我們知道，小波分析實際上就是將信號分解為“粗略”的和“精細”的兩部分，其中“粗略”部分變化緩慢，獲取“粗略”成分可理解為低通濾波；相應的，獲取“精細”成分可理解為高通濾波，
為了能將這種分解一級級繼續下去，我們需要定義一個子空間序列$V_j$滿足如下條件：
（嵌套性）$V_j\subset V_{j+1}$
（稠密性）$\overline{\cup{V_j}}=L^2 (R)$
（分立性）$\cap{V_j}={0}$
（尺度性）$f(x)\in V_j \Longleftrightarrow f(2^{-j}x) \in V_0$
（標準正交基）存在函式$\phi \in V_0$，$\{\phi (x-k); k\in Z\}$是$V_0$的標準正交基
從實用角度看，最有用的一類尺度函式是有限支撐的，但這并不是一個理論上的限制，
滿足上述條件的空間序列$\{V_j; j\in Z\}$和相應的函式$\phi$稱為依尺度函式$\phi$的多解析度分析，
定理1. 設$\{V_j, j\in Z\}$是一個依尺度函式$\phi$的多解析度分析，那么對任一$j \in Z$，函式集
$\{\phi_{jk} (x) = 2^{j/2} \phi(2^j x-k); k \in Z\}$
是$V_j$的一個標準正交基，
證明思路：考慮利用尺度特性證明$ V_j $中的函式可以寫成$\{\phi (2^{-j} x - k); k\in Z\}$的線性組合，然后直接利用標準正交的定義證明$\{ \phi_{jk}; k \in Z \}$是標準正交的，
定理2. （雙尺度關系定理）設$\{V_j, j\in Z\}$是一個依尺度函式$\phi$的多解析度分析，有下列尺度關系成立：
$\phi (x) = \sum\limits_{k\in Z} p_k \phi(2x-k)$，$p_k = 2 \int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) \overline{\phi(2x-k)}dx$
進一步，有$\phi_{j-1,l}=2^{-1/2}\sum\limits_k p_{k-2l} \phi_{jk}$
注意有的教材會將$p_k$規范化，此時公式前面的系數有相應的改變，
解釋與證明思路：考慮到空間的嵌套性與前述定理，$\phi(x)$總是可以寫成$\phi(2x)$及其移位的線性組合，每個線性項的系數是$\phi(x)$在空間$\{V_1\}$的標準正交基上的投影，將$x$替換為$2^{j-l}x-l$可證得進一步結論，對進一步結論也可以從直觀上看：基函式及其移位函式$\phi(2^j x - k)$保持不變，但將各系數移位成$p_{k-2l}$，累加就得到移位后的函式$\phi_{j-1,l}$，因為$V_j$與$V_{j-1}$是包含與被包含的關系，所以進一步結論的等號兩端移位長度分別為$l$和$2l$，
Parseval恒等式
令V是一個復內積空間，其標準正交基為$\{ u_k \}$，若$f\in V, g\in V$，$f$和$g$的表示式如下：
$f=\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k u_k$
$g=\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k u_k$
那么
$\langle f,g \rangle = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \overline{b_k}$
定理3. 設$\{V_j; j \in Z\}$是一個依尺度函式$\phi$的多解析度分析，$p_k$如前述定理，則下列等式成立：
1. $\sum\limits_{k\in Z} p_{k-2l} \overline{p_k} = 2 \delta_{l0}$
2. $\sum\limits_{k\in Z} |p_k|^2=2$
3. $\sum\limits_{k\in Z} p_k = 2$
4. $\sum\limits_{k\in Z} p_{2k}=1$，$\sum\limits_{k\in Z} p_{2k+1} = 1$
解釋與證明思路：式1的證明利用前述Parseval恒等式和$\{ \phi(x-k) \}$標準正交即可，然后令$l=0$得到式2，其余等式的證明參考教科書，
定理4. 設$\{V_j; j \in Z\}$是一個依尺度函式$\phi$的多解析度分析，且$\phi=\sum\limits_k p_k \phi (2x-k)$，令$\psi(x)=\sum\limits_{k\in Z} (-1)^k \overline{p_{1-k} \phi(2x-k)}$，那么$W_j \subset V_{j+1}$是$V_{j+1}$中$V_j$的正交補，且$\{\psi_{jk}(x)=2^{j/2}\psi(2^jx-k), k\in Z\}$是$W_j$的一個標準正交基，
解釋與證明思路：如果將$p_k$看做是低通濾波系數，分解后的信號在$\phi(x)$支撐區間內比原信號要“平滑”，那么相應的高通濾波系數需要更加“劇烈抖動”且是原濾波器的“完全補”，通過將系數乘上$(-1)^k$并逆序以達到這種效果，$p$的下標倒序為$1-k$還使得$\langle \phi, \psi \rangle$在運算時可以將$p_mp_n$兩兩抵消最終達到正交的效果，
定理5. 小波函式集$\{\psi_{jk}\}$是$L^2(R)$的一個標準正交基，
分解與重構：
在得到$\phi_{jk}$與$\phi_{j-1,k}$與$\psi_{j-1,k}$的關系之后，我們可以進一步考慮信號的分解與重構，
若$f$是$V_j$中的函式，我們有：$f=\sum\limits_{k \in Z} \langle f, \phi_{jk} \rangle \phi_{jk} $
分解：
$f=\sum\limits_{k\in Z} \langle f, \phi_{j-1,k} \rangle \phi_{j-1,k} + \sum\limits_{k\in Z} \langle f, \psi_{j-1,k} \rangle \psi_{j-1,k} $
$\langle f, \phi_{j-1,l} \rangle = 2^{-1/2} \sum\limits_{k \in Z} \overline{p_{k-2l}} \langle f, \phi_{jk} \rangle $
$\langle f, \psi_{j-1,l} \rangle = 2^{-1/2} \sum\limits_{k \in Z} (-1)^k p_{1-k+2l} \langle f, \phi_{jk} \rangle $
重構：
$\langle f, \phi_{jk} \rangle = 2^{-1/2}\sum\limits_{l \in Z} p_{k-2l} \langle f, \phi_{j-1,l} \rangle + 2^{-1/2}\sum\limits_{l \in Z} (-1)^k \overline{p_{1-k+2l}} \langle f, \psi_{j-1,l} \rangle $
解釋與證明思路：
利用Parseval恒等式和尺度關系，
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