測地線就是在一個三維物體的表面上找出兩個點的最短距離，測地線的具體應用挺廣的，比如說飛機船只的航道設計，首先我們知道在二維平面上兩點之間線段最短，但若是換到三維這就沒辦法實作了，因為你無法穿透這個物體以尋求最短距離，所以，我們就得想辦法在曲面上面尋求最短距離，因為曲面略微抽象而且路徑很多讓人感覺無從下手，所以看似很難找，
其實不然，想象一張紙（假設它的厚度是忽略不計的），你既可以平鋪讓它處于絕對二維狀態，又可以將其折疊成不同形狀使其處于三維狀態，如果這樣想，事情就變簡單了，假設你的那張不計厚度的紙處于平面狀態，紙上有兩個位置不同的點，你可以很容易找到兩點之間最短距離，然后，你再將紙折疊成不同形狀，盡管此時面不同了，但是兩點的最短距離依然還是原先那條線：因為面不管被如何折面積都是不變的，
所以要找到測地線的關鍵就是把曲面轉化成平面的這一步，微積分里面的術語叫parametrization（引數化），先不做過多講解，當把曲面引數化成二維面之后，我們可以通過微積分求導，最后把二維重新轉回三維，
數學語言表達
The geodesic equation
In aRiemannian manifoldMwithmetric tensorg, the lengthLof a continuously differentiable curve γ : [a,b] →Mis defined by
Another equivalent way of defining geodesics on a Riemannian manifold, is to define them as the minima of the followingactionorenergy functional
TheEuler–Lagrange equationsof motion for the functionalEare then given in local coordinates by
where
the Christoffel symbols of the metric
are theChristoffel symbolsof the metric. This is thegeodesic equation.
幾何直觀表達
釋義
1.ADJ relating to or involving the geometry of curved surfaces 曲面幾何學的 (See also geodetic, geodesical)
2.N the shortest line between two points on a curved or plane surface 短程線 (Also called geodesic line)
The existence of the infinite closed geodesics of a compact no-simply connected Riemannian manifold.
緊致的非單連通黎曼流形上無窮多的閉測地線存在性問題？
Geodesics on smooth surface have many good geometric properties and there are equivalent partial differential equations and analytical methods solving it.
測地線在光滑曲面上有很好的幾何性質，也有相應的測地線偏微分方程表達以及一些決議的方法來求解，
參考資料
Geodesic Deviation：https://ion.uwinnipeg.ca/~vincent/4500.6-001/Cosmology/GeodesicDeviation.htm
https://www.zhihu.com/question/22274518/answer/42849207
https://www.markushanke.net/tag/geodesic-equation/
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