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A First course in FEM —— matlab代碼實作求解傳熱問題（穩態）

2023-06-19 07:46:51 其他

這篇文章會將FEM全流程走一遍，包括網格、矩陣組裝、求解、后處理，內容是大三時的大作業，今天拿出來回顧下，

 

1. 問題簡介

 

渦輪機葉片需要冷卻以提高渦輪的性能和渦輪葉片的壽命，我們現在考慮一個如上圖所示的葉片，葉片處在一個高溫環境中，中間通有四個冷卻孔，

假設為穩態，那么葉片內導熱微分方程為：

內部區域：     （擴散方程）

邊界：

（外表面）

（內部冷卻孔）

 

2.模型

2.1幾何模型

  我們簡化為二維模型，如下圖所示：

 

點坐標：

1:0.0,0.0          6:597.6,45.9   11:344.7,50.0         

2:20.9,28.8      7:870.0,0.0      12:435.8,44.5

3:117.4,62.9   8:85.0,40.0      13:521.2,37.0

4:240.4,69.6   9:174.5,49.4   14:605.0,30.0

5:417.5,62.4   10:260.0,50.0 15:694.7,22.2

  

2.2 單位系統和物性

長度單位：mm

溫度單位： K

功率單位：W

k=14.7*10^-3 W/mm. K

hext=205.8*10^-6 W/m2.K

hint=65.8*10^-6 W/m2.K

 

注意：在后面的矩陣組裝中的h_wall = h / k

 

2.3網格

 用開源軟體Gmsh生成網格，

首先寫geo檔案

注意要把外表面和中間空洞用Physical Line定義

lc = 10;  
Point(1) = {0, 0, 0, lc};
Point(2) = {20.9,28.8,0, lc};
Point(3) = {117.4,62.9,0, lc};
Point(4) = {240.4,69.6,0, lc};
Point(5) =  {417.5,62.4,0, lc};
Point(6) = {597.6,45.9,0, lc};
Point(7) = {870.0,0.0, 0,lc};
Point(8) = {85.0,40.0, 0,lc};
Point(9) = {174.5,49.4,0, lc};
Point(10) = {260.0,50.0,0, lc};
Point(11) = {344.7,50.0,0, lc};
Point(12) = {435.8,44.5,0, lc};
Point(13) = {521.2,37.0,0, lc};
Point(14) = {605.0,30.0,0, lc};
Point(15) = {694.7,22.2,0, lc};

//+
Spline(1) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
//+
Symmetry {0, 1, 0, 0} {
  Duplicata { Point{1}; Point{2}; Point{3}; Point{4}; Point{5}; Line{1}; Point{6}; Point{7}; Point{8}; Point{9}; Point{10}; Point{11}; Point{12}; Point{13}; Point{14}; Point{15}; }
}

//+
Line Loop(1) = {1, -2};
//+
Line(3) = {8, 9};
//+
Line(4) = {9, 33};
//+
Line(5) = {33, 32};
//+
Line(6) = {32, 8};
//+
Line(7) = {10, 11};
//+
Line(8) = {11, 35};
//+
Line(9) = {35, 34};
//+
Line(10) = {34, 10};
//+
Line(11) = {12, 13};
//+
Line(12) = {13, 37};
//+
Line(13) = {37, 36};
//+
Line(14) = {36, 12};
//+
Line(15) = {14, 15};
//+
Line(16) = {15, 39};
//+
Line(17) = {39, 38};
//+
Line(18) = {38, 14};
//+
Line Loop(2) = {3, 4, 5, 6};
//+
Line Loop(3) = {7, 8, 9, 10};
//+
Line Loop(4) = {11, 12, 13, 14};
//+
Line Loop(5) = {15, 16, 17, 18};
//+
Physical Line(0)={1, -2};
Physical Line(1)={3, 4, 5, 6};
Physical Line(2)={7, 8, 9, 10};
Physical Line(3)={11, 12, 13, 14};
Physical Line(4)={15, 16, 17, 18};

Plane Surface(1) = {1, 2, 3, 4, 5};
Physical Surface(1) = {1};

 

邊界資訊如何保存？

邊界edges需要用標記，

在matlab程式中用bedge(3,Nbc)存盤邊界資訊，前兩個數字代表邊的兩端節點編號，第三個數字代表屬于哪一個邊，

 

