目錄
- 1. 概述
- 2. 原理
- 2.1. 平移
- 2.2. 旋轉
- 2.3. 總結
- 3. 實作
- 4. 參考
1. 概述
我在《大地經緯度坐標與地心地固坐標的的轉換》這篇文章中已經論述了地心坐標系的概念，我們知道，基于地心坐標系的坐標都是很大的值，這樣的值是不太方便進行空間計算的，所以很多時候可以選取一個站心點，將這個很大的值變換成一個較小的值，以圖形學的觀點來看，地心坐標可以看作是世界坐標，站心坐標可以看作區域坐標，
站心坐標系以一個站心點為坐標原點，當把坐標系定義為X軸指東、Y軸指北，Z軸指天，就是ENU（東北天）站心坐標系，這樣，從地心地固坐標系轉換成的站心坐標系，就會成為一個符合常人對地理位置認知的區域坐標系，同時，只要站心點位置選的合理（通常可選取地理表達區域的中心點），表達的地理坐標都會是很小的值，非常便于空間計算，
注意站心天向(法向量)與赤道面相交不一定會經過球心
2. 原理
令選取的站心點為P，其大地經緯度坐標為\(（B_p，L_p，H_p）\)，對應的地心地固坐標系為\(（X_p，Y_p，Z_p）\)，地心地固坐標系簡稱為ECEF，站心坐標系簡稱為ENU，
2.1. 平移
通過第一節的圖可以看出，ENU要轉換到ECEF，一個很明顯的圖形操作是平移變換，將站心移動到地心，根據站心點P在地心坐標系下的坐標\(（X_p，Y_p，Z_p）\)，可以很容易推出ENU轉到ECEF的平移矩陣：
\[T = \begin{bmatrix} 1&0&0&X_p\\ 0&1&0&Y_p\\ 0&0&1&Z_p\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \]反推之，ECEF轉換到ENU的平移矩陣就是T的逆矩陣：
\[T^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0&-X_p\\ 0&1&0&-Y_p\\ 0&0&1&-Z_p\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \]2.2. 旋轉
另外一個需要進行的圖形變換是旋轉變換，其旋轉變換矩陣根據P點所在的經度L和緯度B確定，這個旋轉變換有點難以理解，需要一定的空間想象能力，但是可以直接給出如下結論:
- 當從ENU轉換到ECEF時，需要先旋轉再平移，旋轉是先繞X軸旋轉\((\frac{pi}{2}-B)\)，再繞Z軸旋轉\((\frac{pi}{2}+L)\)
- 當從ECEF轉換到ENU時，需要先平移再旋轉，旋轉是先繞Z軸旋轉\(-(\frac{pi}{2}+L)\)，再繞X軸旋轉\(-(\frac{pi}{2}-B)\)
根據我在《WebGL簡易教程(五)：圖形變換(模型、視圖、投影變換)》提到的旋轉變換，繞X軸旋轉矩陣為：
\[R_x = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&cosθ&-sinθ&0\\ 0&sinθ&cosθ&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \]繞Z軸旋轉矩陣為：
\[R_z = \begin{bmatrix} cosθ&-sinθ&0&0\\ sinθ&cosθ&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \]從ENU轉換到ECEF的旋轉矩陣為：
\[R = {R_z(\frac{pi}{2}+L)}\cdot{R_x(\frac{pi}{2}-B)} \tag{1} \]根據三角函式公式：
\[sin(π/2+α)=cosα\\ sin(π/2-α)=cosα\\ cos(π/2+α)=-sinα\\ cos(π/2-α)=sinα\\ \]有：
\[R_z(\frac{pi}{2}+L) = \begin{bmatrix} -sinL&-cosL&0&0\\ cosL&-sinL&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \tag{2} \]\[R_x(\frac{pi}{2}-B) = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&sinB&-cosB&0\\ 0&cosB&sinB&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \tag{3} \]將(2)、(3)帶入(1)中，則有：
\[R = \begin{bmatrix} -sinL&-sinBcosL&cosBcosL&0\\ cosL&-sinBsinL&cosBsinL&0\\ 0&cosB&sinB&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \tag{4} \]而從ECEF轉換到ENU的旋轉矩陣為：
\[R^{-1} = {R_x(-(\frac{pi}{2}-B))} \cdot {R_z(-(\frac{pi}{2}+L))} \tag{5} \]旋轉矩陣是正交矩陣，根據正交矩陣的性質:正交矩陣的逆矩陣等于其轉置矩陣，那么可直接得：
\[R^{-1} = \begin{bmatrix} -sinL&cosL&0&0\\ -sinBcosL&-sinBsinL&cosB&0\\ cosBcosL&cosBsinL&sinB&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \tag{6} \]2.3. 總結
將上述公式展開，可得從ENU轉換到ECEF的圖形變換矩陣為：
\[M = T \cdot R = \begin{bmatrix} 1&0&0&X_p\\ 0&1&0&Y_p\\ 0&0&1&Z_p\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -sinL&-sinBcosL&cosBcosL&0\\ cosL&-sinBsinL&cosBsinL&0\\ 0&cosB&sinB&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \]而從ECEF轉換到ENU的圖形變換矩陣為：
\[M^{-1} = R^{-1} * T^{-1} = \begin{bmatrix} -sinL&cosL&0&0\\ -sinBcosL&-sinBsinL&cosB&0\\ cosBcosL&cosBsinL&sinB&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&-X_p\\ 0&1&0&-Y_p\\ 0&0&1&-Z_p\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \]3. 實作
接下來用代碼實作這個坐標轉換，選取一個站心點，以這個站心點為原點，獲取某個點在這個站心坐標系下的坐標：
