1. 概述
2. 常規演算法
- 2.1. 理論推導
- 2.2. 具體實作
3. 優化演算法
- 3.1. 理論推導
- 3.2. 具體實作
4. 參考

1. 概述

任何復雜的三維模型都可以視作空間三角面片的集合，很容易碰到的一個問題就是空間射線與三角形相交的問題，例如拾取、遮蔽檢測等，這里就總結下該問題的兩種演算法實作，

2. 常規演算法

一種很常規的思路就是先計算射線與三角面片的交點，再看該交點是否再三角形內部，

2.1. 理論推導

對于空間一條射線，令起點為O，其方向為D，根據射線的引數公式，其上任意一點P（也就是要求的交點）為：

\[P = O + tD \tag{1} \]

其中t>0，根據t的取值不同，可得射線上不同的點，也就是關鍵在于求未知量t的值，

已知空間三角面片三個頂點為v1，v2，v3，那么很容易可以求得三角面片的法向量n，顯然面上的向量(v1-P)與n是垂直的，則它們的點積為0：

\[(v1-P) \cdot n = 0 \tag{2} \]

將式(1)代入式(2)，求得未知量t為：

\[t = \frac{ (v1-O) \cdot n }{ D \cdot n} \]

再將t代入到(1)式中，即可得到射線與該三點組成的平面了，

接下來就是判斷這個交點是否在三角形面之內了，由于是空間三角形，所以比較好的演算法是文獻[2]中提到的同向法，摘錄如下：

2.2. 具體實作

具體的C/C++實作代碼如下：

#include <iostream>

using namespace std;

#define EPSILON 0.000001

// 3D vector
class Vector3d
{
public:
	Vector3d()
	{
	}

	~Vector3d()
	{
	}

	Vector3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量賦值
	void set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量相加
	Vector3d operator + (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x + v.x, y + v.y, z + v.z);
	}

	// 矢量相減
	Vector3d operator - (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x - v.x, y - v.y, z - v.z);
	}

	//矢量數乘
	Vector3d Scalar(double c) const
	{
		return Vector3d(c*x, c*y, c*z);
	}

	// 矢量點積
	double Dot(const Vector3d& v) const
	{
		return x * v.x + y * v.y + z * v.z;
	}

	// 矢量叉積
	Vector3d Cross(const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(y * v.z - z * v.y, z * v.x - x * v.z, x * v.y - y * v.x);
	}

	double _x()
	{
		return x;
	}

	double _y()
	{
		return y;
	}

	double _z()
	{
		return z;
	}

private:
	double x, y, z;
};

// v1 = Cross(AB, AC)
// v2 = Cross(AB, AP)
// 判斷矢量v1和v2是否同向
bool SameSide(Vector3d A, Vector3d B, Vector3d C, Vector3d P)
{
	Vector3d AB = B - A;
	Vector3d AC = C - A;
	Vector3d AP = P - A;
	
	Vector3d v1 = AB.Cross(AC);
	Vector3d v2 = AB.Cross(AP);

	// v1 and v2 should point to the same direction
	//return v1.Dot(v2) >= 0 ;
	return v1.Dot(v2) > 0;
}

// 判斷點P是否在三角形ABC內(同向法)
bool PointinTriangle1(Vector3d A, Vector3d B, Vector3d C, Vector3d P)
{
	return SameSide(A, B, C, P) && SameSide(B, C, A, P) && SameSide(C, A, B, P);
}

//ray-triangle intersection algorithm  (通過平面方程計算)
//引數說明：V1,V2,V3,三角形三點；O,射線原點；D,射線方向
bool ray_triangle_intersection1(Vector3d V1, Vector3d V2, Vector3d V3, Vector3d O, Vector3d D, Vector3d *I)
{
	bool rv = false;

	//v1(n1,n2,n3);
	//平面方程: na * (x – n1) + nb * (y – n2) + nc * (z – n3) = 0 ;
	double na = (V2._y() - V1._y())*(V3._z() - V1._z()) - (V2._z() - V1._z())*(V3._y() - V1._y());
	double nb = (V2._z() - V1._z())*(V3._x() - V1._x()) - (V2._x() - V1._x())*(V3._z() - V1._z());
	double nc = (V2._x() - V1._x())*(V3._y() - V1._y()) - (V2._y() - V1._y())*(V3._x() - V1._x());

