今天不講編程知識，談談與編程相關的數學，
本文使用數學符號：
? 1 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ∵ ∴
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - n 因為 所以
請確認能否正常顯示
: 題目
已知a是大于1的實數，且有a3+a?3=p,a3-a?3成立.
(1)若p+q=4,求p-q的值;
(2)當q2=22?+2?2?-2(n>=1,且n是整數)時,比較p與(a3+1/4)的大小,并說明理由.
: 解題知識點
- 整數指數冪的運演算法則
//圖片出處：義務教育教科書·數學八年級上冊（人教版）
https://www.zxx.edu.cn/tchMaterial/detail?contentType=assets_document&contentId=81264e9e-22bc-4289-8389-13b40433b5ba&catalogType=tchMaterial&subCatalog=dzjc
P144
- 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 - 完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 - 求差法(根據不等式的性質得來)
若A-B > 0,則A > B;
若A-B = 0,則A = B;
若A-B < 0,則A < B;
: 解題程序
. 第一小題
題目剛上手，一看，簡單！
把a3+a?3=p``a3-a?3=q代入到p+q=4中，
得到2a3=4,所以a3=2
又因為a3=2,所以a?3=1/2,
所以p-q=2a?3=1,得出答案，
可能是由于這道題出現在一本難度系數較低的練習中，再加上如此容易的第一小題，我小看了這道題的難度...
. 第二小題
當q2=22?+2?2?-2(n>=1,且n是整數)時,比較p與(a3+1/4)的大小,并說明理由.
題目拿上手，嗯，寫的挺復雜，但實際應該比較簡單，畢竟很多題都是這樣滴，
:. 第一次嘗試
根據已知，等式的左邊q2可以用多項式a3-a?3代入，得到
q2
= (a3-a?3)2
= a? + a?? -2
∵ q2=22? + 2?2? - 2
∴ a? + a?? -2 = 22? + 2?2? - 2
∴ a? + a?? = 22? + 2?2?
然后？
同時開方，是不是得到了a3-a?3 = 2? + 2???
等等，好像不對，這玩意是多項式，不能這么開方，
:. 第二次嘗試
既然拆q2不行, 那看看等式的右邊？
嗯，22? + 2?2? - 2，這不妥妥的完全平方式嘛！
分解因式，得(2? - 2??)2
∵ n >= 1
∴ a3-a?3 = 2? - 2??
可是思緒戛然而止，竟是停在了此處...
能否得到a=2,n=3呢？
可是如果a=4,n=6等式也成立呀...
:. 第三次嘗試
一般這種大題第1小題與第2小題是有聯系的,所以抬頭看了看第1小題，又看了看已知，
知道了
q2，如何轉成需要的p?
讓我們看看p、q的關系：
a3+a?3 = p
a3-a?3 = q
實在沒辦法，相加相減試試？
p + q = 2a3 (1)
p - q = 2a?3 (2)
我看向了等式的右邊，a3*a?3=1，那么...
(1)*(2),得：
(p+q)(p-q) = 4
而根據平方差公式，(p+q)(p-q) = p2 - q2,
∴ p2 - q2 = 4
有戲！
把q2代成22?+2?2?-2，剛才已經算過，22?+2?2?-2就會等于(2? - 2??)2，而我們知道，由完全平方公式可以推匯出(a+b)2=(a-b)2+4ab，此處a為2?,b為2??,ab=1,所以
p2 = 4+(2? - 2??)2 = (2? + 2??)2
到此，我們可以得到，
p = 2? + 2??
q = 2? - 2??
再看題目所求，1/4顯然應該與2?比較，而不應與未知的a3比較，我們需要求2?與a3的關系，
繼續使用相加相減，
p+q = 2*2?
而前面算過p + q = 2a3,所以
a3 = 2?
到此，這道題也簡單了：
比較兩個數，用求差法，
a3+a?3-(a3+1/4)
= a?3-1/4
= 2??-4?1
= 2??-2?2
因為n>=1且n為整數,所以：
當n等于1時，p<(a3+1/4);
當n等于2時，p=(a3+1/4);
當n為大于2的整數時，p>(a3+1/4).
至此，這道題終于解開，
: 結語
在真正解這道題之前，我從未想過他將花費我如此多的腦力，
所以，永遠不要低估任何一個事物，
- 技術討論QQ：3461670586
Yuito,一個愛學習愛探討，愛編程愛生活的人
轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/538565.html
標籤：其他