n階行列式的全排列求解(Java)

上一個隨筆，我介紹了全排列的遞回求解，其中還有排列的逆序數等代碼，這次我來介紹如何使用全排列計算行列式的值，

使用全排列求行列式的值，簡單的描述就是:

1. 對這個行列式每一行選取一個數，這些數處于行列式的不同的列，將這些數相乘，結果記為A_1
2. 將這些數的列標按行標從上到下的順序排列，如果這個排列的逆序數為偶數，A_1加個正號+A_1，否則加個負號-A_1
3. 由排列組合知識我們知道我們一共能從行列式中取出n!種情況，他們的和就是行列式的值

（剛開始用博客園,沒找到插入latex的地方，我就截個圖了，，，）

可見，我們需要實作以下功能：

1. 定義矩陣類

2. 獲得矩陣列標的全排列

3. 對每個排列，在矩陣的每一行取一個數，并計算這個排列的逆序數，決定符號

4. 計算取出的數的求積，綜合以上操作，求出行列式的值

逐個實作！

1. 首先，類定義的代碼分別如下(成員函式逐一介紹)：

public class Matrix {

    /**
     * author:ZhaoKe
     * college: CUST
     */
    public int row;
    public int column;
    public double[][] elements;
    
    public Matrix() {
        this.elements = new double[this.row][this.column];
        for (int i = 0; i < this.row; i++) {
            for (int j = 0; j < this.column; j++) {
                this.elements[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    
    public Matrix(double[][] elements) {
        this.row = elements.length;
        this.column = elements[0].length;
        this.elements = new double[this.row][this.column];
        for (int i = 0; i < this.row; i++) {
            for (int j = 0; j < this.column; j++) {
                this.elements[i][j] = elements[i][j];
            }
        }
    }
}

2. 然后我們要獲得全排列，這部分上一次已經講過，完整代碼請看一下 https://www.cnblogs.com/zhaoke271828/p/12530031.html

3. 根據排列從矩陣中取數，所謂排列，我們用陣串列示，那么功能也很好實作，大家可以自己試一下，注意這是Matrix類的成員函式

    public double[] getArrayByColumnIndex(int[] index) {
        double[] array = new double[index.length];
        for (int i = 0; i < this.row; i++) {
            array[i] = this.elements[i][index[i]];
        }
        return array;
    }

4. 然后直接求行列式的值：

根據逆序數判斷正負號：

this.isOdd(perm.against(result[i]))?1:-1
這個perm表示Permutation類的實體，這個類的定義參考我的另一個博客 全排列的Java實作 https://www.cnblogs.com/zhaoke271828/p/12530031.html

    public boolean isOdd(int number) {
        return number %2==0;
    }
    
    public double det() throws Exception {
        if (this.row != this.column) {
            throw new Exception("該矩陣不是方陣，不可求行列式，考慮求廣義行列式吧！");
        }
        int[] index = new int[this.column];
        for (int i = 0; i < index.length; i++) {
            index[i] = i;
        }
        Permutation perm = new Permutation(index);
        perm.perm(index, 0);
        int[][] result = perm.getResult();
        double sum = 0;
        for (int i = 0; i < result.length; i++) {
//            System.out.println("本次運算的陣列：" + Arrays.toString(getArrayByColumnIndex(result[i])));
//            System.out.println("符號是：" + (this.isOdd(perm.against(result[i]))?1:-1));
            sum += Array.prod(getArrayByColumnIndex(result[i]))*(this.isOdd(perm.against(result[i]))?1:-1);
        }
        return sum;
    }

其中涉及到對一個陣列求連乘積，這個大家可以自己實作以下，我這里又定義了陣列類Array，代碼如下：

其實變麻煩了，不過博主習慣這種操作hhhhh~如果還需要關于陣列的操作，方便添加功能

public class Array {
    public double[] elements;
    
    public Array(double[] elements) {
        this.elements = elements;
    }
    
    public static double prod(double[] array) {
        double prod = 1;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            prod *= array[i];
        }
        return prod;
    }
}

以上就是全部代碼了，可以試一下效果：

public static void main(String[] args) {
        double[][] matrix = {
                {1, 2, 4, 8},
                {1,1,1,1},
                {1, 4, 16, 64},
                {1,5,25,125}
        };
        Matrix m = new Matrix(matrix);
        try {
            System.out.println(m.det());
        } catch (Exception e) {
            // TODO Auto-generated catch block
            e.printStackTrace();
        }
    }

結果正是  -72.0

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