#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Eigen>
#include <osgEarth/GeoData>
using namespace std;
const double epsilon = 0.000000000000001;
const double pi = 3.14159265358979323846;
const double d2r = pi / 180;
const double r2d = 180 / pi;
const double a = 6378137.0; //橢球長半軸
const double f_inverse = 298.257223563; //扁率倒數
const double b = a - a / f_inverse;
//const double b = 6356752.314245; //橢球短半軸
const double e = sqrt(a * a - b * b) / a;
void Blh2Xyz(double &x, double &y, double &z)
{
double L = x * d2r;
double B = y * d2r;
double H = z;
double N = a / sqrt(1 - e * e * sin(B) * sin(B));
x = (N + H) * cos(B) * cos(L);
y = (N + H) * cos(B) * sin(L);
z = (N * (1 - e * e) + H) * sin(B);
}
void Xyz2Blh(double &x, double &y, double &z)
{
double tmpX = x;
double temY = y ;
double temZ = z;
double curB = 0;
double N = 0;
double calB = atan2(temZ, sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY));
int counter = 0;
while (abs(curB - calB) * r2d > epsilon && counter < 25)
{
curB = calB;
N = a / sqrt(1 - e * e * sin(curB) * sin(curB));
calB = atan2(temZ + N * e * e * sin(curB), sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY));
counter++;
}
x = atan2(temY, tmpX) * r2d;
y = curB * r2d;
z = temZ / sin(curB) - N * (1 - e * e);
}
void TestBLH2XYZ()
{
//double x = 113.6;
//double y = 38.8;
//double z = 100;
//
//printf("原大地經緯度坐標：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
//Blh2Xyz(x, y, z);
//printf("地心地固直角坐標：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
//Xyz2Blh(x, y, z);
//printf("轉回大地經緯度坐標：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
double x = -2318400.6045575836;
double y = 4562004.801366804;
double z = 3794303.054150639;
//116.9395751953 36.7399177551
printf("地心地固直角坐標：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
Xyz2Blh(x, y, z);
printf("轉回大地經緯度坐標：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
}
void CalEcef2Enu(Eigen::Vector3d& topocentricOrigin, Eigen::Matrix4d& resultMat)
{
double rzAngle = -(topocentricOrigin.x() * d2r + pi / 2);
Eigen::AngleAxisd rzAngleAxis(rzAngle, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));
Eigen::Matrix3d rZ = rzAngleAxis.matrix();
double rxAngle = -(pi / 2 - topocentricOrigin.y() * d2r);
Eigen::AngleAxisd rxAngleAxis(rxAngle, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));
Eigen::Matrix3d rX = rxAngleAxis.matrix();
Eigen::Matrix4d rotation;
rotation.setIdentity();
rotation.block<3, 3>(0, 0) = (rX * rZ);
//cout << rotation << endl;
double tx = topocentricOrigin.x();
double ty = topocentricOrigin.y();
double tz = topocentricOrigin.z();
Blh2Xyz(tx, ty, tz);
Eigen::Matrix4d translation;
translation.setIdentity();
translation(0, 3) = -tx;
translation(1, 3) = -ty;
translation(2, 3) = -tz;
resultMat = rotation * translation;
}
void CalEnu2Ecef(Eigen::Vector3d& topocentricOrigin, Eigen::Matrix4d& resultMat)
{
double rzAngle = (topocentricOrigin.x() * d2r + pi / 2);
Eigen::AngleAxisd rzAngleAxis(rzAngle, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));
Eigen::Matrix3d rZ = rzAngleAxis.matrix();