生成網格后匯出為“blademesh.m”用以后續使用，注意不要勾選Save all elements，否則會沒有邊界資訊，

我用gmsh-4.4.1-Windows64版本，可以匯出邊界資訊，但是新版的gmsh匯出為.m檔案時，邊界資訊無法保存，

 

 

3. 矩陣組裝

3.1 控制方程

 

3.2 系統矩陣

其中的Ω代表全域，我們將全域分解為一個個單元，這就是有限元的思想，

計算每個單元（Ωe）的剛度矩陣，然后每項加到整體剛度矩陣：

 

 

4. 代碼實作（matlab）

步驟

工具或函式

定義求解域并生成網格

gmsh匯出網格為blademesh.m

讀入網格資訊，資料轉換

bladeread

矩陣和矢量組裝，線性方程組求解

bleadheat

查看結果

bladeplot

 

主程式：bladeheat.m 

% Clear variables

clear all;


% Set gas temperature and wall heat transfer coefficients at
% boundaries of the blade.  Note: Tcool(i) and hwall(i) are the
% values of Tcool and hwall for the ith boundary which are numbered
% as follows:  
%
%   1 = external boundary (airfoil surface)
%   2 = 1st internal cooling passage (from leading edge)
%   3 = 2nd internal cooling passage (from leading edge)
%   3 = 3rd internal cooling passage (from leading edge)
%   3 = 4th internal cooling passage (from leading edge)

% Tcool = [1300, 200, 200, 200, 200];
% hwall = [14, 4.7, 4.7, 4.7, 4.7];

Tcool = [1573, 473, 473, 473, 473];
h = [205.8*10^-6, 65.8*10^-6, 65.8*10^-6, 65.8*10^-6, 65.8*10^-6];
k = 14.7*10^-3;
hwall = h / k;


% Load in the grid file
% NOTE:  after loading a gridfile using the load(fname) command,
%        three important grid variables and data arrays exist.  These are:
%
% Nt: Number of triangles (i.e. elements) in mesh
%
% Nv: Number of nodes (i.e. vertices) in mesh
%
% Nbc: Number of edges which lie on a boundary of the computational
%      domain.
% 
% tri2nod(3,Nt):  list of the 3 node numbers which form the current
%                 triangle.  Thus, tri2nod(1,i) is the 1st node of
%                 the i'th triangle, tri2nod(2,i) is the 2nd node
%                 of the i'th triangle, etc.
%
% xy(2,Nv): list of the x and y locations of each node.  Thus,
%           xy(1,i) is the x-location of the i'th node, xy(2,i)
%           is the y-location of the i'th node, etc.
%
% bedge(3,Nbc): For each boundary edge, bedge(1,i) and bedge(2,i) 
%               are the node numbers for the nodes at the end
%               points of the i'th boundary edge.  bedge(3,i) is an
%               integer which identifies which boundary the edge is
%               on. In this solver, the third value has the
%               following meaning:
%
%               bedge(3,i) = 0: edge is on the airfoil
%               bedge(3,i) = 1: edge is on the first cooling passage
%               bedge(3,i) = 2: edge is on the second cooling passage
%               bedge(3,i) = 3: edge is on the third cooling passage
%               bedge(3,i) = 4: edge is on the fourth cooling passage
% 
bladeread;

% Start timer
Time0 = cputime;

% Zero stiffness matrix

K = zeros(Nv, Nv);
b = zeros(Nv, 1);

% Zero maximum element size
hmax = 0;

% Loop over elements and calculate residual and stiffness matrix

for ii = 1:Nt,
  
  kn(1) = tri2nod(1,ii);
  kn(2) = tri2nod(2,ii);
  kn(3) = tri2nod(3,ii);
    
  xe(1) = xy(1,kn(1));
  xe(2) = xy(1,kn(2));
  xe(3) = xy(1,kn(3));

  ye(1) = xy(2,kn(1));
  ye(2) = xy(2,kn(2));
  ye(3) = xy(2,kn(3));

  % Calculate circumcircle radius for the element
  % First, find the center of the circle by intersecting the median
  % segments from two of the triangle edges.
  
