5.1.3線性相關與線性無關

定義1
設 $V V$ 是數域 $F F$ 上的線性空間， $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \in V \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$ ,如果 $F F$ 中存在 $n n$ 個不全為零的數 $k_{1}, k_{2}, ? ?, k_{n} k_1,k_2,\cdots,k_n$ 使得 $\sum_{i = 1}^{n} k_{i} α_{i} = θ \sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=\theta$ 則稱
$α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性相關，否則稱 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性無關.
線性無關亦可等價敘述為：
如果對 $F F$ 中 $n n$ 個數 $k_{1}, k_{2}, ? ?, k_{n} k_1,k_2,\cdots,k_n$ 當 $\sum_{i = 1}^{n} k_{i} α_{i} = θ \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=\theta$ 時，必可推出 $k_{i} = 0 (i = 1, 2, ? ?, n) k_i=0(i=1,2,\cdots,n)$
或者說，
只要 $k_{1}, k_{2}, ? ?, k_{n} k_1,k_2,\cdots,k_n$ 不全為0，則 $\sum_{i = 1}^{n} k_{i} α_{i} \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$ 必不為 $θ \theta$ .
定義2
設 $V V$ 是數域 $F F$ 上的線性空間，對向量 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \in V \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$ ,數 $k_{1}, k_{2}, ? ?, k_{n} \in F k_1,k_2,\cdots,k_n\in F$ ,則稱 $\sum_{i = 1}^{n} k_{i} α_{i} \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$ 是 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 的一個線性組合.如果向量 $β \beta$ 能夠寫成 $\sum_{i = 1}^{n} k_{i} α_{i} \sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$ ,則稱 $β \beta$ 可以由 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性表出.或者說 $β \beta$ 是 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 的線性組合.
定義3
設 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 與 $β_{1}, β_{2}, ? ?, β_{m} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$ 是線性空間 $V V$ 中兩組向量，如果每個 $α_{i} (i = 1, 2, ? ?, n) \alpha_i(i=1,2,\cdots,n)$ 都可以由向量組 $β_{1}, β_{2}, ? ?, β_{m} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$ 線性表出，我們就稱向量組 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 可由向量組 $β_{1}, β_{2}, ? ?, β_{m} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$ 線性表出.若兩個向量組可以互相線性表出，就稱這兩個向量組等價.

定理1
設 $V V$ 是一個線性空間， $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} (n \geq 2) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n(n \ge 2)$ 是 $V V$ 中向量，則 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性相關的充分必要條件是 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 中必有一個向量 $α_{i} \alpha_i$ 可由其余的 $α_{1}, ? ?, α_{i ? 1}, α_{i + 1}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_n$ 線性表出.
定理2
設 $V V$ 是一個線性空間， $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n}, β \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$ 是 $V V$ 中的向量，若 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性無關，而 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n}, β \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$ 線性相關，則 $β \beta$ 可由 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性表出，且表示法唯一.
定理3
設 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 與 $β_{1}, β_{2}, ? ?, β_{m} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$ 是線性空間 $V V$ 中的兩組向量，若 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 可由 $β_{1}, β_{2}, ? ?, β_{m} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$ 線性表出，且 $n > m n>m$ ，則 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性相關. $? \Downarrow$
推論：
如果 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 可由 $β_{1}, β_{2}, ? ?, β_{n} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ 線性表出，且 $α_{1}, α_{2}, ? ?, α_{n} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性無關，則 $m \geq n m\ge n$ .

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