	//平面法向量
	Vector3d nv(na, nb, nc);

	//平面法向量與射線方向向量差積
	double vpt = D.Dot(nv);
	if (vpt == 0)
	{
		rv = false;  //此時直線與平面平行
	}
	else
	{
		Vector3d P = V1 - O;
		double t = P.Dot(nv) / vpt;

		*I = O + D.Scalar(t);
		if (PointinTriangle1(V1, V2, V3, *I))
		{
			rv = true;
		}
		else
		{
			rv = false;
		}
	}

	return rv;
}

int main()
{
	Vector3d V1(0, 0, 0);
	Vector3d V2(50, 0, 0);
	Vector3d V3(0, 50, 0);
	Vector3d O(5, 10, -10);
	Vector3d P(10, 10, 10);
	Vector3d D = P - O;
	Vector3d I;

	if (ray_triangle_intersection1(V1, V2, V3, O, D, &I)) {
		cout << I._x() << '\t' << I._y() << '\t' << I._z() << endl;
	}	
}

3. 優化演算法

仔細思考常規演算法的思路，在計算射線與平面的交點的時候，實際是將射線的引數方程與平面的引數方程聯立求值即可，那么如果知道空間三角形的引數方程，將其與射線的引數方程聯立，不就可以直接求得交點了嗎？Tomas Moller的論文《Fast, Minimum Storage Ray Triangle Intersection》提出了一種優化演算法，正是基于這個思路，并且給出了合理的解法，

3.1. 理論推導

對于三個頂點為V1，V2，V3組成的空間三角形，對于三角形內的任一點，有如下引數方程：

\[P = (1-u-v)V1 + uV2 + vV3 \tag{3} \]

u, v是V2和V3的權重，1-u-v是V1的權重，并且滿足u>=0, v >= 0,u+v<=1，這個引數方程的具體解釋可參考文獻[5]，摘錄如下：三角形引數方程

將射線公式(1)與三角形公式(3)聯立起來，有：

\[(1-u-v)V1 + uV2 + vV3 = O + tD \]

很顯然，u、v、t都是未知數，移項并整理，可得如下線性方程組：

\[\left[ \begin{matrix} -D & V2-V1 & V3-V1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t \\ u \\ v \end{matrix} \right] = O - V1 \]

可以使用克萊姆法則來求解這個線性方程組，大家可以復習下線性代數(文獻[6])，我這里也將其摘錄如下：

令\(E1 = V2 - V1，E2 = V3 - V1，T = O - V1\)，則上式可以改寫成：

\[\left[ \begin{matrix} -D & E1 & E2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} t \\ u \\ v \end{matrix} \right] = T \]

根據克萊姆法則，有：

\[\begin{cases} t = \frac{1}{\begin{vmatrix} -D&E1&E2\\ \end{vmatrix}} \begin{vmatrix} T&E1&E2\\ \end{vmatrix} \\ u = \frac{1}{\begin{vmatrix} -D&E1&E2\\ \end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -D&T&E2\\ \end{vmatrix} \\ v = \frac{1}{\begin{vmatrix} -D&E1&E2\\ \end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -D&E1&T\\ \end{vmatrix} \\ \end{cases} \]

接下來就要用到向量的混合積公式（具體可參看文獻[7]）了，對于三向量a，b，c，有：

\[\begin{vmatrix} a&b&c\\ \end{vmatrix} = a \times b \cdot c = - a \times c \cdot b = - c \times b \cdot a \]

上式可改寫成：

\[\begin{cases} t = \frac{1}{D \times E2 \cdot E1} (T \times E1 \cdot E2) \\ u = \frac{1}{D \times E2 \cdot E1} (D \times E2 \cdot T) \\ v = \frac{1}{D \times E2 \cdot E1} (T \times E1 \cdot D) \\ \end{cases} \]

