數學建模—層次分析法

層次分析法步驟

1.分析系統中各因素的關系，建立層次結構

使用層次分析法一定要放上面的這個圖到論文中哦

2.構造判斷矩陣

目標層—準則層

準則層—方案層

其中的資料自己填即可，但不要說是怎么來的

3.由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，并要通過一致性檢驗

建議用三種方法來計算(在文章中寫為保證結果的穩健性，使用三種方法分別求權值，再根

4.計算各層元素對系統目標的合成權重，并排序

具體的步驟及細節

如何確定評價類問題

出現確定評價指標，形成評價體系等字樣
解決評價類問題，首先想三點

評價的目標是什么

為了達到目標有哪幾種方案

評價的準則或指標(背景材料，常識和網上搜索)：去知網找+自己想...

如何確定權值

建立矩陣

使用判斷矩陣(正互反矩陣)：對角線全為一的倒數對稱矩陣，每行和每列均為指標或是方案

其中一致性矩陣最為特殊，其特點：各行(各列之間成倍數關系)

一致性檢驗

在使用判斷矩陣求權值之前一定要進行一致性檢驗

權值的計算

算術平均法

將判斷矩陣按列歸一化，按行求和，再求平均
幾何平均法

將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量，將新的向量的每個分量開n次方，對該列向量進行歸一化即可得到權重向量
特征值法(使用最多)

求出最大特征值以及對應的特征向量，對其特征向量做歸一化處理

一致矩陣計算權重

隨便選擇一列，來計算所占的比值(一定要歸一化處理)

判斷矩陣算權重

所有列都像一致矩陣進行計算，再平均

層次分析法的局限性

評價決策太多
決策層的資料已知

層次分析法的拓展

若方與準則的對應不是一一對應，只需將不對應的方案的權值設為0

Matlab代碼

此代碼來自清風，感謝

%% 先對判斷矩陣進行一致性檢驗，然后再計算權重，因為只有判斷矩陣通過了一致性檢驗，其權重才是有意義的，
%% 只有非一致矩陣的判斷矩陣才需要進行一致性檢驗，

%% 輸入判斷矩陣
clear;clc
disp('請輸入判斷矩陣A： ')
% A = input('判斷矩陣A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩陣有兩種寫法，可以直接寫到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以寫成多行:
% 兩行之間以分號結尾（最后一行的分號可加可不加），同行元素之間以空格（或者逗號）分開，

%% 方法1：算術平均法求權重
% 第一步：將判斷矩陣按照列歸一化（每一個元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)

[n,n] = size(A)  % 也可以寫成n = size(A,1)
% 因為我們的判斷矩陣A是一個方陣，所以這里的r和c相同，我們可以就用同一個字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的縮寫
% 另外一種替代的方法如下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %回圈哦，這一行后面不能加冒號（和Python不同），這里表示回圈n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 這里我們直接將兩個矩陣對應的元素相除即可

% 第二步：將歸一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)

% 第三步：將相加后得到的向量中每個元素除以n即可得到權重向量
disp('算術平均法求權重的結果為：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先對標準化后的矩陣按照行求和，得到一個列向量
% 然后再將這個列向量的每個元素同時除以n即可（注意這里也可以用./哦）

%% 方法2：幾何平均法求權重
% 第一步：將A的元素按照行相乘得到一個新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函式和sum函式類似，一個用于乘，一個用于加  dim = 2 維度是行

% 第二步：將新的向量的每個分量開n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 這里對每個元素進行乘方操作，因此要加.號哦，  ^符號表示乘方哦  這里是開n次方，所以我們等價求1/n次方

% 第三步：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量
% 將這個列向量中的每一個元素除以這一個向量的和即可
disp('幾何平均法求權重的結果為：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

%% 方法3：特征值法求權重
% 第一步：求出矩陣A的最大特征值以及其對應的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值構成的對角矩陣（除了對角線元素外，其余位置元素全為0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以寫成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函式，它可以用來回傳向量或者矩陣中不為0的元素的位置索引，
% 那么問題來了，我們要得到最大特征值的位置，就需要將包含所有特征值的這個對角矩陣D中，不等于最大特征值的位置全變為0
% 這時候可以用到矩陣與常數的大小判斷運算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一個與最大特征值相等的元素的位置，記錄它的行和列，

% 第二步：對求出的特征向量進行歸一化即可得到我們的權重
V(:,c)% 取出特征向量(列向量)
disp('特征值法求權重的結果為：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我們先根據上面找到的最大特征值的列數c找到對應的特征向量，然后再進行標準化，

%% 計算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，這里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指標CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因為CR < 0.10，所以該判斷矩陣A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此該判斷矩陣A需要進行修改!');
end

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