一個初中平面幾何問題

我是1981年初中畢業，讀了大概三個月的高中后肄業，后面的日子一邊在生產隊干活，一邊繼續學習高中的數學，在學習了高中的二次曲線部分，特別是橢圓曲線后，我發現了下面一個初中平面幾何定理，并給出了一個非常簡潔的證明，1995年~1998年在浙大讀博期間，曾經講給一個師兄聽，他聽后認為是一個很巧妙的證明，我一直認為初中的平面幾何當初是我最感興趣的學習內容，它引導我喜歡上了數學，當時的年代由于課后習題少，參考書也不多，我曾經養成了自己編題，自己解題的習慣，下面這個結論的發現也許得益于養成的這種習慣，這么多年過去了，證明的程序仍然記憶猶新，作為消遣，寫出來與大家共享，并歡迎大家就證明程序提出寶貴意見，我相信若證明正確的話（歡迎大家找錯啊），對中學生及其家長是有益的，它不失為一個好的智力開發題，當然若結論或證明程序與前人雷同，則純屬巧合（畢竟平面幾何這個學科太過古老，本人也不從事中學數學的教學，擔心有不知道的東西已經存在了），

定理：在 △ A B C △ABC △ABC的內部不存在一個點 P P P到三個頂點的距離和最長，即不存在一個點 P P P使 P A + P B + P C PA+PB+PC PA+PB+PC最長，

證明：如上圖所示，以 B B B 和 C C C 為焦點，過 P P P做一橢圓，在橢圓上 P P P 的兩邊分別取 P 1 P_1 P1? 和 P 2 P_2 P2? 兩個點，根據橢圓的性質， P 1 B + P 1 C = P B + P C = P 2 B + P 2 C P_1B+P_1C = PB + PC = P_2B+P_2C P1?B+P1?C=PB+PC=P2?B+P2?C，因此，我們只需證明 P 1 A P_1A P1?A 和 P 2 A P_2A P2?A 至少有一條大于 P A PA PA 即可，連接 P 1 P_1 P1? 和 P P P， P 2 P_2 P2? 和 P P P， 考慮 △ A P 1 P △AP_1P △AP1?P 和 △ A P P 2 △APP_2 △APP2?，由于 ∠ P 1 P P 2 < 18 0 ， \angle {P_1}P{P_2} < 180^， ∠P1?PP2?<180， , 所以 ∠ P 1 P A \angle {P_1}PA ∠P1?PA 和 ∠ P 2 P A \angle {P_2}PA ∠P2?PA 至少一個為鈍角, 而鈍角所對應的邊一定為最大邊，結論由此而證明，

注1：上面的證明結合了二次曲線的性質，如何用初中平面幾何的知識進行證明則是一個有趣的問題，上面證明中直觀地使用了 ∠ P 1 P P 2 < 18 0 ， \angle {P_1}P{P_2} < 180^， ∠P1?PP2?<180， ，而這個其實是利用了橢圓的凸性，
注2：上面的定理是否對凸多邊形也成立？若成立如何證明？這個是否可以引申出現代數學的某些東西呢？