AtCoder agc_034D - Manhattan Max Matching

題目大意

• 平面上有 N N N個位置上分別有若干紅點， N N N個位置上分別有若干藍點，保證紅點藍點總數相等，
• 求一個紅點和藍點的匹配，使得每個點對的曼哈頓距離之和最大，輸出最小的答案，
• N ≤ 1000 N≤1000 N≤1000

題解

• 據說奇奇怪怪限制的題，一般會想到網路流，
• 這題還有關點對之間的匹配，則更像是網路流，
• 觀察題目的限制，不同的匹配權值不同，考慮使用費用流，即最大費用最大流，
• 由于曼哈頓距離的式子中有絕對值，先把絕對值拆開，會出現四種情況，分別是 ( x i ? x j ) + ( y i ? y j ) (x_i-x_j)+(y_i-y_j) (xi??xj?)+(yi??yj?)、 ( x i ? x j ) + ( y j ? y i ) (x_i-x_j)+(y_j-y_i) (xi??xj?)+(yj??yi?)、 ( x j ? x i ) + ( y i ? y j ) (x_j-x_i)+(y_i-y_j) (xj??xi?)+(yi??yj?)、 ( x j ? x i ) + ( y j ? y i ) (x_j-x_i)+(y_j-y_i) (xj??xi?)+(yj??yi?),
• • 先從源點連向每個紅點的位置（簡稱為紅點），費用為 0 0 0，容量為這個位置上的點數；每個藍點連向匯點同理，
• 接著上述四種情況對應另外新設的四個點，每個紅點往這四個點連邊，容量正無窮，費用為這個點的代表的式子中 x i x_i xi?和 x j x_j xj?分別對應的正負之和，這四個點再連向藍點，邊權同理，
• 但是會發現，這樣能保證流出的費用正好是曼哈頓距離嗎？如果一對匹配不是恰好在大減小的位置流過，那不就錯了嗎？
• 其實會發現，因為題目求的是最大費用，而加上絕對值一定是大于等于沒有絕對值的，所以最終流過去的方案必然會是曼哈頓距離，且必為最優解，
• 至于最大費用最大流，只需要把費用流SPFA中的最短路改成最長路即可，

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1010
#define ll long long
int last[N*2],cur[N*2],len=1;
ll dis[N*2];
int q[N*2],p[N*2];
ll ans=0;
struct
{
	int c,w,to,next;
}a[N*20];
int n,ns,m;
void add(int x,int y,int c,int w)
{
	a[++len].to=y;
	a[len].next=last[x];
	a[len].c=c,a[len].w=w;
	last[x]=len;
}
int id = 0;
int SPFA()
{
	for(int i=0;i<=ns;i++) dis[i]=-1e16;
	q[1]=0,p[0]=++id,dis[0]=0;
	int l=0,r=1;
	while(l!=r)
	{
		l=l%(ns+10)+1;
		int k=q[l];
		p[k]=0;
		for(int i=last[k];i;i=a[i].next) 
		{
			int x=a[i].to;
			if(dis[k]+a[i].w>dis[x]&&a[i].c)
			{
				dis[x]=dis[k]+a[i].w;
				if(p[x] < id)
				{
					p[x]=id;
					r=r%(ns+10)+1;
					q[r]=x;
				}
			}
		}
	}
	return dis[ns]>0;
}
int dfs(int k,int flow)
{
	if(k==ns) return flow;
	int have=0;
	p[k]=1;
	for(int i=cur[k];i;i=a[i].next)
	{
		int x=a[i].to;
		if(!p[x]&&dis[k]+a[i].w==dis[x]&&a[i].c)
		{
			cur[k] = i;
			int t=min(flow-have,a[i].c);
			int now=dfs(x,t);
			ans+=(ll)now*a[i].w;
			have+=now,a[i].c-=now,a[i^1].c+=now;
			if(have==flow) break;
		}
	}
	p[k]=0;
	return have;
}
int main()
{
	int i,x,y,c;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
		add(i,2*n+1,c,x+y);
		add(2*n+1,i,0,-x-y);
		add(i,2*n+2,c,x-y);
		add(2*n+2,i,0,y-x);
		add(i,2*n+3,c,y-x);
		add(2*n+3,i,0,x-y);
		add(i,2*n+4,c,-x-y);
		add(2*n+4,i,0,x+y);
		add(0,i,c,0);
		add(i,0,0,0);
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
		add(2*n+1,i+n,1e6,-x-y);
		add(i+n,2*n+1,0,x+y);
		add(2*n+2,i+n,1e6,y-x);
		add(i+n,2*n+2,0,x-y);
		add(2*n+3,i+n,1e6,x-y);
		add(i+n,2*n+3,0,y-x);
		add(2*n+4,i+n,1e6,x+y);
		add(i+n,2*n+4,0,-x-y);
		add(i+n,2*n+5,c,0);
		add(2*n+5,i+n,0,0);
	}
	ns=2*n+5;
	while(SPFA())
	{
		while(1) {
			for(i = 0; i <= ns; i++) cur[i] = last[i];
			int t = dfs(0,1e6);	
			if(!t) break;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}