四元數乘法計算和學習體會-有解無憂

關于兩個四元數的乘法，網上查了一大堆，沒一個說明白的，

我就想知道給我兩個四元數，我該怎么算出來它們的乘積，

這么簡單的需求都沒法找到答案，實在對不起四元數的江湖地位，

要想計算四元數的乘法，首先需要知道四元數常見的表示方法：

其中復數式、矢量式和三角式基本是一回事，都是把四元數寫成一個標量和一個向量的和的形式，指數式和矩陣式就是一種表示方法，涉及到數學意義和運算還是主要用前三種，

下面介紹不同四元數表示形式的乘法：

這個結果這么復雜，而且看起來毫無規律，當然不能死記硬背，

其實就是簡單的展開相乘，注意涉及到i*j的時候按照叉乘右手定則判斷，即i*j=k；遇到i*i的時候按照復數運算，或者說按照點乘取負計算，即i*i=-1

當然也可以按照下面的乘數表進行運算

例如，(2+i)(i+j)=2*i+2*j+i*i+i*j=2i+2j-1+k=-1+2i+2j+k

從上面可以看出，四元數的乘法既不是叉乘，也不是點乘，是叉乘和點乘的混合，涉及到正交向量相乘如i*j時是叉乘，涉及到相同向量相乘如i*i時，卻是點乘取負，或者看作復數相乘，

因此四元數乘法和叉乘類似，沒有乘法交換律，如i×j=k，但是j×i=-k，

用復數式計算四元數乘法十分繁瑣，只適合手動計算較簡單的四元數乘法，

矢量式四元數相當于把復數式四元數中的q1*i+q2*j+q3*k看成一個整體的矢量q，這樣乘法的表達形式會簡潔很多，如下：

其實就是展開相乘，注意q和p矢量相乘的結果等于叉乘的結果減去點乘的結果，

為什么還會多出一項q和p的點乘呢？其實在上文復數式乘法中已經介紹了，i*i不是按照叉乘等于0，而是按照點乘取負進行計算，即i*i=-1，所以矢量式的四元數乘法中才會多出一項點乘，

矢量式的四元數乘法也適用于三角式相乘，

為了方便計算機運算四元數乘法，我們把復數式乘法的結果寫成矩陣的形式，方便記憶和編程，但運算本質還是前兩種，‘

上述兩種矩陣都是反對稱矩陣，保留的乘子分別是p和q，矩陣形式也略有不同，

還是要注意QP ≠ PQ

順便提一下，四元數的實際意義還是用來表示向量旋轉或者坐標系轉換比較方便，這主要是利用四元數三角式的性質

或者

這就把向量旋轉的坐標轉換變成了四元數相乘，在此之前，向量旋轉的坐標變換都是用方向余弦矩陣配合歐拉角實作的，

可以看出，四元數的矢量部分直接對應了旋轉軸，標量和矢量部分共同決定了旋轉角，這是比歐拉角三個角表示旋轉更為接近本質的方法，

相較于歐拉角求旋轉向量坐標的方法，

1、四元數方法不需要進行求三角函式的運算，因此運算精度更高；

2、四元數也不存在歐拉角的框架自鎖問題，

ps：框架自鎖問題如下

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