假設\(xcos\,x\)有周期，依據周期函式的規律，可得
\[\begin{aligned} xcos\,x & = (x+T)cos\,(x+T) \\ & = (x+T)cos\,xcos\,T - sin\,xsin\,T \\ & = xcos\,xcos\,T - xsin\,xsin\,T + Tcos\,xcos\,T - Tsin\,xsin\,T \\ \end{aligned} \]
上式需要成立，則\(cos\,T = 1并且Tcos\,xcos\,T-Tsin\,xsin\,T-xsin\,xsin\,T=0\)
假設\(cos\,T=1\)成立，則\(sin\,T=1-cos^2\,T=0\)，則\(Tcos\,xcos\,T-Tsin\,xsin\,T-xsin\,xsin\,T=Tcos\,x=0\)
\(Tcos\,x=0\)發現只有\(T=0\)時，\(Tcos\,x=0\)條件才成立，因此\(xcos\,x\)函式沒有周期
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