極大似然小結

在機器學習中，我們經常要利用極大似然法近似資料整體的分布，本篇文章通過介紹極大似然法及其一些性質，旨在深入淺出地解釋清楚極大似然法，

0. 貝葉斯概率

首先看一下經典的貝葉斯公式：

\[p(Y|X)=\frac{p(X|Y)p(Y)}{p(X)} \]

其中，\(p(Y)\)稱為先驗概率(\(prior\))，即根據先驗知識得出的關于變數\(Y\)的分布，\(p(X|Y)\)稱為似然函式（\(likelihood\)），\(p(X)\)為變數\(X\)的概率，\(p(Y|X)\)稱之為條件概率（給定變數\(X\)的情況下\(Y\)的概率，\(posterior\)，后驗概率），

1. 似然函式

似然，即可能性；顧名思義，則似然函式就是關于可能性的函式了，在統計學中，它表示了模型引數的似然性，即作為統計模型中引數的函式，一般形式如下：

\[L(\omega)=p(D | \omega) = p(x_1, x_2, \cdots ,x_n| \omega) \]

其中，\(D\)表示樣本集\(\{x_1,x_2,\cdots, x_n\}\), ?\(\omega\)表示引數向量，

似然函式表示了在不同的引數向量\(\omega\)下，觀測資料出現的可能性的大小，它是引數向量\(\omega\)的函式，在某種意義上，我們可以認為其是條件概率的逆反\(^{[1]}\)，

在這里利用Wikipedia\(^{[1]}\)中的例子簡要說明一下似然函式，同時也引出極大似然估計，

考慮優質一枚硬幣的實驗，通常來說，我們的硬幣都是“公平”（質地均勻）的，即正面向上（Head）的概率\(p_H=0.5\)，由此概率我們可以知道投擲若干次后各種結果出現的可能性（概率，或然性），

例如，投擲硬幣兩次，兩次都為上的概率為0.25，利用條件概率表示，即：

\[P(HH|p_h=0.5)=0.5^2=0.25 \]

如果一個硬幣并非質地均勻，那么它可能是一枚“非公平”的，在統計學中，我們關注的是已知一系列投擲的結果時，關于硬幣投擲時正面朝上的可能性的資訊，我們可以建立一個統計模型：假設硬幣投出時會有\(p_H\)的概率正面朝上，則有\(1-p_H\)的概率反面朝上，這時通過觀察已發生的兩次投擲，條件概率可以改寫成似然函式：

\[L(p_H)=P(HH|p_H=0.5)=0.25 \]

也就是說，對于取定的似然函式，在觀測到兩次投擲都是正面朝上時，\(p_H\)的似然性是0.25，注意，反之并不成立，即當似然函式為0.25時，不能推論出\(p_H=0.25\)，

如果考慮\(p_H=0.6\)，那似然函式也會改變：

\[L(p_H)=P(HH|p_H=0.6)=0.36 \]

如圖所示，注意到似然函式的值變大了，這說明，如果引數\(p_H\)取值變成0.6的話，結果觀測到連續兩次正面朝上的概率比假設\(p_H=0.5\)時更大，也就是說，引數\(p_H\)取0.6要比取成0.5更有說服力，更為"合理"，

總之，似然函式的重要性不是它的具體取值，而是當引數變化時，函式到底變小還是變大，

對同一個似然函式，其所代表的模型中，某項引數值具有多種可能，但如果存在一個引數值，使得它的函式值最愛的話，那么這個值就是這項引數最為“合理”的引數值，

在這個例子中，\(p_H\)取1時，似然函式達到最大值，也即是，當連續觀測到兩次正面朝上時，假設硬幣投擲時正面朝上的概率為1是最合理的，

在上述參考中，我們看到了一個極端的結論，即未來所有的投擲都會是正面向上，這是頻率派觀點下使用廣泛的一種方法，即極大似然法，在上面的觀點中（頻率派），\(\omega\)被認為是一個固定的引數，它的值通過估計來確定，但是在貝葉斯派觀點中，只有一個資料集\(D\)(即實際觀測到的資料集)，引數的不確定性通過\(\omega\)的概率分布來表達，貝葉斯的觀點是對先驗概率的包含是很自然的事情，包含先驗概率的貝葉斯方法將不會得到上述的極端結論，

另外還有兩點需要注意，第一，似然函式不是\(\omega\)的概率分布，關于\(\omega\)的積分并不一定等于1；第二，似然\(\ne\)概率，概率（或然性）用于在已知一些引數的情況下預測接下來的結果，似然性則是在已知某些結果時，對有關引數進行估值，關于第二點，舉個例子，如果我有一枚硬幣，如果是質地均勻的（已知引數），那么它出現正面朝上的概率為0.5（結果）；同樣地，如果一枚硬幣，我拋了100次，正面朝上52次（結果），那么我認為硬幣十有八九是質地均勻的（估計引數），