double rxAngle = (pi / 2 - topocentricOrigin.y() * d2r);
Eigen::AngleAxisd rxAngleAxis(rxAngle, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));
Eigen::Matrix3d rX = rxAngleAxis.matrix();
Eigen::Matrix4d rotation;
rotation.setIdentity();
rotation.block<3, 3>(0, 0) = (rZ * rX);
//cout << rotation << endl;
double tx = topocentricOrigin.x();
double ty = topocentricOrigin.y();
double tz = topocentricOrigin.z();
Blh2Xyz(tx, ty, tz);
Eigen::Matrix4d translation;
translation.setIdentity();
translation(0, 3) = tx;
translation(1, 3) = ty;
translation(2, 3) = tz;
resultMat = translation * rotation;
}
void TestXYZ2ENU()
{
double L = 116.9395751953;
double B = 36.7399177551;
double H = 0;
cout << fixed << endl;
Eigen::Vector3d topocentricOrigin(L, B, H);
Eigen::Matrix4d wolrd2localMatrix;
CalEcef2Enu(topocentricOrigin, wolrd2localMatrix);
cout << "地心轉站心矩陣：" << endl;
cout << wolrd2localMatrix << endl<<endl;
cout << "站心轉地心矩陣：" << endl;
Eigen::Matrix4d local2WolrdMatrix;
CalEnu2Ecef(topocentricOrigin, local2WolrdMatrix);
cout << local2WolrdMatrix << endl;
double x = 117;
double y = 37;
double z = 10.3;
Blh2Xyz(x, y, z);
cout << "ECEF坐標（世界坐標）：";
Eigen::Vector4d xyz(x, y, z, 1);
cout << xyz << endl;
cout << "ENU坐標（區域坐標）：";
Eigen::Vector4d enu = wolrd2localMatrix * xyz;
cout << enu << endl;
}
void TestOE()
{
double L = 116.9395751953;
double B = 36.7399177551;
double H = 0;
osgEarth::SpatialReference *spatialReference = osgEarth::SpatialReference::create("epsg:4326");
osgEarth::GeoPoint centerPoint(spatialReference, L, B, H);
osg::Matrixd worldToLocal;
centerPoint.createWorldToLocal(worldToLocal);
cout << fixed << endl;
cout << "地心轉站心矩陣：" << endl;
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
for (int j = 0; j < 4; j++)
{
printf("%lf\t", worldToLocal.ptr()[j * 4 + i]);
}
cout << endl;
}
cout << endl;
osg::Matrixd localToWorld;
centerPoint.createLocalToWorld(localToWorld);
cout << "站心轉地心矩陣：" << endl;
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
for (int j = 0; j < 4; j++)
{
printf("%lf\t", localToWorld.ptr()[j * 4 + i]);
}
cout << endl;
}
cout << endl;
double x = 117;
double y = 37;
double z = 10.3;
osgEarth::GeoPoint geoPoint(spatialReference, x, y, z);
cout << "ECEF坐標（世界坐標）：";
osg::Vec3d out_world;
geoPoint.toWorld(out_world);
cout << out_world.x() <<'\t'<< out_world.y() << '\t' << out_world.z() << endl;
cout << "ENU坐標（區域坐標）：";
osg::Vec3d localCoord = worldToLocal.preMult(out_world);
cout << localCoord.x() << '\t' << localCoord.y() << '\t' << localCoord.z() << endl;
}
int main()
{
//TestBLH2XYZ();
cout << "使用Eigen進行轉換實作：" << endl;
TestXYZ2ENU();
cout <<"---------------------------------------"<< endl;
cout << "通過OsgEarth進行驗證：" << endl;
TestOE();
}
這個示例先用Eigen矩陣庫，計算了坐標轉換需要的矩陣和轉換結果；然后通過osgEarth進行了驗證，兩者的結果基本一致，運行結果如下：
4. 參考
- 站心坐標系和WGS-84地心地固坐標系相互轉換矩陣
- Transformations between ECEF and ENU coordinates
- GPS經緯度坐標WGS84到東北天坐標系ENU的轉換
- 三維旋轉矩陣；東北天坐標系(ENU)；地心地固坐標系(ECEF)；大地坐標系(Geodetic)；經緯度對應圓弧距離
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標籤：GIS
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