  dx21 = xe(2) - xe(1);
  dy21 = ye(2) - ye(1);

  dx31 = xe(3) - xe(1);
  dy31 = ye(3) - ye(1);

  x21  = 0.5*(xe(2) + xe(1));
  y21  = 0.5*(ye(2) + ye(1));

  x31  = 0.5*(xe(3) + xe(1));
  y31  = 0.5*(ye(3) + ye(1));

  b21 = x21*dx21 + y21*dy21;
  b31 = x31*dx31 + y31*dy31;

  xydet = dx21*dy31 - dy21*dx31;
  
  x0 = (dy31*b21 - dy21*b31)/xydet;
  y0 = (dx21*b31 - dx31*b21)/xydet;
  
  Rlocal = sqrt((xe(1)-x0)^2 + (ye(1)-y0)^2);

  if (hmax < Rlocal),
    hmax = Rlocal;
  end
  
  % Calculate all of the necessary shape function derivatives, the
  % Jacobian of the element, etc.
  
  % Derivatives of node 1's interpolant 
  dNdxi(1,1) = -1.0; % with respect to xi1
  dNdxi(1,2) = -1.0; % with respect to xi2
  
  % Derivatives of node 2's interpolant
  dNdxi(2,1) =  1.0; % with respect to xi1
  dNdxi(2,2) =  0.0; % with respect to xi2

  % Derivatives of node 3's interpolant
  dNdxi(3,1) =  0.0; % with respect to xi1
  dNdxi(3,2) =  1.0; % with respect to xi2
  
  % Sum these to find dxdxi (note: these are constant within an element)
  dxdxi = zeros(2,2);
  for nn = 1:3,
    dxdxi(1,:) = dxdxi(1,:) + xe(nn)*dNdxi(nn,:);
    dxdxi(2,:) = dxdxi(2,:) + ye(nn)*dNdxi(nn,:);
  end
  
  % Calculate determinant for area weighting
  J = dxdxi(1,1)*dxdxi(2,2) - dxdxi(1,2)*dxdxi(2,1);
  A = 0.5*abs(J); % Area is half of the Jacobian
  
  % Invert dxdxi to find dxidx using inversion rule for a 2x2 matrix
  dxidx = [ dxdxi(2,2)/J, -dxdxi(1,2)/J; ...
       -dxdxi(2,1)/J,  dxdxi(1,1)/J];
  
  % Calculate dNdx 
  dNdx = dNdxi*dxidx;

  % Add contributions to stiffness matrix for node 1 weighted residual
  K(kn(1), kn(1)) = K(kn(1), kn(1)) + (dNdx(1,1)*dNdx(1,1) + dNdx(1,2)*dNdx(1,2))*A;
  K(kn(1), kn(2)) = K(kn(1), kn(2)) + (dNdx(1,1)*dNdx(2,1) + dNdx(1,2)*dNdx(2,2))*A;
  K(kn(1), kn(3)) = K(kn(1), kn(3)) + (dNdx(1,1)*dNdx(3,1) + dNdx(1,2)*dNdx(3,2))*A;
  
  % Add contributions to stiffness matrix for node 2 weighted residual
  K(kn(2), kn(1)) = K(kn(2), kn(1)) + (dNdx(2,1)*dNdx(1,1) + dNdx(2,2)*dNdx(1,2))*A;
  K(kn(2), kn(2)) = K(kn(2), kn(2)) + (dNdx(2,1)*dNdx(2,1) + dNdx(2,2)*dNdx(2,2))*A;
  K(kn(2), kn(3)) = K(kn(2), kn(3)) + (dNdx(2,1)*dNdx(3,1) + dNdx(2,2)*dNdx(3,2))*A;
  