令\(P=D \times E2, Q = T \times E1\)，進一步簡化可得：

\[\begin{cases} t = \frac{1}{P \cdot E1} (Q \cdot E2) \\ u = \frac{1}{P \cdot E1} (P \cdot T) \\ v = \frac{1}{P \cdot E1} (Q \cdot D) \\ \end{cases} \]

3.2. 具體實作

具體的C/C++實作代碼如下：

#include <iostream>

using namespace std;

#define EPSILON 0.000001

// 3D vector
class Vector3d
{
public:
	Vector3d()
	{
	}

	~Vector3d()
	{
	}

	Vector3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量賦值
	void set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量相加
	Vector3d operator + (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x + v.x, y + v.y, z + v.z);
	}

	// 矢量相減
	Vector3d operator - (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x - v.x, y - v.y, z - v.z);
	}

	//矢量數乘
	Vector3d Scalar(double c) const
	{
		return Vector3d(c*x, c*y, c*z);
	}

	// 矢量點積
	double Dot(const Vector3d& v) const
	{
		return x * v.x + y * v.y + z * v.z;
	}

	// 矢量叉積
	Vector3d Cross(const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(y * v.z - z * v.y, z * v.x - x * v.z, x * v.y - y * v.x);
	}

	double _x()
	{
		return x;
	}

	double _y()
	{
		return y;
	}

	double _z()
	{
		return z;
	}

private:
	double x, y, z;
};

//ray-triangle intersection algorithm
//引數說明：V1,V2,V3,三角形三點；O,射線原點；D,射線方向，
bool ray_triangle_intersection(Vector3d V1, Vector3d V2, Vector3d V3, Vector3d O, Vector3d D, Vector3d *I)
{
	//Find vectors for two edges sharing V1
	Vector3d e1 = V2 - V1;
	Vector3d e2 = V3 - V1;

	//Begin calculating determinant - also used to calculate u parameter
	Vector3d P = D.Cross(e2);
	//if determinant is near zero, ray lies in plane of triangle
	double det = e1.Dot(P);
	//NOT CULLING
	if (det > -EPSILON && det < EPSILON)
	{
		return false;
	}
	double inv_det = 1.f / det;

	//calculate distance from V1 to ray origin
	Vector3d T = O - V1;

	//Calculate u parameter and test bound
	double u = T.Dot(P) * inv_det;
	//The intersection lies outside of the triangle
	if (u < 0.f || u > 1.f)
	{
		return false;
	}

	//Prepare to test v parameter
	Vector3d Q = T.Cross(e1);
	//Calculate V parameter and test bound
	double v = D.Dot(Q) * inv_det;

	//The intersection lies outside of the triangle
	if (v < 0.f || u + v  > 1.f)
	{
		return false;
	}

	double t = e2.Dot(Q) * inv_det;

	//ray intersection
	if (t > EPSILON)
	{
		*I = O + D.Scalar(t);
		return true;
	}

	return false;
}

int main()
{
	Vector3d V1(0, 0, 0);
	Vector3d V2(50, 0, 0);
	Vector3d V3(0, 50, 0);
	Vector3d O(5, 10, -10);
	Vector3d P(10, 10, 10);
	Vector3d D = P - O;
	Vector3d I;

	if (ray_triangle_intersection(V1, V2, V3, O, D, &I)) {
		cout << I._x() << '\t' << I._y() << '\t' << I._z() << endl;
	}
}

可以看到這種優化演算法無論是代碼量還是時間、空間復雜度都由于原來的常規演算法，最直觀的體現就是判斷陳述句多，能夠即使回傳避免后續運算，

4. 參考

[1] M?ller–Trumbore intersection algorithm
[2] 判斷點是否在三角形內
[3] 射線與平面的相交檢測(Ray-Plane intersection test)
[4] 射線和三角形的相交檢測（ray triangle intersection test）
[5] 三角形方程？ - 高崎汀步的回答 - 知乎
[6] 克萊姆法則
[7] 三矢量的混合積

轉載請註明出處，本文鏈接：https://www.uj5u.com/qita/86907.html

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