幾何學基礎
- 歐式幾何
- 從一點向另一點可以引一條直線，
- 任意線段能無限延伸成一條直線，
- 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓，
- 所有直角都相等，
- 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交，
- 羅巴切夫斯基幾何
- 第五公設不能被證明，
- 在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論，這個理論像歐氏幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學，
- 黎曼幾何
對于三維空間，有以下三種情形：
- 曲率恒等于零
- 曲率為負常數
- 曲率為正常數
前兩種情形分別對應于歐幾里得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形則是黎曼本人的創造，它對應于另一種非歐幾何學，黎曼的這第三種幾何就是用命題“過直線外一點所作任何直線都與該直線相交”代替第五公設作為前提，保留歐氏幾何學的其他公理與公設，經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系，這種幾何否認“平行線”的存在，是另一種全新的非歐幾何，這就是如今狹義意義下的黎曼幾何，它是曲率為正常數的幾何，也就是普通球面上的幾何，又叫球面幾何，
橢圓曲線
定義：一條橢圓曲線就是一組被 \(y^2 = x^3 + ax + b\) 定義的且滿足 \(4a3+27b2≠0\) 的點集，
橢圓曲線加法（非有限域）：
在橢圓曲線上取一點P(Xp,Yp)，再取一點Q(Xq,Yq)，連接P、Q兩點作一條直線，這條直線將在橢圓曲線上交于第三點G，過G點作垂直于X軸的直線，將過橢圓曲線另一點R（一般是關于X軸對稱的點），R點則被定義為P+Q的結果，既P+Q=R：
橢圓曲線加法（有限域）：
公式如下
Xr = (λ2 - Xp - Xq) mod p
Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p
橢圓曲線乘法：
乘法簡化成加法
伽羅瓦域
有限域亦稱伽羅瓦域（galois field），是僅含有限個元素的域,它是伽羅瓦(Galois,E.)于18世紀30年代研究代數方程根式求解問題時引出的.有限域的特征數必為某一素數p,因此它含的素域同構于Zp.若F是特征為p的有限域,則F中元素的個數為p?,n為某一正整數.元素個數相同的有限域是同構的.因此,通常用GF(p?)表示p?元的有限域.GF(p?)的乘法群是(p?-1)階的回圈群.
有限域橢圓曲線點的階
如果橢圓曲線上一點P，存在最小的正整數n使得數乘 \(n P = O ∞ ?\) ,則將n稱為P的階
若n不存在，則P是無限階的.
加密原理
考慮 \(K=kG\) ，其中K、G為橢圓曲線Ep(a,b)上的點，n為G的階（\(nG=O∞ \)? ），k為小于n的整數，則給定k和G，根據加法法則，計算K很容易但反過來，給定K和G，求k就非常困難，因為實際使用中的ECC原則上把p取得相當大，n也相當大，要把n個解點逐一算出來列成上表是不可能的，這就是橢圓曲線加密演算法的數學依據 ，
-
點G稱為基點（base point）
-
\(k(k<n)\) 為私有密鑰（private key）
-
K為公開密鑰（public key)
下面是利用橢圓曲線進行加密通信的程序：
- 用戶A選定一條橢圓曲線Ep(a,b)，并取橢圓曲線上一點，作為基點G，
- 用戶A選擇一個私有密鑰k，并生成公開密鑰K=kG，
- 用戶A將Ep(a,b)和點K，G傳給用戶B，
- 用戶B接到資訊后 ，將待傳輸的明文編碼到Ep(a,b)上一點M（編碼方法很多，這里不作討論），并產生一個隨機整數r（r<n），
- 用戶B計算點 \(C1 = M + r K \)和\(C2 = M + r K \)，
- 用戶B將 C 1 、 C 2傳給用戶A，
- 用戶A接到資訊后，計算 \(C 1 ? k C 2\) ?，結果就是點M，再對點M進行解碼就可以得到明文， 因為\( C 1 ? k C 2 = M + r K ? k ( r G ) = M + r k G ? k r G = M\)
密鑰交換ECDH
ECDH使得交換雙方可以在不共享任何秘密的情況下協商出一個密鑰，密鑰磋商程序：
假設密鑰交換雙方為Alice、Bob，有相同的橢圓曲線，
- Alice生成亂數私鑰a，計算a*G， 生成Alice公鑰
- Bob生成亂數私鑰b，計算b*G， 生成Bob公鑰
- Alice將公鑰aG和基點G傳遞給Bob，竊聽者C可以獲取公鑰aG和基點G，
- Bob將bG傳遞給Alice，同理，竊聽者C同樣可以獲得bG，
- Bob收到Alice傳遞過來的公鑰a*G，計算Q =baG;
- Alice收到Bob傳遞的公鑰b*G，計算Q=abG，竊聽者C可以獲得G、aG、bG但是得不到abG
簽名
用私鑰 a 對訊息 m簽名，得到的結果是兩個整數 (r,s)，計算程序如下，
- 隨機生成臨時私鑰 k，并計算其對應的公鑰 K=k?G=(xK,yK)
- 計算 \(r=xK mod n\)，若 r為 0，則回到第一步
- 計算訊息 m的哈希 e=hash(m)，并將 e的二進制序列轉成一個整數
- 計算\( s=k?1(e+ra)modn\)，若 s為 0，則回到第一步
- 得到簽名 (r,s)
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