  % Add contributions to stiffness matrix for node 3 weighted residual
  K(kn(3), kn(1)) = K(kn(3), kn(1)) + (dNdx(3,1)*dNdx(1,1) + dNdx(3,2)*dNdx(1,2))*A;
  K(kn(3), kn(2)) = K(kn(3), kn(2)) + (dNdx(3,1)*dNdx(2,1) + dNdx(3,2)*dNdx(2,2))*A;
  K(kn(3), kn(3)) = K(kn(3), kn(3)) + (dNdx(3,1)*dNdx(3,1) + dNdx(3,2)*dNdx(3,2))*A;
  
end


% Loop over boundary edges and account for bc's
% Note: the bc's are all convective heat transfer coefficient bc's
% so the are of 'Robin' form.  This requires modification of the
% stiffness matrix as well as impacting the right-hand side, b.
%

for ii = 1:Nbc,

  % Get node numbers on edge
  kn(1) = bedge(1,ii);
  kn(2) = bedge(2,ii);
  
  % Get node coordinates
  xe(1) = xy(1,kn(1));
  xe(2) = xy(1,kn(2));
  
  ye(1) = xy(2,kn(1));
  ye(2) = xy(2,kn(2));

  % Calculate edge length
  ds = sqrt((xe(1)-xe(2))^2 + (ye(1)-ye(2))^2);
  
  % Determine the boundary number
  bnum = bedge(3,ii) + 1;

  % Based on boundary number, set heat transfer bc
  K(kn(1), kn(1)) = K(kn(1), kn(1)) + hwall(bnum)*ds*(1/3);
  K(kn(1), kn(2)) = K(kn(1), kn(2)) + hwall(bnum)*ds*(1/6);
  b(kn(1))        = b(kn(1))        + hwall(bnum)*ds*0.5*Tcool(bnum);
  
  K(kn(2), kn(1)) = K(kn(2), kn(1)) + hwall(bnum)*ds*(1/6);
  K(kn(2), kn(2)) = K(kn(2), kn(2)) + hwall(bnum)*ds*(1/3);
  b(kn(2))        = b(kn(2))        + hwall(bnum)*ds*0.5*Tcool(bnum);
    
end

% Solve for temperature
Tsol = K\b;

% Finish timer
Time1 = cputime;

% Plot solution
bladeplot;

% Report outputs
Tmax = max(Tsol);
Tmin = min(Tsol);

fprintf('Number of nodes      = %i\n',Nv);
fprintf('Number of elements   = %i\n',Nt);
fprintf('Maximum element size = %5.3f\n',hmax);
fprintf('Minimum temperature  = %6.1f\n',Tmin);
fprintf('Maximum temperature  = %6.1f\n',Tmax);
fprintf('CPU Time (secs)      = %f\n',Time1 - Time0);

 

bladeread.m

% Read three important grid variables and data arrays
% Nt: Number of triangles (i.e. elements) in mesh
% Nv: Number of nodes (i.e. vertices) in mesh
% Nbc: Number of edges which lie on a boundary of the computational
%      domain.
% tri2nod(3,Nt):  list of the 3 node numbers which form the current
%                 triangle.  Thus, tri2nod(1,i) is the 1st node of
%                 the i'th triangle, tri2nod(2,i) is the 2nd node
%                 of the i'th triangle, etc.
% xy(2,Nv): list of the x and y locations of each node.  Thus,
%           xy(1,i) is the x-location of the i'th node, xy(2,i)
%           is the y-location of the i'th node, etc.
% bedge(3,Nbc): For each boundary edge, bedge(1,i) and bedge(2,i) 
%               are the node numbers for the nodes at the end
%               points of the i'th boundary edge.  bedge(3,i) is an
%               integer which identifies which boundary the edge is
%               on. In this solver, the third value has the
%               following meaning:
%
%               bedge(3,i) = 0: edge is on the airfoil
%               bedge(3,i) = 1: edge is on the first cooling passage
%               bedge(3,i) = 2: edge is on the second cooling passage
%               bedge(3,i) = 3: edge is on the third cooling passage
%               bedge(3,i) = 4: edge is on the fourth cooling passage
% 

clc
run('blademesh.m');
Nv=msh.nbNod;
Nt=size(msh.TRIANGLES,1);
Nbc=size(msh.LINES,1);
for i=1:Nt
    tri2nod(1,i)=msh.TRIANGLES(i,1);
    tri2nod(2,i)=msh.TRIANGLES(i,2);
    tri2nod(3,i)=msh.TRIANGLES(i,3);
end
for i=1:Nv
    xy(1,i)=msh.POS(i,1);
    xy(2,i)=msh.POS(i,2);
end
for i=1:Nbc
    bedge(1,i)=msh.LINES(i,1);
    bedge(2,i)=msh.LINES(i,2);
    bedge(3,i)=msh.LINES(i,3);
end