2. 極大似然估計（maximum likelihood estimation， MLE）

了解了似然函式，那么極大似然估計是什么就很好理解了，它是一種用來估計一個概率模型引數的方法，根據公式（2），我們一旦獲得一個資料集\(D\)，那我們就能求得一個關于\(\omega\)的估計，極大似然估計會尋找一個最可能的值（此處的可能是最可能的\(\omega\)，這個\(\omega\)可以使出現采樣\(D\)的可能性最大化），

從數學上來講，我們可以在\(\omega\)的所有取值中，尋找一個值使得似然函式達到最大值，這種估計方法稱之為極大似然估計，極大似然估計是樣本不變時，關于\(\omega\)的函式，極大似然估計不一定存在，也不一定唯一，

在第1節中預測硬幣的質地\(\omega\)，是關于極大似然估計的一個經典例子，其他例子可以查看參考文獻\(^{[2]}\)，

現在我們看一下極大似然估計在正態分布中的應用：

現在假定我們有一個觀測的資料集\(\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_N)^T\)，表示標量變數\(x\)的N次觀測，我們假定各次觀測是獨立地從高斯分布中抽取，分布的均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)未知，我們想根據資料集來確定這些引數，兩個獨立事件的聯合概率可以由各個事件的邊緣概率的乘積得到，我們的資料集\(\mathbf{x}\)是獨立同分布的，因此給定\(\mu\)和\(\sigma^2\)，我們可以給出高斯分布的似然函式：

\[p(\mathbf{x}|\mu,\sigma^2)=\prod_{n=1}^{N}\mathcal{N}(x_n|\mu,\sigma^2) \]

為了簡化分析和有助于數值運算,我們取似然函式的對數（最大化對數似然等價于最大化似然函式，很容易證明）:

\[ln(\mathbf x|\mu,\sigma^2)=-\frac {1} {2\sigma^2} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu)^2-\frac {N}{2}ln\sigma^2-\frac{N}{2}ln(2\pi) \]

關于\(\mu\)，最大化對數似然函式，得到\(\mu\)的最大似然解：

\[\mu_{ML}=\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}x_n \]

可看到解為樣本均值，同理，方差\(\sigma^2\)的最大似然解為：

\[\sigma_{ML}^2=\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{ML})^2 \]

由此完成了正態分布的極大似然估計，

3. 極大似然的有偏性

極大似然估計方法求解引數有一定局限性\(^{[3]}\)，極大似然法除了會得出第1節中關于硬幣的極端情況外，還會出現一種情況，有偏估計，就是期望\(\ne\)理想值，最大似然方法會系統化地低估分布的方差，下面進行證明：

均值的估計\(\mu_{ML}\)的期望\(E[\mu_{ML}]\)為:

\[E(\mu_{ML})=E(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}x_n)=\frac {1}{N}E({\sum_{n=1}^{N}x_n})=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}E(x_n)=\mu \]

方差的估計\(\sigma^2\)的期望\(E[\sigma_{ML}^2]\)為：

\[E[\sigma_{ML}^2]=E(\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{ML})^2)=E(\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2-\mu_{ML}^2)=\frac {1}{N}\sum_{n=1}^{N}E(x_n^2)-E(\mu_{ML}^2) \]

然后求其后兩項，正態分布的二階矩為

\[E(x_n^2)=\mu^2+\sigma^2 \]

而

\[E(\mu_{ML}^2)=E((\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n})^2)=\frac{1}{n^2}(n^2\mu^2+n\sigma^2) \]

故：

\[E[\sigma_{ML}^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2 \]

由此證明了極大似然的有偏性，其中公式（12）和公式（13）的證明可自行參考正態分布的基礎知識，

在這里，PRML\(^{[3]}\)給出了更直觀地解釋，如下圖：

其中，綠色曲線表示真實高斯分布，資料點是根據此概率分布生成，三條紅色分別擬合了三個高斯概率分布，每個資料集包含了兩個藍色資料點，對三個資料集求平均，很明顯方差被低估了，因為它是相對樣本均值進行測量的，而不是相對真實的均值進行測量

4. 后記

極大似然作為機器學習中的一種最常用方法，深刻理解其含義是非常必要且有用的，應該像這對于理解概率論和一些常見的模型有著很大的幫助，當然，極大似然法還有一些性質，如泛函不變性，漸行線行為，限于時間精力和個人水平，沒有給出證明，讀者可自行參考維基百科\(^{[2]}\)，文章中大部分內容為總結和摘抄，共勉，

參考文獻：

1. https://zh.wikipedia.org/wiki/似然函式
2. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1
3. 《 [Pattern Recognition and Machine Learning](http://users.isr.ist.utl.pt/~wurmd/Livros/school/Bishop - Pattern Recognition And Machine Learning - Springer 2006.pdf) 》（即PRML）
4. 《Theory of Point Estimation》
5. https://www.zhihu.com/question/35670078

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