要素攝像機可觀察到的空間體積,這個空間體積的范圍我們用一個四棱錐截取的平截頭體來表示，也就是上圖中的Frustum,我們將頂點到觀察點的連線稱為頂點的投影線，透視投影的步驟是將遠平面拉成和近平面一樣的大小，組成一個方體，再進行正交投影

? 在觀察空間中，近平面n是已知的，遠平面f是未知的,觀察點為原點，z = -n為投影平面，我們約定經過透視投影后近平面的所有點(x,y)不會改變，遠平面上的點的z值不變,根據相似三角形的原理可以求得x'和y'

我們需要求得一個矩陣完成以下變換,因為z是未知的，所以是Unknown，我們可以看到w為z，這印證了我們之前說的z的值在影響w的

即

轉換成矩陣形式如下，但我們并不知道第三行

如何求得?很簡單，現在我們先考慮近平面,近平面上的任何一個點進行透視投影后必定不會改變，用n取代z，結果如下

又因為之前求出的結果前兩項是nx和ny，因此我們可以確定unknow這一行前兩個位置肯定都是0，然后我們將后面兩個位置設為A和B，結果如下

不難推出

在用遠平面f取代z，推出如下

求解

最后只需要再進行正交投影即可求得結果

最終矩陣如下

視口變換 將[-1,1]的立方體變換到[0,width]和[0,height]，因為這是2d平面，因此我們只需要計算x和y.因為標準立方體中心在原點，而螢屏原點在左下角，所以還需要經過一個平移使得原點坐標對齊

實作

//觀測矩陣
mat4 MatrixLookAtLH( vec3 eyePosition, vec3 lookAt, vec3 up )
{
    mat4 view = mat4::identity();

    vec3 z = unit_vector( eyePosition - lookAt );   //因為是對物體進行旋轉，所以是方向是到攝像機
    vec3 x = unit_vector( cross( up, z ) );
    vec3 y = unit_vector( cross( z, x ) );

    mat4 translation = mat4::identity();
    translation[0][3] = -eyePosition.x();
    translation[1][3] = -eyePosition.y();
    translation[2][3] = -eyePosition.z();

    mat4 rotate = mat4::identity();
    rotate[0][0] = x[0];
    rotate[0][1] = x[1];
    rotate[0][2] = x[2];

    rotate[1][0] = y[0];
    rotate[1][1] = y[1];
    rotate[1][2] = y[2];

    rotate[2][0] = z[0];
    rotate[2][1] = z[1];
    rotate[2][2] = z[2];

    view = rotate * translation * view;
    
    return view;

}

//正交矩陣
mat4 MatrixOrtho( float top, float bottom, float left, float right, float Nearz, float Farz )
{
    mat4 ortho = mat4::identity();
    ortho[0][0] = 2 / ( right - left );
    ortho[1][1] = 2 / ( top - bottom );
    ortho[2][2] = 2 / ( Farz - Nearz );

    ortho[0][3] = -( right + left ) / ( right - left );
    ortho[1][3] = -( top + bottom ) / ( top - bottom );
    ortho[2][3] = -( Nearz + Farz ) / ( Nearz - Farz );

    return ortho;
}

//透視投影
mat4 MatrixPerspectiveFovLH( float FovAngleY, float Aspect, float Nearz, float Farz )
{

    mat4 m = mat4::identity();
    FovAngleY = FovAngleY / 180.0 * PI;
    m[0][0] = Nearz / 2 * ( Aspect * tan(FovAngleY) * Nearz ) ;
    m[1][1] = Nearz / 2 * ( tan(FovAngleY) * Nearz );
    m[2][2] = ( Nearz + Farz ) / ( Nearz - Farz );
    m[2][3] = -2 * Nearz * Farz / ( Farz - Nearz );
    m[3][2] = -1;
    m[3][3] = 0;

    return m;

}

//視口變換
mat4 viewPort( const int width, const int height )
{
    mat4 m = mat4::identity();
    m[0][0] = width / 2;
    m[0][3] = width / 2;
    m[1][1] = height / 2;
    m[1][3] = height / 2;

    return m;
}

//繞z軸旋轉
mat4 mat4_rotate_z(float angle)
{
	mat4 m = mat4::identity();
	angle = angle / 180.0 * PI;
	float c = cos(angle);
	float s = sin(angle);
	m[0][0] = c;
	m[0][1] = -s;
	m[1][0] = s;
	m[1][1] = c;
	return m;
}

//繞y軸旋轉
mat4 mat4_rotate_y(float angle)
{
	mat4 m = mat4::identity();
	angle = angle / 180.0 * PI;
	float c = cos(angle);
	float s = sin(angle);
	m[0][0] = c;
	m[0][2] = s;
	m[2][0] = -s;
	m[2][2] = c;
	return m;
}

//繞x軸旋轉
mat4 mat4_rotate_x(float angle)
{
	mat4 m = mat4::identity();
	angle = angle / 180.0 * PI;
	float c = cos(angle);
	float s = sin(angle);
	m[1][1] = c;
	m[1][2] = -s;
	m[2][1] = s;
	m[2][2] = c;
	return m;

}

//縮放
mat4 mat4_scale(float sx, float sy, float sz)
{
	mat4 m = mat4::identity();
	m[0][0] = sx;
	m[1][1] = sy;
	m[2][2] = sz;
	return m;
}

//平移
mat4 mat4_translate(float tx, float ty, float tz)
{
	mat4 m = mat4::identity();
	m[0][3] = tx;
	m[1][3] = ty;
	m[2][3] = tz;
	return m;
}

reference

? Fundamentals of Computer Graphics 5th

? GAMES101

?

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