 

bladeplot.m

% Plot T in triangles
figure;
for ii = 1:Nt,
  for nn = 1:3,
    xtri(nn,ii) = xy(1,tri2nod(nn,ii));
    ytri(nn,ii) = xy(2,tri2nod(nn,ii));
    Ttri(nn,ii) = Tsol(tri2nod(nn,ii));
  end
end
HT = patch(xtri,ytri,Ttri);
axis('equal');
set(HT,'LineStyle','none');
title('Temperature (K)');
% caxis([298,1573]);
colormap(jet);
HC = colorbar;
hold on; bladeplotgrid; hold off;

 

 

 

5. 計算結果

 

 

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/555513.html

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    ?碎碎念 CTFHub：https://www.ctfhub.com/ 筆者入門CTF時時剛開始刷的是bugku的舊平臺，后來才有了CTFHub。 感覺不論是網頁UI設計，還是題目質量，賽事跟蹤，工具軟體都做得很不錯。 而且因為獨到的金幣制度的確讓人有一種想去刷題賺金幣的感覺。 個人還是非常喜歡這個 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:05 more
  • 02windows基礎操作

    我學到了一下幾點 Windows系統目錄結構與滲透的作用 常見Windows的服務詳解 Windows埠詳解 常用的Windows注冊表詳解 hacker DOS命令詳解（net user / type /md /rd/ dir /cd /net use copy、批處理 等） 利用dos命令制作 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:18 more
  • 03.Linux基礎操作

    我學到了以下幾點 01Linux系統介紹02系統安裝，密碼啊破解03Linux常用命令04LAMP 01LINUX windows： win03 8 12 16 19 配置不繁瑣 Linux：redhat,centos(紅帽社區版)，Ubuntu server,suse unix:金融機構，證券，銀 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:30 more
  • 05HTML

    01HTML介紹 02頭部標簽講解03基礎標簽講解04表單標簽講解 HTML前段語言 js1.了解代碼2.根據代碼 懂得挖掘漏洞 （POST注入/XSS漏洞上傳）3.黑帽seo 白帽seo 客戶網站被黑帽植入劫持代碼如何處理4.熟悉html表單 <html><head><title>TDK標題，描述 ......

    uj5u.com 2020-09-10 02:04:36 more
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    After Effects 2023 (版本 23.4) 發布 有哪些值得關注的新功能？AE2023改進了用戶請求的作業流程并進行了重要修復，用戶可在 After Effects 中更高效地作業，在不影響創意構想的情況下設計更加優質的細節。 AE2023 for Mac AE2023 新增功能如下： ......

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  • LINUX LAMP架構

    目錄 一、LAMP 二、Apache 三、MySQL 四、PHP 一、LAMP 1.概念 LAMP架構是目前成熟的企業網站應用模式之一，指的是協同作業的一整臺系統和相關軟體，能夠提供動態web站點服務及其應用開發環境 2.組成 在構建LAMP平臺時，各組件的安裝順序依次為Linux，Apache，M ......

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  • 【介面測驗】Postman（三）-變數與集合

    ? 在Postman中，我們進行介面測驗一般是以集合為單位，而在日常應用中，我們會經常使用到變數。下面我們將介紹一下變數和集合的一些用法。 ......

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  • docker構建FreeSWITCH編譯環境及打包

    作業系統 ：CentOS 7.6_x64 FreeSWITCH版本 ：1.10.9 Docker版本：23.0.6 FreeSWITCH這種比較復雜的系統，使用容器部署是比較方便的，今天記錄下CentOS 7環境下使用docker構建FreeSWITCH編譯環境及打包發布的程序。 一、資源準備 1、 ......

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    ## 問題起因 近段時間，在作業中，遇到了一個問題：有一套K8S集群在做可靠性驗證，在重啟上下電之后，發現這個節點上的Pod狀態例外。通過kubectl describe查看Pod情況，都是掛卷出錯，而kubelet日志中也報了某個CSI插件沒有找到。但問題是CSI插件對應的Pod是正常Runnin ......

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